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甘肃省陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年高三上学期理数期中联考试卷
一、单选题
1．集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．（2020高二上·黄陵期末）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三上·临夏期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2022高三上·临夏期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高二上·汉中期中）在等差数列 中，若 为其前 项和， ，则 的值是（ ）
A．60 B．11 C．50 D．55
6．（2022高三上·临夏期中）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·临夏期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，6)、B(－4，3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 ( )
A． B． C． D．4
8．（2022高三上·临夏期中）已知，过A(1，1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n，2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
9．（2022高三上·临夏期中）直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·临夏期中）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·临夏期中）若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高三上·临夏期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·临夏期中）已知的定义域为[-2，3)，则的定义域是 .
14．（2022高三上·临夏期中）已知，若，则n＝ ．
15．（2022高三上·临夏期中）设是数列的前项和，若，则 .
16．（2022高三上·临夏期中）已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·临夏期中）已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．
18．（2022高三上·临夏期中）已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
19．（2022高三上·临夏期中）已知数列的前项和与通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，，求.
20．（2022高三上·临夏期中）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点.
（1）证明平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
21．（2022高三上·临夏期中）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
（1）点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A(5，0)到l的距离的最大值．
22．已知椭圆 与椭圆 有相同的焦点，且椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆 上，且 的面积为1，求点 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】A＝{0，1，2，3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15. 故答案为：C
【分析】由子集的个数公式2n，代入数值求出结果即可求出子集的个数。
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 ，得： ，则“ ”是“ ”的必要条件，
而 不一定有 ，也可能 ，则“ ”不是“ ”的充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据线面平行的定义，结合充分必要条件的定义判断即可得到答案。
3．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题， “，”的否定是，，
故答案为：C
【分析】全称命题的否定为特称命题，直接写出其否定即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意，，解得或，
函数的定义域为．
故答案为：D．
【分析】要是该函数有意义，则分式的分母不为0且偶次根式的被开方式非负，解不等式组，即可求出函数的定义域.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为在等差数列 中，若 为其前 项和， ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由等差数列项的性质，结合等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设圆上任意一点为，中点为，
则，可得，
代入得，
化简得．
故答案为：A．
【分析】设出点的坐标，采用相关点法表示中点，代入圆的方程，即可得到中点的轨迹方程.
7．【答案】B
【知识点】直线的两点式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0；则d＝ .
故答案为：B
【分析】利用两点式写出直线BC的方程，结合点到直线的距离公式，即可求出点A到BC边的距离.
8．【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】∵由条件知过A(1，1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．
故答案为：D
【分析】由A和B的坐标得到直线AB的斜率不存在，由AB⊥CD，得到CD的斜率为0，即可点(m，n)有无数个．
9．【答案】D
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，
则，即，直线恒过点，
故答案为：D.
法二：在方程中，令得：，即，
令得：，将代入得，
将代入，得恒成立，
∴直线恒过点，
故答案为：D.
【分析】联立解方程组求出直线恒过点（2，1)即可.
10．【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，
由题意知：当、时，、、、共面，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
故答案为：B.
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出二面角的余弦值.
11．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故答案为：B．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小即可.
12．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，
故答案为：D．
【分析】根据双曲线的方程，求出c，得到F的坐标，结合A的坐标，即可求出相应三角形的面积.
13．【答案】[1，6)
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】由x∈[-2，3)，得x+1∈，
∴y=f（x）的定义域为，
∴y=f（x–2）应满足–1≤x–2<4，解得1≤x<6，
故y=f（x–2）的定义域为[1，6)．
故答案为：[1，6)
【分析】根据函数的定义域，解不等式，即可求出的定义域.
14．【答案】－1或2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵，且，
∴在上为减函数，
又，∴ n=－1或n=2．
故答案为：－1或2.
【分析】根据幂函数的单调性，即可求出相应的n值.
15．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】当时，，解得；
当时，.
当为偶数时，可得，则；
当为奇数时，可得，则.
因此，.
故答案为：.
【分析】根据时，；时，，代入即可得到的值.
16．【答案】－6
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】直线l2经过点M（1，1）和点N（0，﹣2），
∴==3，
∵直线l1经过点A（0，﹣1）和点B（﹣，1），
∴==﹣，
∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，
∴﹣=3，解得a=﹣6，
故答案为﹣6．
【分析】两直线没有公共点，则两直线平行，斜率相等，解方程即可求出a的值.
17．【答案】（1）解：当时，，
∴在上单凋递减，在上单调递增，
∴，.
（2）解：，
∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．
∴实数a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将a的值代入，写出f（x）的表达式，求导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的最值；
（2）根据函数的单调性，解不等式，即可求出实数a的取值范围.
18．【答案】（1）解：当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为；
（2）解：方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：
由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围.
【知识点】不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据分段函数的表达式，分段解不等式，即可求出相应的解集；
（2） 方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象 ，即可求出实数m的取值范围.
19．【答案】（1）解：当时，.
当时，，又，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）解：由已知得，
，
.
.
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 根据时，；时， ，确定数列为等比数列，即可写出通项公式；
（2）采用裂项相消求和，即可求出.
20．【答案】（1）证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，
∵，，∴平面，∴，
又，，∴，又，
∴平面；
（2）解：由（1）可知，，，，
故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则即，
设，则、，则，
设与平面所成角为，
则，
∴与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出直线与平面所成角的正弦值.
21．【答案】（1）解：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．
∴＝3．
即2λ2－5λ＋2＝0，
∴λ＝2或．
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．
（2）解：由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝．
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据直线交点写出直线方程，结合点到直线的距离，求出参数，即可得到直线l的方程；
（2）作出图像，确定点到直线的最大距离即可.
22．【答案】（1）解： 的焦点为 ，设 方程为 ，焦距为 ，则 ，把 代入 ，则有 ，整理得 ，故 或 （舎）， ，故椭圆方程为
（2）解： ，设 ，则 面积为 ，则 ，而 ，所以 ， ，所以 点有4个，它们的坐标分别为
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】 （1）求出焦点坐标，利用椭圆经过的点，列出方程组，然后求解M的方程；
（2）设出P的坐标，利用三角形的面积，求解即可。
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甘肃省陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年高三上学期理数期中联考试卷
一、单选题
1．集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】A＝{0，1，2，3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15. 故答案为：C
【分析】由子集的个数公式2n，代入数值求出结果即可求出子集的个数。
2．（2020高二上·黄陵期末）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 ，得： ，则“ ”是“ ”的必要条件，
而 不一定有 ，也可能 ，则“ ”不是“ ”的充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据线面平行的定义，结合充分必要条件的定义判断即可得到答案。
3．（2022高三上·临夏期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题， “，”的否定是，，
故答案为：C
【分析】全称命题的否定为特称命题，直接写出其否定即可.
4．（2022高三上·临夏期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意，，解得或，
函数的定义域为．
故答案为：D．
【分析】要是该函数有意义，则分式的分母不为0且偶次根式的被开方式非负，解不等式组，即可求出函数的定义域.
5．（2020高二上·汉中期中）在等差数列 中，若 为其前 项和， ，则 的值是（ ）
A．60 B．11 C．50 D．55
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为在等差数列 中，若 为其前 项和， ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由等差数列项的性质，结合等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
6．（2022高三上·临夏期中）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设圆上任意一点为，中点为，
则，可得，
代入得，
化简得．
故答案为：A．
【分析】设出点的坐标，采用相关点法表示中点，代入圆的方程，即可得到中点的轨迹方程.
7．（2022高三上·临夏期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，6)、B(－4，3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 ( )
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】直线的两点式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0；则d＝ .
故答案为：B
【分析】利用两点式写出直线BC的方程，结合点到直线的距离公式，即可求出点A到BC边的距离.
8．（2022高三上·临夏期中）已知，过A(1，1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n，2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】∵由条件知过A(1，1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．
故答案为：D
【分析】由A和B的坐标得到直线AB的斜率不存在，由AB⊥CD，得到CD的斜率为0，即可点(m，n)有无数个．
9．（2022高三上·临夏期中）直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，
则，即，直线恒过点，
故答案为：D.
法二：在方程中，令得：，即，
令得：，将代入得，
将代入，得恒成立，
∴直线恒过点，
故答案为：D.
【分析】联立解方程组求出直线恒过点（2，1)即可.
10．（2022高三上·临夏期中）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，
由题意知：当、时，、、、共面，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
故答案为：B.
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出二面角的余弦值.
11．（2022高三上·临夏期中）若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故答案为：B．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小即可.
12．（2022高三上·临夏期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，
故答案为：D．
【分析】根据双曲线的方程，求出c，得到F的坐标，结合A的坐标，即可求出相应三角形的面积.
二、填空题
13．（2022高三上·临夏期中）已知的定义域为[-2，3)，则的定义域是 .
【答案】[1，6)
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】由x∈[-2，3)，得x+1∈，
∴y=f（x）的定义域为，
∴y=f（x–2）应满足–1≤x–2<4，解得1≤x<6，
故y=f（x–2）的定义域为[1，6)．
故答案为：[1，6)
【分析】根据函数的定义域，解不等式，即可求出的定义域.
14．（2022高三上·临夏期中）已知，若，则n＝ ．
【答案】－1或2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵，且，
∴在上为减函数，
又，∴ n=－1或n=2．
故答案为：－1或2.
【分析】根据幂函数的单调性，即可求出相应的n值.
15．（2022高三上·临夏期中）设是数列的前项和，若，则 .
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】当时，，解得；
当时，.
当为偶数时，可得，则；
当为奇数时，可得，则.
因此，.
故答案为：.
【分析】根据时，；时，，代入即可得到的值.
16．（2022高三上·临夏期中）已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为 ．
【答案】－6
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】直线l2经过点M（1，1）和点N（0，﹣2），
∴==3，
∵直线l1经过点A（0，﹣1）和点B（﹣，1），
∴==﹣，
∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，
∴﹣=3，解得a=﹣6，
故答案为﹣6．
【分析】两直线没有公共点，则两直线平行，斜率相等，解方程即可求出a的值.
三、解答题
17．（2022高三上·临夏期中）已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴在上单凋递减，在上单调递增，
∴，.
（2）解：，
∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．
∴实数a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将a的值代入，写出f（x）的表达式，求导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的最值；
（2）根据函数的单调性，解不等式，即可求出实数a的取值范围.
18．（2022高三上·临夏期中）已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为；
（2）解：方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：
由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围.
【知识点】不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据分段函数的表达式，分段解不等式，即可求出相应的解集；
（2） 方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象 ，即可求出实数m的取值范围.
19．（2022高三上·临夏期中）已知数列的前项和与通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，，求.
【答案】（1）解：当时，.
当时，，又，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）解：由已知得，
，
.
.
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 根据时，；时， ，确定数列为等比数列，即可写出通项公式；
（2）采用裂项相消求和，即可求出.
20．（2022高三上·临夏期中）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点.
（1）证明平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，
∵，，∴平面，∴，
又，，∴，又，
∴平面；
（2）解：由（1）可知，，，，
故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则即，
设，则、，则，
设与平面所成角为，
则，
∴与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022高三上·临夏期中）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
（1）点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A(5，0)到l的距离的最大值．
【答案】（1）解：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．
∴＝3．
即2λ2－5λ＋2＝0，
∴λ＝2或．
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．
（2）解：由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝．
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据直线交点写出直线方程，结合点到直线的距离，求出参数，即可得到直线l的方程；
（2）作出图像，确定点到直线的最大距离即可.
22．已知椭圆 与椭圆 有相同的焦点，且椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆 上，且 的面积为1，求点 的坐标.
【答案】（1）解： 的焦点为 ，设 方程为 ，焦距为 ，则 ，把 代入 ，则有 ，整理得 ，故 或 （舎）， ，故椭圆方程为
（2）解： ，设 ，则 面积为 ，则 ，而 ，所以 ， ，所以 点有4个，它们的坐标分别为
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】 （1）求出焦点坐标，利用椭圆经过的点，列出方程组，然后求解M的方程；
（2）设出P的坐标，利用三角形的面积，求解即可。
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