第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一．平面
1.概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：
①平；②无限延展，没有边界；③没有厚薄．
2.画法
(1)我们常用矩形的直观图，即 表示平面．
(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 ．
3.表示法：
我们常用希腊字母 等表示平面，如平面α 、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，如 ，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如 或 ．
【答案】平行四边形 横向 竖向 α，β，γ 平面ABCD 平面AC 平面BD
二．文字语言与符号语言的对应关系
文字语言表达 符号语 言表示 文字语言表达 符号语 言表示
点A在直线l上 点A在直线l外
点A在平面α内 点A在平面α外
直线l在平面α内 直线l在平面α外
直线l，m相交于点A 平面α，β相交于直线l
【答案】A∈l A∈α l α l∩m＝A A l A α l α α∩β＝l
三．平面的基本性质及应用
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平 面内，那么这条直线在 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
三个推论：
推论1 ，有且只有一个平面.
推论2 ，有且只有一个平面.
推论3 ，有且只有一个平面.
【答案】有且只有 两个点 这个平面内 公共直线
经过一条直线和这条直线外一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线
四．空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线的定义和画法
(1)定义： 的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个 衬托.
2.两直线的三种位置关系
位置关系 是否在同一平面内 公共点个数
共面直线 相交直线 1
平行直线 0
异面直线 0
【答案】不同在任何一个平面内 平面 是 否
五．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 公共点 公共点 公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
【答案】无数个 一个 没有
六．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 没有公共点
两个平 面相交 有一条公共直线
【答案】α∥β α∩β＝l
一、单选题
1．“点P在直线m上，m在平面 内”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据点，线，面的位置关系得“点P在直线m上，m在平面 内”可表示为
故答案为：B
2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点 在直线 上用属于符号 ， 在平面 外用不包含 ．
故答案为：B．
3．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点 B．三个点
C．一条直线和一个点 D．两条相交直线
【答案】D
【解析】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；
对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B不能；
对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，C不能；
对于D，两条相交直线能确定一个平面，D能.
故答案为：D.
4．下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面
D．四边形可确定一个平面
【答案】B
【解析】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；
C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误；
D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；
故答案为：B
5．如图所示，点 、线 、面 之间的数学符号语言关系为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由图可知， ， ， .
故答案为：B.
6．下图中图形的画法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
二、填空题
7．“点A在直线l外，直线l在平α上”用集合语言表示
【答案】A∈l，l α
【解析】解：点A在直线l外，用集合语言表示为A∈l，
直线l在平面α上，用集合语言表示为l α．
故答案为：A∈l，l α．
8．如图图形可用符号表示为
【答案】α∩β=AB
【解析】解：根据题中的图形可知，它表示两个平面相交于直线AB，
利用集合的符号来表示就是：α∩β=AB．
故答案为：α∩β=AB．
三、解答题
9．如图，正方体 中，E、F分别是 、 的中点．求证： 、 、 三线共点．
【答案】证明：连结 、 、 ，
由题可知 ，
∵E、F分别是 、 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴ 为梯形．
则可令 ．
由 面 ， 面 ，
∴ 面 面
∴ 、 、 共点于P．得证．
【解析】根据如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线，从而可证得结论。
10．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
【答案】a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
∵α∥β，a α，b β，
∴a，b无公共点.
又∵a γ且b γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a α，∴a与β无公共点，∴a∥β.第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一．平面
1.概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：
①平；②无限延展，没有边界；③没有厚薄．
2.画法
(1)我们常用矩形的直观图，即 表示平面．
(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 ．
3.表示法：
我们常用希腊字母 等表示平面，如平面α 、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，如 ，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如 或 ．
二．文字语言与符号语言的对应关系
文字语言表达 符号语 言表示 文字语言表达 符号语 言表示
点A在直线l上 点A在直线l外
点A在平面α内 点A在平面α外
直线l在平面α内 直线l在平面α外
直线l，m相交于点A 平面α，β相交于直线l
三．平面的基本性质及应用
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平 面内，那么这条直线在 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
三个推论：
推论1 ，有且只有一个平面.
推论2 ，有且只有一个平面.
推论3 ，有且只有一个平面.
四．空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线的定义和画法
(1)定义： 的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个 衬托.
2.两直线的三种位置关系
位置关系 是否在同一平面内 公共点个数
共面直线 相交直线 1
平行直线 0
异面直线 0
五．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 公共点 公共点 公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
六．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 没有公共点
两个平 面相交 有一条公共直线
一、单选题
1．“点P在直线m上，m在平面 内”可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点 B．三个点
C．一条直线和一个点 D．两条相交直线
4．下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面
D．四边形可确定一个平面
5．如图所示，点 、线 、面 之间的数学符号语言关系为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．下图中图形的画法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
7．“点A在直线l外，直线l在平α上”用集合语言表示
8．如图图形可用符号表示为
三、解答题
9．如图，正方体 中，E、F分别是 、 的中点．求证： 、 、 三线共点．
10．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
