第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
一．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）画轴
在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交与点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴和y，轴，两轴相交于点O，，且使 （或 ），它们确定的平面表示 。
（2）画线
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 。
（3）取长度
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
【答案】（1） 水平面
（2）x，轴或y，轴的线段
（3）保持原长度 一半
二．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
三．几何体直观图的画法规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的____和____都不变.
【答案】平行性 长度
一、单选题
1．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图为平行四边形
B．菱形的直观图是菱形
C．梯形的直观图可能不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】A
【解析】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚，
A：正方形的直观图为平行四边形，正确；
B：菱形的直观图是平行四边形，错误；
C：梯形的直观图仍然是梯形，错误；
D：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，错误.
故答案为：A.
2．若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
【答案】D
【解析】若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是三棱锥
故答案为：D
3．如图， 为四边形 的斜二测直观图，则原平面图形 是（ ）
A．直角梯形 B．等腰梯形
C．非直角且非等腰的梯形 D．不可能是梯形
【答案】A
【解析】根据斜二测直观图，得；
OC⊥OA,OA=O′A′,BC=B′C′,OC=2O′C′；
∴原平面图形OABC是直角梯形,如图所示：
故答案为：A.
4．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．组合体
【答案】C
【解析】根据题意用任意一个平面截一个几何体，
圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，组合体的界面不确定，
只有球体的任意截面图形都是圆.
故答案为：C
5．关于利用斜二侧法得到的直观图有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是（ ）
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】根据斜二侧画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，
平行 轴的线段长度不变，平行于 轴的长度减半.
①三角形的直观图中，三角形的高减少为原来的一半，仍然是三角形，正确.
②根据平行性原则，平行四边形的直观图是平行四边形，正确.
③正方形中的直角，在直观图中变为 角，不是正方形，错误.
④菱形的直观图中高的长度减半，对应的直观图不是在菱形，错误，
故答案为：A.
6．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】正方体 中，取三棱锥 ，
其四个面均为直角三角形.
故答案为：D
7．正方形 的边长为 ，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图所示，
由斜二测画法的规则知与 轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在 轴上，可求得其长度为 ，故在平面图中其在 轴上，且其长度变为原来的2倍长度为 ，其原来的图形是平行四边形，所以它的面积是 ，
故答案为：C.
二、填空题
8．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.
【答案】45°或135°
【解析】因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，
按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.
9．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2.
【答案】矩形 8
【解析】由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．
10．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
【答案】10
【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
一．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）画轴
在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交与点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴和y，轴，两轴相交于点O，，且使 （或 ），它们确定的平面表示 。
（2）画线
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 。
（3）取长度
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
二．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
三．几何体直观图的画法规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的____和____都不变.
一、单选题
1．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图为平行四边形
B．菱形的直观图是菱形
C．梯形的直观图可能不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
2．若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
3．如图， 为四边形 的斜二测直观图，则原平面图形 是（ ）
A．直角梯形 B．等腰梯形
C．非直角且非等腰的梯形 D．不可能是梯形
4．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．组合体
5．关于利用斜二侧法得到的直观图有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是（ ）
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
6．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．正方形 的边长为 ，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
8．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.
9．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2.
10．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________
