第十章 概率
10.1 随机事件与概率
一、随机试验的概念和特点
1.随机试验：我们把对 的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
2.随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下 进行；
②试验的所有可能结果是 的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
【答案】随机现象 重复 明确可知
二、样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的 称为样本点 用 表示样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
【答案】每个可能的基本结果 ω Ω
三、三种事件的定义
随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
【答案】一个
四、事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 ，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或 )
交事件 ，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或 )
【答案】事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 A∪B A＋B A∩B AB
五、事件的关系
定义 表示法 图示
包含 关系 若事件A发生，事件B ，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或 )
互斥 事件 如果事件A与事件B ，称事件A与事件B互斥(且互不相容) 若 ，则A与B互斥
对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 ，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
【答案】一定发生 不能同时发生 有且仅有一个发生 B A A B A∩B＝ A∩B＝
六、随机事件的概率
对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 表示.
【答案】可能性大小 P(A)
七、古典概型的特点
①有限性：试验的样本空间的样本点只有 ；
②等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
【答案】有限个 相等
八、古典概型的概率公式
对任何事件A，P(A)＝ ＝ .
【答案】
九、概率的几个基本性质
(1)对任意的事件A，都有 .
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ ．
(5)如果A B，那么 ．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【答案】P(A)≥0. P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)≤P(B)
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④ ，则 的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①2022年8月18日，北京市不下雨，随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；
④ ，则 的值不小于0，必然事件；
∴随机事件有①、③。
故答案为：B
2．有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到 时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为 ，则买100000张这种彩票一定能中奖．
其中必然事件是（ ）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
【答案】A
【解析】事件分为随机事件、必然事件和不可能事件，必然事件是一次试验中必然发生的事件.
因为在标准大气压下，水加热到 才会沸腾，所以①不是必然事件；
因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；
因为某彩票中奖的概率为 ，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件．
故答案为：A．
3．下雨天开车，由于道路条件变差，司机的视线受阻，会给交通安全带来很大的影响．交警统计了某个路口300天的天气和交通情况，300天中有90天下雨，有50天发生了交通事故，其中有30天既下雨又发生了交通事故，则估计该路口“下雨天发生交通事故的概率”是“非雨天发生交通事故概率”的（ ）
A．1.5倍 B．2.5倍 C．3.5倍 D．4.5倍
【答案】C
【解析】下雨天发生交通事故的概率为，
非雨天发生交通事故概率为，
倍.
故答案为：C
4．在一次年级数学竞赛中，高二（20）班有10%的同学成绩优秀．已知高二（20）班人数占该年级的5%，而年级数学优秀率为2%．现从该年级任意选取一位同学，如果此人成绩优秀，则他来自高二（20）班的概率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【答案】D
【解析】设该年级的人数为 人，则高二（20）班的人数为 ，
高二（20）班成绩优秀的人数为 ，
而该年级的成绩优秀的人数为： ，
所以所求事件的概率为 ，
故答案为：D
5．袋内分别有红 白 黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红 黑球各一个
【答案】D
【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红 黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立。
故答案为：D
6．小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为 ；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为 .若他第1球投进概率为 ，他第2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，
， ，则 ，
所以第2球投进的概率为 .
故答案为：A
二、填空题
7．甲 乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，和棋的概率为 ，则乙不输的概率为 .
【答案】
【解析】解：记“甲胜”为事件A，‘和棋’为事件B，“乙胜”为事件C，
则
则
则乙不输的概率为
故答案为：
8．已知事件A与 互斥，且 ， ，则 ， .
【答案】0.6；0.9
【解析】因为事件 与 是对立事件，且 ，所以 ；因为事件A与 互斥，所以
故答案为：0.6，0.9
三、解答题
9．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答对每题的概率都为 ，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为 .
（1）求 和 的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】（1）解：设 {甲同学答对第一题}， {乙同学答对第一题}，则 ， .
设 {甲、乙二人均答对第一题}， {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则 ， .
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以 与 相互独立， 与 相互互斥，所以 ，
.
由题意可得
即 解得 或
由于 ，所以 ， .
（2）解：设 {甲同学答对了 道题}， {乙同学答对了 道题}， ，1，2.
由题意得， ， ，
， .
设 {甲乙二人共答对3道题}，则 .
由于 和 相互独立， 与 相互互斥，
所以 .
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为 .
【解析】(1)根据互斥事件和对立事件的概率公式即可得到关于p和q的方程组，求解出结果即可。
(2)首先求出两个人答对一道题的概率，答对两道题的概率以及两人共答对3道题分情况讨论：每人答对一道题，一个人答对2道题的概率；结合互斥事件和独立事件的概率公式代入数值计算出结果即可。
10．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
（1）求射击一次，命中10环或9环的概率；
（2）求射击一次，至少命中8环的概率；
（3）求射击一次，命中环数小于9环的概率．
【答案】（1）解：设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．
由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
（2）解：记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
（3）解：“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，
∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.
【解析】（1）利用互斥事件概率加法公式求解．
（2）利用互斥事件概率加法公式求解．
（3）利用对立事件概率公式求解．第十章 概率
10.1 随机事件与概率
一、随机试验的概念和特点
1.随机试验：我们把对 的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
2.随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下 进行；
②试验的所有可能结果是 的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
二、样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的 称为样本点 用 表示样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
三、三种事件的定义
随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
四、事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 ，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或 )
交事件 ，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或 )
五、事件的关系
定义 表示法 图示
包含 关系 若事件A发生，事件B ，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或 )
互斥 事件 如果事件A与事件B ，称事件A与事件B互斥(且互不相容) 若 ，则A与B互斥
对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 ，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
六、随机事件的概率
对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 表示.
七、古典概型的特点
①有限性：试验的样本空间的样本点只有 ；
②等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
八、古典概型的概率公式
对任何事件A，P(A)＝ ＝ .
九、概率的几个基本性质
(1)对任意的事件A，都有 .
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ ．
(5)如果A B，那么 ．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④ ，则 的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到 时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为 ，则买100000张这种彩票一定能中奖．
其中必然事件是（ ）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
3．下雨天开车，由于道路条件变差，司机的视线受阻，会给交通安全带来很大的影响．交警统计了某个路口300天的天气和交通情况，300天中有90天下雨，有50天发生了交通事故，其中有30天既下雨又发生了交通事故，则估计该路口“下雨天发生交通事故的概率”是“非雨天发生交通事故概率”的（ ）
A．1.5倍 B．2.5倍 C．3.5倍 D．4.5倍
4．在一次年级数学竞赛中，高二（20）班有10%的同学成绩优秀．已知高二（20）班人数占该年级的5%，而年级数学优秀率为2%．现从该年级任意选取一位同学，如果此人成绩优秀，则他来自高二（20）班的概率为（ ）
A．10% B．15% C．20% D．25%
5．袋内分别有红 白 黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红 黑球各一个
6．小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为 ；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为 .若他第1球投进概率为 ，他第2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．甲 乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，和棋的概率为 ，则乙不输的概率为 .
8．已知事件A与 互斥，且 ， ，则 ， .
三、解答题
9．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答对每题的概率都为 ，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为 .
（1）求 和 的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
10．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
（1）求射击一次，命中10环或9环的概率；
（2）求射击一次，至少命中8环的概率；
（3）求射击一次，命中环数小于9环的概率．
