第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
一、基本事实4
1.平行于同一条直线的两条直线 ．这一性质通常叫做平行线的 ．
符号表示：a∥b,b∥c a∥c.
2.定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
【答案】平行 传递性 相等 互补
二、直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果 一条直线与 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a α.
(2)直线b在平面α内，即b α.
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
【答案】平面外 此平面内 平行 a α，b α，且a∥b
三、直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么 与 平行
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
注意：线面平行的性质定理成立的条件有三个, 缺一不可：
(1)直线a与平面α平行，即a∥α；
(2)平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
(3)直线a在平面β内，即a β.
【答案】该直线 交线 a β，α∩β＝b
四、平面与平面平行的判定
(1)文字语言：如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(2)符号语言：a β，b β， ，a∥α，b∥α β∥α.
(3)图形语言：如图所示．
注意：等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
【答案】相交 a∩b＝P
五、平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 ．
(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a， a∥b.
(3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明两直线 ．
【答案】平行 β∩γ＝b 平行
一、单选题
1．若 为异面直线，直线 ,则c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
【答案】D
【解析】解：根据空间中，直线间的位置关系易知，当a、b为异面直线，直线c//a，则直线c与b异面或相交.
故答案为：D
2．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为( )
A．平行 B．相交 C．可能重合 D．平行或相交
【答案】D
【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，
若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
故答案为：D．
3．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A.EF与BC相交 B.EF∥BC
C.EF与BC异面 D.以上均有可能
【答案】B
4．三棱柱 中，点 在 上，且 ，若 平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接AC1，交A1C于O，连接OM，
∵BC1//平面A1MC，，平面A1MC∩平面ABC1=OM，
∴BC1//OM
∵△ABC1中，O是AC1的中点，
∴M为AB的中点，
∵AM=λAB
∴
5．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 ( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
【答案】D
【解析】长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，
故答案为：D．
6．已知两直线m，n，两平面 ， ，若 ， ， ，则m与n的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【答案】D
【解析】解： ， 与 没有公共点，
又 ， ， 与 没有公共点，
则 与 的关系为平行或异面．
故答案为：D．
二、填空题
7．若空间三条直线 ， ，则 ， 的位置关系是 .
【答案】平行，相交或异面
【解析】解：因为空间三条直线 ， ，所以 与 的位置关系是平行，相交或异面；
故答案为： 平行，相交或异面
8．如图， ， ， ， ，则CD与EF的位置关系为 ．
【答案】
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ 。
故答案为： 。
三、解答题
9．如图，梯形 中， ，E是 的中点，过 和点E的平面与 交于点F.求证： .
【答案】证明：∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴
【解析】由题意可得 平面 ， ∵ 平面 ，平面 平面 ， 由线面平行的性质定理可得 。
10．已知正方体 ，求证：平面 平面 .
【答案】证明：在正方体中，连结AD1，AB1，B1D1，BC1，DC1，BD，
则根据正方体的性质可知BD∥B1D1，BD 平面C1BD，B1D1 平面C1BD，
所以B1D1∥平面C1BD．
同理可证AD1∥平面C1BD．
又因为AD1∩D1B1＝D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD．
【解析】利用正方体的性质可知BD∥B1D1，由线面平行的判定定理可得B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，进而由面面平行的判定定理，可得答案.第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
一、基本事实4
1.平行于同一条直线的两条直线 ．这一性质通常叫做平行线的 ．
符号表示：a∥b,b∥c a∥c.
2.定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
二、直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果 一条直线与 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a α.
(2)直线b在平面α内，即b α.
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
三、直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么 与 平行
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
注意：线面平行的性质定理成立的条件有三个, 缺一不可：
(1)直线a与平面α平行，即a∥α；
(2)平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
(3)直线a在平面β内，即a β.
四、平面与平面平行的判定
(1)文字语言：如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(2)符号语言：a β，b β， ，a∥α，b∥α β∥α.
(3)图形语言：如图所示．
注意：等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
五、平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 ．
(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a， a∥b.
(3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明两直线 ．
一、单选题
1．若 为异面直线，直线 ,则c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
2．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为( )
A．平行 B．相交 C．可能重合 D．平行或相交
3．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A.EF与BC相交 B.EF∥BC
C.EF与BC异面 D.以上均有可能
4．三棱柱 中，点 在 上，且 ，若 平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 ( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
6．已知两直线m，n，两平面 ， ，若 ， ， ，则m与n的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
二、填空题
7．若空间三条直线 ， ，则 ， 的位置关系是 .
8．如图， ， ， ， ，则CD与EF的位置关系为 ．
三、解答题
9．如图，梯形 中， ，E是 的中点，过 和点E的平面与 交于点F.求证： .
10．已知正方体 ，求证：平面 平面 .
