第十章 概率
10.2 事件的相互独立性
一、相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
【答案】P(A)P(B)
二、相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件 与事件 相互独立，事件 与事件 相互独立，
事件 与事件 相互独立.
【答案】A B
三、相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()P()P(B)
一、选择题
1．掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立 C．A与B独立 D．A与B相等
【答案】C
【解析】掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B相互独立，
故答案为：C.
2．《九章算术》原名《九章》，是我国古代数学著作的代表之作，大约成书于秦汉时期，影响了中国数学和世界数学两千余年．小明的数学老师为了拓宽学生视野、增强学生民族自豪感，从《九章算术》中选出4道题目供学生思考解决，已知小明能够独立解决每道题目的概率均为 ，则小明恰好解决2道题目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设4道题目中小明能独立解决的题数为 ，则 ，
所以 ，
故答案为：D．
3．新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为 ，乙同学选择历史的概率为 ，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲选历史的概率为 ，乙选历史的概率为 ，故至少有1人选择物理的概率为： .
故答案为：C.
4．现有5个相同的小球，分别标有数字 ，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件 表示“第一次取出的球数字是2”，事件 表示“第二次取出的球数字是3”，事件 表示“两次取出的球的数字之和为8”，事件 表示“两次取出的球的数字之和为6”，则下列选项正确的是（ ）
A．事件 和事件 相互独立 B．事件 和事件 相互独立
C．事件 和事件 相互独立 D．事件 和事件 相互独立
【答案】C
【解析】
因为
故事件B和事件D相互独立
故答案为 ：C.
5．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台游戏机需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.75，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（ ）
A．0.995 B．0.54 C．0.46 D．0.005
【答案】C
【解析】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，
∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率：
p=1 0.9×0.8×0.75=0.46.
故答案为：C.
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由于两队每局获胜的概率相同，那么概率为0.5，因此甲对获得冠军的情况为只要比赛一局，或者比赛两局，因此可知获得冠军的概率为+，故选C
二、填空题
7．排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 ，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
【答案】
【解析】解：最后乙队获胜，则需要在剩下的三次比赛中赢一局即可.
当第三局乙获胜，其概率为 ，
当第三局乙负，第四局乙获胜，其概率为
当第三四局乙负，第五局乙获胜，其概率为
所以最后乙获胜的概率为
故答案为：
8．校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有20名同学参加投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.6，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为 .
【答案】0.48
【解析】由题设，同学投篮得2分的概率为 .
故答案为：0.48
三、解答题
9．某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响
（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
【答案】（1）解：根据题意，甲进入复试的概率为 ，
乙进入复试的概率为 ，丙进入复试的概率为
由于 ，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
（2）解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为 .
【解析】(1)根据题意由概率的乘法公式代入数值计算出结果，由此即可比较出大小。
(2)由相互独立、对立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
10．某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为 和 ，两种大树成活与否互不影响.
（1）求甲种大树成活两棵的概率；
（2）求甲种大树成活一棵的概率；
（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.
【答案】（1）设事件 “甲种大树成活两棵”，则
（2）设事件 “甲种大树成活一棵”，则
（3）设事件 “乙种大树成活一棵”，
则
设事件 “乙种大树成活两棵”，
则
设事件 “甲、乙两种大树一共成活三棵”，
则
【解析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。第十章 概率
10.2 事件的相互独立性
一、相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
二、相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件 与事件 相互独立，事件 与事件 相互独立，
事件 与事件 相互独立.
三、相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()P()P(B)
一、选择题
1．掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立 C．A与B独立 D．A与B相等
2．《九章算术》原名《九章》，是我国古代数学著作的代表之作，大约成书于秦汉时期，影响了中国数学和世界数学两千余年．小明的数学老师为了拓宽学生视野、增强学生民族自豪感，从《九章算术》中选出4道题目供学生思考解决，已知小明能够独立解决每道题目的概率均为 ，则小明恰好解决2道题目的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为 ，乙同学选择历史的概率为 ，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．现有5个相同的小球，分别标有数字 ，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件 表示“第一次取出的球数字是2”，事件 表示“第二次取出的球数字是3”，事件 表示“两次取出的球的数字之和为8”，事件 表示“两次取出的球的数字之和为6”，则下列选项正确的是（ ）
A．事件 和事件 相互独立 B．事件 和事件 相互独立
C．事件 和事件 相互独立 D．事件 和事件 相互独立
5．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台游戏机需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.75，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（ ）
A．0.995 B．0.54 C．0.46 D．0.005
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 ，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
8．校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有20名同学参加投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.6，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为 .
三、解答题
9．某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响
（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
10．某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为 和 ，两种大树成活与否互不影响.
（1）求甲种大树成活两棵的概率；
（2）求甲种大树成活一棵的概率；
（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.
