第七章 复数
7.1 复数的概念
一、复数的有关概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ .
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义： 所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
二、复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di ，a＋bi＝0 .
四、复平面
五、复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
六、复数的模
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记为 .
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝ .
七、共轭复数
1.定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 .
2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝ .
一、单选题
1．已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
2．已知复数 ，i为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ( ， 为虚数单位)，则实数a+b的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
4．复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C． D．
6．已知 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
二、填空题
7．已知 ，则
8．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= ．
三、解答题
9．分别求实数x的值，使得复数
（1）是实数；
（2）是虚数；
（3）是纯虚数.
10．已知复数 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．第七章 复数
7.1 复数的概念
一、复数的有关概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ .
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义： 所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
【答案】1.（1）虚数单位 －1 （2）z＝a＋bi(a，b∈R)
2.（1）全体复数
二、复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【答案】1.实数 虚数
三、复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di ，a＋bi＝0 .
【答案】a＝c且b＝d a＝b＝0
四、复平面
五、复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
六、复数的模
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记为 .
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝ .
【答案】2.|z|或|a＋bi|
3.
七、共轭复数
1.定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 .
2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝ .
【答案】1.相等 互为相反数 共轭虚数
2.a－bi
一、单选题
1．已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由 ，虚部为1，C符合题意.
故答案为：C.
2．已知复数 ，i为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ．
故答案为：C
3．已知 ( ， 为虚数单位)，则实数a+b的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【解析】 ，故 则
故答案为：D
4．复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数 在复平面内对应的点的坐标为 .
故答案为：A.
5．若 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,故 .
故答案为：C.
6．已知 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】 ，
故答案为：B.
二、填空题
7．已知 ，则
【答案】2-i
【解析】解：∵z=2+i,
∴
故答案为：2-i
8．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= ．
【答案】
【解析】复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==。
故答案为：。
三、解答题
9．分别求实数x的值，使得复数
（1）是实数；
（2）是虚数；
（3）是纯虚数.
【答案】（1）当 时，即 或 时， 是实数；
（2）当 时，即 且 时， 是虚数；
（3）当 且 时，即 时， 是纯虚数.
【解析】 (1) z是实数，则虚部等于0，求解即可得答案;
(2) z是虚数,则虚部不等于0，求解即可得答案;
(3) z是纯虚数，则实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案。
10．已知复数 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 或 ．
（2）
所以 时， 的最小值为
【解析】(1)由复数的运算性质整理即可求出a的值。
(2)结合复数模的定义代入数值计算出结果即可。
