第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体__ __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__ _的面积的和.
1.棱柱的表面积
棱柱的表面积：S表＝ ．
其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝ ；
长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝ ；
棱长为a的正方体的表面积：S表＝ .
2.棱锥的表面积
棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝ .
3.棱台的表面积
棱台的表面积：S表＝ ．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
【答案】各个面 各个面
1.S侧＋2S底 Ch 2(ab＋ac＋bc) 6a2
2.Ch′
3.S侧＋S上底＋S下底
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝ .
2．棱锥的体积
(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ .
3．棱台的体积
(1)棱台的高是指 之间的距离．
(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ ．
【答案】1.两底面 Sh
2.顶点 垂足 Sh
3.两个底面 h(S′＋＋S)
三、圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝
圆锥 底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝
圆台 上底面面积：S上底＝ 下底面面积：S下底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝
【答案】2πr2 2πrl 2πr(r＋l) πr2 πrl πr(r＋l) πr′2 πr2 π(r′l＋rl) π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
四、圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝Sh＝ 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝ 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
【答案】πr2h πr2h π(r2＋rr′＋r′2)h
五、球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2．球的体积公式V＝ .
【答案】4πR πR3
一、单选题
1．圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如同，设圆锥的轴截面为，底面圆心为，
则由题可得为等腰直角三角形，则，则，
所以，即底面半径，
所以该圆锥的侧面积为.
故答案为：D.
2．表面积为 的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（ ）
A．567 B．576 C．240 D．
【答案】B
【解析】设球的半径为 ，正四棱柱的底面边长为 ，作轴的截面如图 ， ，
又因为 ，所以 ，可得： ，
所以 ，所以 ，
所以正四棱柱的表面积 ，
故答案为：B
3．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设底面中心为，连接，
由几何关系知，
，则正八面体体积为
.
故答案为：C
4．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 ，则该棱台的体积是（ ）
A． B． C．20 D．21
【答案】A
【解析】由棱台的几何特征可得其高为：
，
则其体积为：
。
故答案为：A
5．已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A．36π B．48π C．36 D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为 的扇形得：
，解得： .
作出圆锥的轴截面如图所示：
设圆锥的高为h，则 .
设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有 ，
即 ，解得：R=3，
所以该圆锥的外接球的体积为 .
故答案为：A.
6．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 底面 ， ， ，将三棱锥 补全图形为正方体如图所示，
∴三棱锥的外接球即正方体的外接球.
设外接球的半径为 ，则 ，解得 .
所以外接球的表面积为 .
故答案为：C
二、填空题
7．已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【解析】根据题意，圆锥母线长为： ，底面周长为： ，则圆锥侧面积为： .
故答案为： .
8．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .
【答案】14π
【解析】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，
∴长方体的对角线长为： ，
∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，
∴球半径为R= ，
，可得球的表面积为4πR2=14π。
故答案为14π。
三、解答题
9．已知圆柱的底面半径长为1，母线长为2，求它的侧面积和体积.
【答案】 圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，
所以圆柱的高等于母线长
圆柱的侧面积为 ；
圆柱的积为 ．
【解析】利用圆柱的侧面积公式以及体积公式求解即可。
10．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥 ，求它的表面积．
【答案】解：∵四棱锥S﹣ABCD的各棱长均为5，
底面为正方形，各侧面均为正三角形，
设E为AB的中点，则SE⊥AB，
SE
∴S侧＝4S△SAB＝4 25 ，
25，
它的表面积S＝S底+S侧＝25+25 ．
【解析】设E为AB的中点，则SE⊥AB，由已知条件求出S侧＝4S△SAB＝4 25 ， 25，由此能求出它的表面积．第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体__ __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__ _的面积的和.
1.棱柱的表面积
棱柱的表面积：S表＝ ．
其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝ ；
长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝ ；
棱长为a的正方体的表面积：S表＝ .
2.棱锥的表面积
棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝ .
3.棱台的表面积
棱台的表面积：S表＝ ．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝ .
2．棱锥的体积
(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ .
3．棱台的体积
(1)棱台的高是指 之间的距离．
(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ ．
三、圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝
圆锥 底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝
圆台 上底面面积：S上底＝ 下底面面积：S下底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝
四、圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝Sh＝ 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝ 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
五、球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2．球的体积公式V＝ .
一、单选题
1．圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．表面积为 的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（ ）
A．567 B．576 C．240 D．
3．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 ，则该棱台的体积是（ ）
A． B． C．20 D．21
5．已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A．36π B．48π C．36 D．
6．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为 .
8．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .
三、解答题
9．已知圆柱的底面半径长为1，母线长为2，求它的侧面积和体积.
10．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥 ，求它的表面积．
