【核心素养目标】2.5.3切线长定理 教学设计
文档属性
| 名称 | 【核心素养目标】2.5.3切线长定理 教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-14 15:19:48 | ||
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文档简介
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湘教版版九年级下册数学2.5.3切线长定理教学设计
课题 2.5.3切线长定理 单元 第一单元 学科 数学 年级 九
教材分析 在学习了切线的判定与性质后，本节讲学习切线长的概念； 并要熟悉、掌握切线长定理，学会运用定理解决圆的计算和证明问题。
核心素养分析 本节研究切线长定理的内容，其中有推理证明全等的过程，也有相关的等腰三角形，等边三角形的内容，培养了学生的推理能力；求解角和线段长度的过程，培养了学生的计算能力。课程中学生动手画切线，锻炼了学生的动手操作能力。
学习目标 1.掌握切线长的概念；2.掌握切线长定理，并会运用定理；3.能运用切线长定理解答圆的切线相关问题。
重点 掌握切线长定理，并会运用定理；
难点 能运用切线长定理解答圆的切线相关问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 切线的判定与性质定理，分别是什么呢？切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 回顾知识，让学生回答，温故知新，复习上节切线的判定与性质定理。 从回顾上节知识，引入新的内容，让学生开始认识圆的切线长。
讲授新课 说一说如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上的点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB. 你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长. 如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长.切线长与切线的有什么区别呢？切线：直线，不可度量；切线长：线段的长，可以度量。探究在透明纸上画出图2-46，设PA，PB是⊙O的两条切线， A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？图2-46把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：如图2-47，连接OA，OB. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴ ∠PAO=∠PBO=90°， 即△PAO和△PBO均为直角三角形. 又∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO. ∴PA=PB，∠APO =∠BPO切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.例5 如图2-48，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证：CO∥BD.分析 连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD＝90°，即BD⊥AB. 因此要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可 证明 连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线，点A， B为切点， ∴CA=CB，∠ACO = ∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD ＝ 90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD小结：切线长定理及应用(1)PA=PB(2)△PAB 、△OAB是等腰三角形(3)∠APO=∠BPO、∠AOP=∠BOP(4)OA⊥PA、OB⊥PB、OP⊥ABPA,PB为⊙O的切线拓展：如图，已知PA, PB分别切⊙O于A、B两点，ED切⊙O于F ，连接OE，OD，则（1）△PED的周长（用PA表示），（2）∠EOD的大小（用∠P表示）解：（1）由切线长定理得：AE=EF DF=DB ∴C△PED=PE+ED+PD =PE+EF+FD+PD =PE+AE+BD+PD =PA+PB = 2PA解：（2）由切线长定理得：∠AOE=EOF ∠DOF=∠DOB∴∠EOD=∠EOF+∠FOD=∠AOF+∠FOB= ∠AOB= （180°-∠P）= 90°-∠P 学生独立思考、小组合作，利用三角尺画图。区别切线长与切线的不同学生推理论证，得出重要结论--切线长定理。利用切线长性质，在例题中运用切线长定理解决圆的综合问题。 利用三角尺画图，锻炼学生动手操作能力。区分概念，深刻理解切线与切线长概念通过证明加深对切线长定理的认识。锻炼学生推理能力，熟练掌握切线长定理。
课堂练习 1.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA=PB，所以①正确；∵OA=OB，PA=PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．2.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.求证：AB+CD=DA+BC． 证明 ∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH．∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即AB+CD=DA+BC．3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：∠ADE=∠ABD． 证明：∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线，又∵CD切⊙O于点D，∴BC=CD，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE+∠CDB=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD，∴∠ADE=∠ABD． 学生做本节练习，掌握圆的切线长定理，教师进行补充，做最后总结。 练习是为了巩固学生对知识的掌握，理解运用切线长定理。
课堂小结 学生先发言总结，在教师的引导下总结归纳切线的性质。 让学生自己对本节切线长定理进行整合归纳，培养学生养成及时总结的习惯，形成自己的知识体系。
板书 课题：2.5.3圆的切线长1.切线长定义2.切线长定理
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湘教版版九年级下册数学2.5.3切线长定理教学设计
课题 2.5.3切线长定理 单元 第一单元 学科 数学 年级 九
教材分析 在学习了切线的判定与性质后，本节讲学习切线长的概念； 并要熟悉、掌握切线长定理，学会运用定理解决圆的计算和证明问题。
核心素养分析 本节研究切线长定理的内容，其中有推理证明全等的过程，也有相关的等腰三角形，等边三角形的内容，培养了学生的推理能力；求解角和线段长度的过程，培养了学生的计算能力。课程中学生动手画切线，锻炼了学生的动手操作能力。
学习目标 1.掌握切线长的概念；2.掌握切线长定理，并会运用定理；3.能运用切线长定理解答圆的切线相关问题。
重点 掌握切线长定理，并会运用定理；
难点 能运用切线长定理解答圆的切线相关问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 切线的判定与性质定理，分别是什么呢？切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 回顾知识，让学生回答，温故知新，复习上节切线的判定与性质定理。 从回顾上节知识，引入新的内容，让学生开始认识圆的切线长。
讲授新课 说一说如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上的点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB. 你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长. 如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长.切线长与切线的有什么区别呢？切线：直线，不可度量；切线长：线段的长，可以度量。探究在透明纸上画出图2-46，设PA，PB是⊙O的两条切线， A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？图2-46把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：如图2-47，连接OA，OB. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴ ∠PAO=∠PBO=90°， 即△PAO和△PBO均为直角三角形. 又∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO. ∴PA=PB，∠APO =∠BPO切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.例5 如图2-48，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证：CO∥BD.分析 连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD＝90°，即BD⊥AB. 因此要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可 证明 连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线，点A， B为切点， ∴CA=CB，∠ACO = ∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD ＝ 90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD小结：切线长定理及应用(1)PA=PB(2)△PAB 、△OAB是等腰三角形(3)∠APO=∠BPO、∠AOP=∠BOP(4)OA⊥PA、OB⊥PB、OP⊥ABPA,PB为⊙O的切线拓展：如图，已知PA, PB分别切⊙O于A、B两点，ED切⊙O于F ，连接OE，OD，则（1）△PED的周长（用PA表示），（2）∠EOD的大小（用∠P表示）解：（1）由切线长定理得：AE=EF DF=DB ∴C△PED=PE+ED+PD =PE+EF+FD+PD =PE+AE+BD+PD =PA+PB = 2PA解：（2）由切线长定理得：∠AOE=EOF ∠DOF=∠DOB∴∠EOD=∠EOF+∠FOD=∠AOF+∠FOB= ∠AOB= （180°-∠P）= 90°-∠P 学生独立思考、小组合作，利用三角尺画图。区别切线长与切线的不同学生推理论证，得出重要结论--切线长定理。利用切线长性质，在例题中运用切线长定理解决圆的综合问题。 利用三角尺画图，锻炼学生动手操作能力。区分概念，深刻理解切线与切线长概念通过证明加深对切线长定理的认识。锻炼学生推理能力，熟练掌握切线长定理。
课堂练习 1.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA=PB，所以①正确；∵OA=OB，PA=PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．2.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.求证：AB+CD=DA+BC． 证明 ∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH．∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即AB+CD=DA+BC．3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：∠ADE=∠ABD． 证明：∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线，又∵CD切⊙O于点D，∴BC=CD，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE+∠CDB=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD，∴∠ADE=∠ABD． 学生做本节练习，掌握圆的切线长定理，教师进行补充，做最后总结。 练习是为了巩固学生对知识的掌握，理解运用切线长定理。
课堂小结 学生先发言总结，在教师的引导下总结归纳切线的性质。 让学生自己对本节切线长定理进行整合归纳，培养学生养成及时总结的习惯，形成自己的知识体系。
板书 课题：2.5.3圆的切线长1.切线长定义2.切线长定理
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