第九章 统计
9.1 随机抽样
一、普查与抽查
调查方式 普查 抽查
定义 对每一个调查对象都进行 的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法
相关概念 总体：在一个调查中，我们把 的全体称为总体. 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：我们把从 中抽取的那部分个体称为样本. 样本量：样本中包含的 称为样本量
【答案】调查 调查对象 抽取一部分 总体 个体数
二、简单随机抽样
1.简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 抽取n(1≤n如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内_ 被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
2．抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以使卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个____的盒里，充分____.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数.
3.随机数法
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数根据产生与总体中个体数量____的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除____的编号，直到抽足样本所需要的个体数.
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数.
4.总体均值和样本均值
(1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ ＝ ＝ 为总体均值，又称总体平均数.
(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝ .
(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝
＝ 为样本均值，又称样本平均数.
在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
【答案】1. 逐个 相等 未进入样本的各个个体
2. 不透明 搅拌
3. 相等重复
4.
三、分层抽样的概念
1.定义
一般地，按 把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中 地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2.适用范围
当总体是由 的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
3.比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
【答案】1.一个或多个变量 独立
2.差异明显
四、分层随机抽样的步骤
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）
（2）计算抽样比：抽样比
（3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数
（4）抽样：每层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
（5）成样：综合各层抽样，组成样本
五、样本平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝ ＋ ＝ ＋ .
在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
【答案】
六、获取数据的途径
获取数据的基本途径有 、 、 、 等.
【答案】通过调查获取数据 通过试验获取数据 通过观察获取数据 通过查询获得数据
一、选择题
1．某班有学生30人，其中男生18人，女生12人，若采用分层抽样的方法从该班学生中随机抽取10人去参加学校举行的消防知识竞赛，则应抽取女生的人数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【答案】B
【解析】由题设，设应抽取女生的人数是人，则，解得人.
故答案为：B.
2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差
【答案】D
【解析】解： A样本数据如下: 82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.
B样本数据如下: 84，86, 86，88，88, 88，90，90，90，90.
众数分别为88，90， 不相等，A 错;
平均数分别为86，88，B错;
中位数分别为86，88，不相等，C错，
A样本方差，标准差S=2 ;
B样本方差，标准差S'=2 ;
则D对
故答案为：D
3．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ）
A．98 B．99 C．99.5 D．100
【答案】C
【解析】这组数据的60%分位数是.
故答案为：C
4．某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本.若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（ ）
A．高一学生26人 高三学生23人
B．高一学生28人 高三学生21人
C．高一学生多于24人 高三学生少于24人即可
D．高一 高三学生人数都不限
【答案】A
【解析】设高一学生抽取人，高三学生抽取人，
则有：。
故答案为：A
5．某校有高一年级学生1000名，高二年级学生1200名，高三年级学生1100名，现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取330名学生，则抽取的高三年级学生人数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
【答案】D
【解析】由题意得抽取的高三年级学生人数为
，
故答案为：D
6．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二20000人、高三人中，抽取180人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为60人，那么高三被抽取的人数为（ ）
A．72 B．60 C．48 D．84
【答案】C
【解析】由分层抽样可得，可得，
设高三所抽取的人数为，则，解得.
故答案为：C.
二、填空题
7．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为
【答案】200
【解析】因为某小区共有住户2000人，其中中年人1000人，且样本容量为400，
所以样本中中年人的人数为人。
故答案为：200。
8．假设要考察某公司生产的 袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001， ，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是 ．
（下面摘取了随机数表第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】068
【解析】根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为：331、572、455、068。
故答案为：068。
三、解答题
9．某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
【答案】解: 其抽样过程如下：(1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200× ＝40；200× ＝60；200× ＝100.(3)在各层分别按系统抽样法抽取样本．(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本．
【解析】依题可知，需要分成三个层次，然后计算出每个层次应抽取的比例，结合每个层次的人数，即可得出答案。
10．2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：
组别 青少年组 中年组 老年组
调查人数 10 20 10
好评率 0.7 0.6 0.9
假设所有被调查游客的评价相互独立．
（1）求此次调查的好评率．
（2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.
【答案】（1）好评率是
（2）在所有评价为好评的青少年组人数为7人，中年组人数为12人，老年组人数为9人，此人是老年组的概率是 .
【解析】（1）根据平均数的解法直接求解即可；
（2）根据分层抽样直接求解即可.第九章 统计
9.1 随机抽样
一、普查与抽查
调查方式 普查 抽查
定义 对每一个调查对象都进行 的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法
相关概念 总体：在一个调查中，我们把 的全体称为总体. 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：我们把从 中抽取的那部分个体称为样本. 样本量：样本中包含的 称为样本量
二、简单随机抽样
1.简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 抽取n(1≤n如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内_ 被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
2．抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以使卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个____的盒里，充分____.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数.
3.随机数法
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数根据产生与总体中个体数量____的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除____的编号，直到抽足样本所需要的个体数.
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数.
4.总体均值和样本均值
(1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ ＝ ＝ 为总体均值，又称总体平均数.
(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝ .
(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝
＝ 为样本均值，又称样本平均数.
在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
三、分层抽样的概念
1.定义
一般地，按 把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中 地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2.适用范围
当总体是由 的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
3.比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
四、分层随机抽样的步骤
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）
（2）计算抽样比：抽样比
（3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数
（4）抽样：每层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
（5）成样：综合各层抽样，组成样本
五、样本平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝ ＋ ＝ ＋ .
在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
六、获取数据的途径
获取数据的基本途径有 、 、 、 等.
一、选择题
1．某班有学生30人，其中男生18人，女生12人，若采用分层抽样的方法从该班学生中随机抽取10人去参加学校举行的消防知识竞赛，则应抽取女生的人数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差
3．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ）
A．98 B．99 C．99.5 D．100
4．某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本.若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（ ）
A．高一学生26人 高三学生23人
B．高一学生28人 高三学生21人
C．高一学生多于24人 高三学生少于24人即可
D．高一 高三学生人数都不限
5．某校有高一年级学生1000名，高二年级学生1200名，高三年级学生1100名，现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取330名学生，则抽取的高三年级学生人数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
6．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二20000人、高三人中，抽取180人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为60人，那么高三被抽取的人数为（ ）
A．72 B．60 C．48 D．84
二、填空题
7．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为
8．假设要考察某公司生产的 袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001， ，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是 ．
（下面摘取了随机数表第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
三、解答题
9．某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
10．2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：
组别 青少年组 中年组 老年组
调查人数 10 20 10
好评率 0.7 0.6 0.9
假设所有被调查游客的评价相互独立．
（1）求此次调查的好评率．
（2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.
