第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
一、异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线
与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成角的范围为 .
【答案】a′ b′ (0°，90°]
二、空间两直线垂直
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作 .
【答案】直角 a⊥b
三、直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
【答案】任意一条 垂线 垂面 垂足
四、直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α， l⊥α
图形语言
【答案】两条相交直线 a∩b＝P
五、直线和平面所成的角
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平面α ，图中直线PA
斜足 斜线和平面的 ，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 PO，过 O和 A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是
图示
取值范围 [0°，90°]
【答案】相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 90° 0°
六、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a⊥α，b⊥α
图形语言
作用 线面垂直 线线平行
【答案】平行 a∥b
七、线面距与面面距
1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
【答案】任意一点 任意一点 相等
八、二面角
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． 如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q
范围
【答案】0°≤θ≤180°
九、二面角的平面角
文字语言 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角
图形语言
符号语言 α∩β＝l，O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB为二面角α－l－β的平面角
十、平面与平面垂直及判定定理
定义 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β
画法 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：
判定定理 文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示：
【答案】 α⊥β
十一、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
【答案】 a⊥β
对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
一、单选题
1．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．m⊥n，m∥α n⊥α B．m⊥n，m⊥α n∥α
C．m∥n，m⊥α n⊥α D．m∥n，m∥α=n∥α
【答案】C
【解析】解：对于A，若 m⊥n，m∥α n⊥α 或，故A错误；
对于B， m⊥n，m⊥α n∥α 或，故B错误；
对于C，根据直线与平面垂直的判定定理易知C正确；
对于D， m∥n，m∥α=n∥α 或，故D错误；
故答案为：C
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
【答案】D
【解析】A.不共线的三点确定一个平面，A不符合题意；
B.由墙角模型，显然B不符合题意；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，C不符合题意；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，D符合题意。
故答案为：D.
3．如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
A．0 B．2 C．4 D．12
【答案】B
【解析】解：根据直线与平面垂直的性质定理易知当相邻两个时钟在3时和9时的时候，时针相互垂直.
故答案为：B
4．已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（ ）
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
【答案】B
【解析】画出图象如下图所示，由于 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
故答案为：B.
5．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B．它们都分别相交且互相垂直
C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
【答案】A
【解析】解答：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
6．如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取BD中点，
由 ， ，又侧面 底面BCD，所以 。
所以 为直线AC与底面BCD所成角。
,所以 。
故答案为：A.
二、填空题
7．已知 是平面 外的一条直线.给出下列三个论断：
① ；② ；③ .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
【答案】. 或
【解析】（1）
说明： 或
又 是平面 外的一条直线， ，命题正确；
（2）
说明：设 ，取直线l//m，此时， ，但直线l可能平行平面 ，也可能在平面 中
所以命题不正确；
（3）
说明： 平面 内必存在一条直线与直线l平行，设为n，即，
又 ， 从而得： ，所以命题正确.
故答案为： 或
8．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，连结 ，交 于点 ，很明显 平面 ，
则 是四棱锥的高，且 ，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为
，
故答案为 .
三、解答题
9．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．
【答案】证明: C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径， ,
平面 平面 , ,
平面 平面
平面 .
【解析】根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
10．如图，四棱锥 满足 ， ， 底面 .
（1）设点 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）设平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 .
【答案】（1）解：取 的中点 ，连接 ， ，
则 ，且
因为 ，且
所以 ，且
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解： 底面 ，
，又 ， ，
， 平面 .
由（1）可知 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
且平面 平面 ， ，
平面
【解析】 (1)根据题意由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形 为平行四边形，进而得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)结合题意由线面垂直的判定定理即可得出 平面 ，结合平行的传递性以及线面垂直的判定定理即可得证出结论。第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
一、异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线
与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成角的范围为 .
二、空间两直线垂直
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作 .
三、直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
四、直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α， l⊥α
图形语言
五、直线和平面所成的角
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平面α ，图中直线PA
斜足 斜线和平面的 ，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 PO，过 O和 A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是
图示
取值范围 [0°，90°]
六、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a⊥α，b⊥α
图形语言
作用 线面垂直 线线平行
七、线面距与面面距
1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
八、二面角
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． 如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q
范围
九、二面角的平面角
文字语言 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角
图形语言
符号语言 α∩β＝l，O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB为二面角α－l－β的平面角
十、平面与平面垂直及判定定理
定义 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β
画法 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：
判定定理 文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示：
十一、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
一、单选题
1．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．m⊥n，m∥α n⊥α B．m⊥n，m⊥α n∥α
C．m∥n，m⊥α n⊥α D．m∥n，m∥α=n∥α
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
3．如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
A．0 B．2 C．4 D．12
4．已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（ ）
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
5．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B．它们都分别相交且互相垂直
C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
6．如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知 是平面 外的一条直线.给出下列三个论断：
① ；② ；③ .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
8．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为 ．
三、解答题
9．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．
10．如图，四棱锥 满足 ， ， 底面 .
（1）设点 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）设平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 .
