4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册（共23张PPT)

人教A版2019选修第二册
第四章 数列
4.2.2等差数列的前n项和公式
第一课时
一
二
三
学习目标
理解公式的推导方法
能较熟练应用等差数列前n项和公式求和
学习目标
掌握等差数列前n项和公式
1. 等差数列定义：
2. 等差数列通项公式：
(2) an＝am＋(n－m)d .
(3) an＝pn＋q (p、q是常数)
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
an－an－1 ＝d (n≥2)
或 an+1－an ＝d.
3. 几种计算公差d的方法:
4. 等差中项
m＋n＝p＋q ? am＋an＝ap＋aq .
5. 等差数列的性质
?A=????+?????2
?
01
复习回顾
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+---+99+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案：
创设情境 提出问题
02
1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=
5050
50对
101
101
101
101
问题1：计算
创设情境 提出问题
01
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，???，n，??? ①
前100项的和的问题.
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗?
对于数列1，2，3，???，n，??? ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为
可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系.
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
03
将上述方法推广到一般，可以得到:
于是有
当n是偶数时，有
当n是奇数时，有
∴对任意正整数n，都有
问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
思路1（拿出中间项，再首尾配对）
原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51
思路2（拿出末项，再首尾配对）
原式=(1+2+3+… + 100)+101
思路3（先凑成偶数项，再配对）
原式=(1+2+3+… + 101+102)-102
思路3（先凑成偶数项，再配对）
原式=0+1+2+3+… + 100+101
探究：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？
结论：当n为奇数时，“首尾配对”不太方便
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
?
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
?
能否设法避免分类讨论？
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式

问题呈现：传说印度泰姬陵的陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(见右图)，奢靡之程度，可见一斑. 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
1
2
3
21
21
20
19
1
获得算法：
问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？
借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形.
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：
1+ 2+ 3+ 4+……+21
21+20+19+18+……+1
对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）
倒序相加法
说明：这实质上是我们数学中一种求和的重要方法.
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
①
倒序相加法
受此启发，我们得到下面的方法
②
将上述两式相加，可得
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
如果等差数列{an}的首项a1, 公差为d, 那么该等差数列的前n项和公式为
注意：等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1, d, n, an, Sn”五个量，故知三求二．
把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得
等差数列的前项和n公式：
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
(n-1)d
n
a1
an
n
a1
an
例6 已知数列{an}是等差数列.
04
例题练习 巩固理解
例7 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。
04
例题练习 巩固理解
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
课本P22
04
目标检测 检验效果
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
课本P22
04
目标检测 检验效果
2. 等差数列－1, －3, －5, ???的前多少项的 和是－100 ?
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
课本P23
04
目标检测 检验效果
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
课本P23
04
目标检测 检验效果
一个公式：
形式1:
形式2:

一个方法：倒数求和
在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二.
05
小结提升 形成结构
等差数列的前n项和公式: