第十章 概率
10.3 频率与概率
一、频率的稳定性
1.频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2.频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
【答案】稳定于
二、随机模拟
1.产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
【答案】频率 概率
一、选择题
1．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果
B．旋转的次数越多，估计的结果越精确
C．旋转时可以按规律旋转
D．转盘的半径越大，估计的结果越精确
【答案】B
【解析】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
2．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】A
【解析】所求的概率为 ,故选A.
3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．15
【答案】C
【解析】设阴影部分的面积是s，由题意得 ，
故答案为：C.
4．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方形的边长为 ，那么图中阴影的面积应为 ，而正方形的面积是 ，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ，
故答案为：B.
5．已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
6．如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为 .
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为 ，
故答案为：C.
二、填空题
7．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
【答案】0.38
【解析】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S=0.38，
故答案为：0.38．
8．如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为 ．
【答案】6
【解析】解：由题意， = ，
∴S阴影=10× =6，
故答案为6．
三、解答题
9．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
【答案】解: 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121 222330
231022 001003 213322 030032 100211 022210
231330 321202 031210 232111 210010 212020
230331 112000 102330 200313 303321 012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 ＝0.16.
【解析】利用随机模拟方法，估计概率，即可得出答案。
10．用随机模拟方法求函数 与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
【答案】解:如图,阴影部分是函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
⑴利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< 的点(x,y)的个数);
⑶计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
⑷直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 =S.
则S≈ ,即阴影部分面积的近似值为 .
【解析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。第十章 概率
10.3 频率与概率
一、频率的稳定性
1.频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2.频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
二、随机模拟
1.产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
一、选择题
1．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果
B．旋转的次数越多，估计的结果越精确
C．旋转时可以按规律旋转
D．转盘的半径越大，估计的结果越精确
2．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（ ）
A． B． C． D．都不对
3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．15
4．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
8．如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为 ．
三、解答题
9．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
10．用随机模拟方法求函数 与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
