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山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2018高二上·鹤岗期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（ ）
A． B．6 C．36 D．40
3．（2022高二上·沂水期中）已知直线：，：．若，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．（2022高二上·沂水期中）若圆与直线相切，且直线与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2022高二上·沂水期中）四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·沂水期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，地面宽为1m，则该洞门的半径为（ ）
A．1.1m B．1.2m C．1.3m D．1.5m
7．（2022高二上·沂水期中）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
8．（2022高二上·沂水期中）椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·沂水期中）已知圆与圆相交于两点，则（ ）
A．两圆的圆心距为2 B．直线与轴垂直
C．直线的方程为 D．公共弦的长为4
10．（2022高二上·沂水期中）在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B．异面直线OC与AB所成角等于
C．点B到平面AOC的距离是2
D．直线OB与平面AOC所成角的正弦值为
11．（2022高二上·沂水期中）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（ ）
A．周长为14
B．面积最大值为12
C．存在点P使得
D．不可能是等腰直角三角形
12．（2022高二上·沂水期中）在平行六面体中，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．点到平面的距离等于
三、填空题
13．（2022高二上·沂水期中）直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为30°，则l2的倾斜角为 .
14．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，若，则 ．
15．（2022高二上·沂水期中）点为圆C：上一点，点B在圆C上运动，点M满足．则点M的轨迹方程为 ．
16．（2022高二上·沂水期中）在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·沂水期中）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
（1）求直线CD的方程；
（2）求四边形ABED的面积．
18．（2022高二上·沂水期中）如图，在四棱锥中，，，，点M为棱PA的中点．
（1）设，，，用，，表示，；
（2）若底面ABCD，且，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值．
19．（2022高二上·沂水期中）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线l平行于直线DF，且l与椭圆有且只有一个公共点M，求l的方程
20．（2022高二上·沂水期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，，且点在第一象限．记的外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与y轴重合的直线l与圆E交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
21．（2022高二上·沂水期中）如图，在长方体中，，，E，F分别是CD，BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值．
22．（2022高二上·沂水期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，A，B是上关于原点对称的两个动点，当垂直于x轴时，的周长为．
（1）求的方程；
（2）已知的离心率，直线与交于点M（异于点A），直线与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线 x+y﹣1=0的倾斜角为θ．
由直线 x+y﹣1=0化为y=﹣ x+1，
∴tanθ=﹣ ，
∵θ∈[0，π），∴θ= ．
故答案为：C．
【分析】根据直线的方程，求出直线的斜率，根据斜率的定义，求出倾斜角即可.
2．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
3．【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：由题意
在直线：和：中，
∴，解得：，
故答案为：A.
【分析】两直线平行，斜率相等，即可求出a的值.
4．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为直线与直线垂直，
所以设直线的方程为，
又因为直线与圆相切，
所以，
解得或，
所以直线的方程为：或.
故答案为：B.
【分析】根据直线垂直，写出l的方程，结合直线与圆的位置关系，求出c的值，即可得到直线l的方程.
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题知，，
所以
，
所以，解得，
故答案为：C
【分析】根据平面向量的数量积运算，解方程，即可求出相应的角.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】如图所示设圆的半径为.
由题意知：在中，
又因为，所以
所以 ，解得
故答案为：C
【分析】根据垂径定理及勾股定理，解方程即可求出洞门的半径.
7．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标，写出相应的向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出两平面的距离.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】作点关于原点的对称点，连接、、、，
则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，
所以，，故、、三点共线，
由椭圆定义，，有，所以，则，
再由椭圆定义，有，
因为，所以，
在中，即，所以，离心率．
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理，求出a和c的关系，即可求出离心率.
9．【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题知，
即，
所以圆心为，半径为，
由圆，
即，
所以圆心为，半径为，
故两圆心距离为，
A符合题意；
两圆方程相减即可得直线方程，
即，与轴平行，
B不符合题意，C符合题意；
直线方程为，
则圆的圆心到直线的距离为3，
所以公共弦的长为，
D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】根据两圆的方程，写出圆心和半径，即可求出圆心距，两式相减即可求出公共弦AB，结合点到直线的距离公式，即可求出公共弦长.
10．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A 项，
，，所以A符合题意.
对于B项，设与所成的角为，则
且所以，B不正确.
对于C项，设平面的法向量为
并且，即即，所以，所以点B到平面AOC的距离，C符合题意.
对于D项，设直线OB与平面AOC所成角为，则，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的数量积运算及直线与平面的位置关系，逐一判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【解答】因为椭圆E：，所以，则，
对于A，不妨设，则，又，
所以周长为，A不符合题意；
对于B，因为当点在轴上时，点到的距离最大，且最大值为，
所以，即面积最大值为12，B符合题意；
对于C，假设存在点P使得，则，
又，所以，则，
所以是方程的两根，显然，方程有两解，
所以存在点P使得，C符合题意；
对于D，当时，，显然，所以不是直角三角形；
当时，，显然，所以不是直角三角形；
同理：当时，也不是直角三角形；
综上：不可能是等腰直角三角形，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据椭圆的标准方程，写出a和b，求出c，结合椭圆的定义及三角形的正余弦定理，逐一进行判断即可.
12．【答案】B,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A选项，，
得
，
即得，A选项错误；
对于B选项，已知，，
，
，，B选项正确；
对于C选项，已知，且，得，
又，，，故为直角三角形，
所以得，，C选项错误；
对于D选项，由A选项可知，由C选项可知，即，，平面，即可得点到平面的距离.
D选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积运算，结合余弦定理，逐一进行判断即可.
13．【答案】120°
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】∵直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，
∴直线l2的倾斜角是α＝30°+90°＝120°，
故答案为：120°.
【分析】根据两垂直直线倾斜角的关系，即可求出l2的倾斜角.
14．【答案】-2
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题可知，所以有，解得，所以
故答案为：-2
【分析】根据空间向量平行，解方程，求出m和n，即可得到m+n的值.
15．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】因为点在圆上，则，解得.
设点，，则由题意可得，，解得，，
又因为点满足圆的方程，代入可得，化简得.
故答案为：
【分析】点在圆上，则点的坐标满足圆发方程，求出a，采用相关点发，表示出点B，代入圆的方程，即可求出M的轨迹方程.
16．【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如图，正方体中，平面又平面，又中平面
平面上所有直线；过作于
，
，为所求
在中，
故答案为：
【分析】根据空间直线与平面的位置关系，解直角三角形，即可求出MN的最小值.
17．【答案】（1）解：由，，∴直线CD的方程为，即；
（2）解：四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则，即，
直线AD的方程为，即，则E到直线AD的距离为，.
故四边形ABED的面积为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据A和B的坐标，表示AB的斜率，结合两直线平行，斜率相等，求出CD的斜率，即可由点斜式表示直线CD的方程；
（2）写出BC的中点，根据点斜式写出直线AD的方程，结合点到直线的距离公式，即可求出四边形ABED的面积.
18．【答案】（1）解：；
；
（2）解：由面，面，则，
又，则，故两两垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，
可设平面ABCD的法向量为，，
设平面BCM的法向量为，则，即，令，，
故，平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量的数量积运算；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算，即可表示相应的向量；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出两平面所成角的余弦值.
19．【答案】（1）解：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为，
所以c=4，且另一个焦点为，
又点在椭圆上，
所以，
解得，则，
所以椭圆的方程为；
（2）解：由题意，设直线l的方程为：，
由，化简得，
因为l与椭圆有且只有一个公共点，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个焦点坐标求出c，结合椭圆的定义，求出a，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，化简得到一元二次方程，根据直线与椭圆只有一个公共点，求出m，即可得到直线l的方程.
20．【答案】（1）解：由题意可得，
所以，
又因为，点在第一象限，
所以直线的倾斜角为，
所以，，
所以，
设的外接圆的方程为，
由有，
解得，
所以的外接圆的方程为：；
（2）解：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：，
由，可得，
所以，
，，
所以，
所以是定值.
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）求出直线AB的倾斜角，结合三角函数的定义，求出点B的坐标，即可用待定系数法求出三角形OAB的外接圆方程；
（2）设出直线的方程，将直线方程与圆的方程联立，结合韦达定理，即可确定是定值.
21．【答案】（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系，如图1所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故，
所以，即，
所以平面，
又平面，所以平面.
.
（2）解：由（1）得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故，
又，所以是平面的一个法向量，即平面，
又因为，所以到平面的距离为，
过作平面且交平面于，则，，如图2，
易得是直角三角形，DP与所成角为与所成角，即，
所以，即DP与所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可证明平面；
（2）求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，求出点到平面的距离，即可得到两异面直线所成角的余弦值.
22．【答案】（1）解：由题意可知：，
又因为A，B是上关于原点对称的两个动点，所以，
则的周长为，
因为，即，
又因为，所以，
故的方程为.
（2）证明：当A，B为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合；
当A，B为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为，与椭圆方程联立可得点，
同理可得点，此时直线的方程为；
当A，B不是顶点时，设直线的方程为，，
由，整理可得：，，
，
设直线的方程为，其中，，，
由，整理可得：，，
所以
设直线的方程为，其中，，，
由，整理可得：，，
所以，
所以，整理可得：，
所以，
因为
，
则，
整理可得：，
将代入上式可得：
，也即，
因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点，
综上：直线恒过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义表示三角形的周长，求出a，b和c，即可得到椭圆的标准方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，写出直线方程，即可确定直线恒过定点.
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山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2018高二上·鹤岗期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线 x+y﹣1=0的倾斜角为θ．
由直线 x+y﹣1=0化为y=﹣ x+1，
∴tanθ=﹣ ，
∵θ∈[0，π），∴θ= ．
故答案为：C．
【分析】根据直线的方程，求出直线的斜率，根据斜率的定义，求出倾斜角即可.
2．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，则（ ）
A． B．6 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】写出两向量的差，求出模即可.
3．（2022高二上·沂水期中）已知直线：，：．若，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：由题意
在直线：和：中，
∴，解得：，
故答案为：A.
【分析】两直线平行，斜率相等，即可求出a的值.
4．（2022高二上·沂水期中）若圆与直线相切，且直线与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为直线与直线垂直，
所以设直线的方程为，
又因为直线与圆相切，
所以，
解得或，
所以直线的方程为：或.
故答案为：B.
【分析】根据直线垂直，写出l的方程，结合直线与圆的位置关系，求出c的值，即可得到直线l的方程.
5．（2022高二上·沂水期中）四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题知，，
所以
，
所以，解得，
故答案为：C
【分析】根据平面向量的数量积运算，解方程，即可求出相应的角.
6．（2022高二上·沂水期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，地面宽为1m，则该洞门的半径为（ ）
A．1.1m B．1.2m C．1.3m D．1.5m
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】如图所示设圆的半径为.
由题意知：在中，
又因为，所以
所以 ，解得
故答案为：C
【分析】根据垂径定理及勾股定理，解方程即可求出洞门的半径.
7．（2022高二上·沂水期中）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标，写出相应的向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出两平面的距离.
8．（2022高二上·沂水期中）椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】作点关于原点的对称点，连接、、、，
则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，
所以，，故、、三点共线，
由椭圆定义，，有，所以，则，
再由椭圆定义，有，
因为，所以，
在中，即，所以，离心率．
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理，求出a和c的关系，即可求出离心率.
二、多选题
9．（2022高二上·沂水期中）已知圆与圆相交于两点，则（ ）
A．两圆的圆心距为2 B．直线与轴垂直
C．直线的方程为 D．公共弦的长为4
【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题知，
即，
所以圆心为，半径为，
由圆，
即，
所以圆心为，半径为，
故两圆心距离为，
A符合题意；
两圆方程相减即可得直线方程，
即，与轴平行，
B不符合题意，C符合题意；
直线方程为，
则圆的圆心到直线的距离为3，
所以公共弦的长为，
D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】根据两圆的方程，写出圆心和半径，即可求出圆心距，两式相减即可求出公共弦AB，结合点到直线的距离公式，即可求出公共弦长.
10．（2022高二上·沂水期中）在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B．异面直线OC与AB所成角等于
C．点B到平面AOC的距离是2
D．直线OB与平面AOC所成角的正弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A 项，
，，所以A符合题意.
对于B项，设与所成的角为，则
且所以，B不正确.
对于C项，设平面的法向量为
并且，即即，所以，所以点B到平面AOC的距离，C符合题意.
对于D项，设直线OB与平面AOC所成角为，则，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的数量积运算及直线与平面的位置关系，逐一判断即可.
11．（2022高二上·沂水期中）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（ ）
A．周长为14
B．面积最大值为12
C．存在点P使得
D．不可能是等腰直角三角形
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【解答】因为椭圆E：，所以，则，
对于A，不妨设，则，又，
所以周长为，A不符合题意；
对于B，因为当点在轴上时，点到的距离最大，且最大值为，
所以，即面积最大值为12，B符合题意；
对于C，假设存在点P使得，则，
又，所以，则，
所以是方程的两根，显然，方程有两解，
所以存在点P使得，C符合题意；
对于D，当时，，显然，所以不是直角三角形；
当时，，显然，所以不是直角三角形；
同理：当时，也不是直角三角形；
综上：不可能是等腰直角三角形，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据椭圆的标准方程，写出a和b，求出c，结合椭圆的定义及三角形的正余弦定理，逐一进行判断即可.
12．（2022高二上·沂水期中）在平行六面体中，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．点到平面的距离等于
【答案】B,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A选项，，
得
，
即得，A选项错误；
对于B选项，已知，，
，
，，B选项正确；
对于C选项，已知，且，得，
又，，，故为直角三角形，
所以得，，C选项错误；
对于D选项，由A选项可知，由C选项可知，即，，平面，即可得点到平面的距离.
D选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积运算，结合余弦定理，逐一进行判断即可.
三、填空题
13．（2022高二上·沂水期中）直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为30°，则l2的倾斜角为 .
【答案】120°
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】∵直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，
∴直线l2的倾斜角是α＝30°+90°＝120°，
故答案为：120°.
【分析】根据两垂直直线倾斜角的关系，即可求出l2的倾斜角.
14．（2022高二上·沂水期中）已知空间向量，，若，则 ．
【答案】-2
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题可知，所以有，解得，所以
故答案为：-2
【分析】根据空间向量平行，解方程，求出m和n，即可得到m+n的值.
15．（2022高二上·沂水期中）点为圆C：上一点，点B在圆C上运动，点M满足．则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】因为点在圆上，则，解得.
设点，，则由题意可得，，解得，，
又因为点满足圆的方程，代入可得，化简得.
故答案为：
【分析】点在圆上，则点的坐标满足圆发方程，求出a，采用相关点发，表示出点B，代入圆的方程，即可求出M的轨迹方程.
16．（2022高二上·沂水期中）在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ．
【答案】
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如图，正方体中，平面又平面，又中平面
平面上所有直线；过作于
，
，为所求
在中，
故答案为：
【分析】根据空间直线与平面的位置关系，解直角三角形，即可求出MN的最小值.
四、解答题
17．（2022高二上·沂水期中）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
（1）求直线CD的方程；
（2）求四边形ABED的面积．
【答案】（1）解：由，，∴直线CD的方程为，即；
（2）解：四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则，即，
直线AD的方程为，即，则E到直线AD的距离为，.
故四边形ABED的面积为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据A和B的坐标，表示AB的斜率，结合两直线平行，斜率相等，求出CD的斜率，即可由点斜式表示直线CD的方程；
（2）写出BC的中点，根据点斜式写出直线AD的方程，结合点到直线的距离公式，即可求出四边形ABED的面积.
18．（2022高二上·沂水期中）如图，在四棱锥中，，，，点M为棱PA的中点．
（1）设，，，用，，表示，；
（2）若底面ABCD，且，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值．
【答案】（1）解：；
；
（2）解：由面，面，则，
又，则，故两两垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，
可设平面ABCD的法向量为，，
设平面BCM的法向量为，则，即，令，，
故，平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量的数量积运算；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算，即可表示相应的向量；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出两平面所成角的余弦值.
19．（2022高二上·沂水期中）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线l平行于直线DF，且l与椭圆有且只有一个公共点M，求l的方程
【答案】（1）解：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为，
所以c=4，且另一个焦点为，
又点在椭圆上，
所以，
解得，则，
所以椭圆的方程为；
（2）解：由题意，设直线l的方程为：，
由，化简得，
因为l与椭圆有且只有一个公共点，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个焦点坐标求出c，结合椭圆的定义，求出a，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，化简得到一元二次方程，根据直线与椭圆只有一个公共点，求出m，即可得到直线l的方程.
20．（2022高二上·沂水期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，，且点在第一象限．记的外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与y轴重合的直线l与圆E交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
所以，
又因为，点在第一象限，
所以直线的倾斜角为，
所以，，
所以，
设的外接圆的方程为，
由有，
解得，
所以的外接圆的方程为：；
（2）解：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：，
由，可得，
所以，
，，
所以，
所以是定值.
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）求出直线AB的倾斜角，结合三角函数的定义，求出点B的坐标，即可用待定系数法求出三角形OAB的外接圆方程；
（2）设出直线的方程，将直线方程与圆的方程联立，结合韦达定理，即可确定是定值.
21．（2022高二上·沂水期中）如图，在长方体中，，，E，F分别是CD，BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系，如图1所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故，
所以，即，
所以平面，
又平面，所以平面.
.
（2）解：由（1）得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故，
又，所以是平面的一个法向量，即平面，
又因为，所以到平面的距离为，
过作平面且交平面于，则，，如图2，
易得是直角三角形，DP与所成角为与所成角，即，
所以，即DP与所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可证明平面；
（2）求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，求出点到平面的距离，即可得到两异面直线所成角的余弦值.
22．（2022高二上·沂水期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，A，B是上关于原点对称的两个动点，当垂直于x轴时，的周长为．
（1）求的方程；
（2）已知的离心率，直线与交于点M（异于点A），直线与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．
【答案】（1）解：由题意可知：，
又因为A，B是上关于原点对称的两个动点，所以，
则的周长为，
因为，即，
又因为，所以，
故的方程为.
（2）证明：当A，B为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合；
当A，B为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为，与椭圆方程联立可得点，
同理可得点，此时直线的方程为；
当A，B不是顶点时，设直线的方程为，，
由，整理可得：，，
，
设直线的方程为，其中，，，
由，整理可得：，，
所以
设直线的方程为，其中，，，
由，整理可得：，，
所以，
所以，整理可得：，
所以，
因为
，
则，
整理可得：，
将代入上式可得：
，也即，
因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点，
综上：直线恒过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义表示三角形的周长，求出a，b和c，即可得到椭圆的标准方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，写出直线方程，即可确定直线恒过定点.
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