第十六章 二次根式单元测试卷（困难）（含答案）

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人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第十六章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中：其中二次根式的个数有( )
；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 要使代数式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 二次根式、、、、、中，最简二次根式有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形关于这两种变形过程的说法正确的是( )
甲：．
乙：．
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
6. 下列变形正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. ，，为有理数，且等式成立，则的值是( )
A. B. C. D. 不能确定
8. 最简二次根式与是同类二次根式，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
9. 已知、为有理数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，则( )
A. B. C. D.
10. 下列各式的运算或变形中，用到分配律的是( )
A. B.
C. 由得 D.
11. 已知，则的值为( )
A. B. C. D.
12. 已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，古希腊的几何学家海伦，约公元年给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶约曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边分别为，，，则其面积是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是______．
14. 实数、满足，则的最大值为______．
15. 已知，，且，则正整数的值为 ．
16. 设，，，，，，则________用含的代数式表示，其中为正整数；
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知．
求的值
求的值．
18. 本小题分
综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，点，且，满足：，点与点关于轴对称，点，点分别是轴，直线上的两个动点．
求点的坐标；
连接，如图，当点在线段不包括，两个端点上运动，若为直角三角形，为的中点，连接，，试判断与的关系，并说明理由．
19. 本小题分
观察下列各式：，；，
请观察规律，并写出第个等式：______；
请用含的式子写出你猜想的规律：______；
请证明中的结论．
20. 本小题分
小明在解决问题：已知，求 的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求 的值．
21. 本小题分
先化简，再求值：其中，．
22. 本小题分
“十一”黄金周期间，贵州省锦屏县隆里古城在天假期中每天接待的人数变化如下表正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，把月日的游客人数记为万人．
日期 月
日 月
日 月
日 月
日 月
日 月
日 月
日
人数变化
单位：万人
请用含的代数式表示月日的游客人数；
请判断七天内游客人数最多的是哪天，有多少人？
若月日的游客人数为万人，门票每人元，问黄金周期间隆里古城门票收入是多少元？
23. 本小题分
已知线段，，，且线段，满足．
求，的值；
若，，是某直角三角形的三条边的长度，求的值．
24. 本小题分
已知，求下列各式的值：；；
已知，，其中，都是最简二次根式，且，分别求出和的值．
25. 本小题分
由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为．
请根据上面材料回答下列问题：
当，式子的最小值为 ；当，则当 时，式子取到最大值；
用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙墙长米，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是和，求四边形面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】
解：；；；二次根式的只有，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故选：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出的值、与的关系是解此题的关键．根据根号下的数要是非负数，得到，，，，推出且，得到，代入即可求出，把代入原式即可求出答案．
【解答】
解：等式在实数范围内成立，
，，，，
和可以得到，
和可以得到，
所以只能等于，代入等式得
，
所以有，
即：，
由于，，是两两不同的实数，
，．
将代入原式得：
原式．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了最简二次根式，最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开的尽的因数或因式．根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含能开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】
解：含分母，、不是最简二次根式，、、是最简二次根式，共个．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确找出有理化因式或把分子化为含有分母的乘积形式利用分子，分母同时乘以有理化因式或分子化为含有分母的乘积形式求解注意有理化的因式不能为．
【解答】
解：分母为分式没有意义，甲同学的解答只有在的情况下才成立，
只有乙同学的解答过程正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：、，，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质和二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能熟练地运用二次根式的乘除法则进行计算是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，将右边的二次根式化简并比较系数是解题的关键．
先将等号右边的被开方数拆项，化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简，再两边比较系数可知、、的值，再计算式子的值．
【解答】
解：，
，
，，，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题虽然不难求出的值，但是要注意题中给出的根式都是最简根式，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．
由于给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，它们的被开方数就应该相等，由此可得出关于的方程，进而可求出的值．
【解答】
解：由题意可得，
解得或；
当时，，
不是最简根式，因此不合题意，舍去．
因此．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
根据已知首先求出，的值，进而化简原式得出关于、的方程组，求出即可．
【解答】
解：，分别表示的整数部分和小数部分，
因为，所以，
故，．
．
．
等式两边相对照，因为结果不含，
所以
解得：．
所
故选D．
10.【答案】
【解析】解：，利用的乘法的结合律，故选项A不符合题意；
，用的是积的乘方，故选项B不符合题意；
由得，用到的是除法，故选项C不符合题意；
，用到的是乘法分配律，故选项D符合题意；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以判断哪个选项中的式子用到的是分配律，本题得以解决．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
11.【答案】
【解析】
【分析】
把已知的条件进行分母有理化，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是利用完全平方公式对所求式子进行变形．
【解答】
解：，
，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
若一个三角形的三边长分别为，，，则其面积是：，
故选B．

13.【答案】
【解析】解：，，
，
又，，
，
，
把代入已知条件则，
，
原式．
根据二次根式有意义的条件得到，，则，而，，则，得到，把代入已知条件中易得，然后把代入分式计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先根据二次根式有意义的条件得到字母的值或关系，然后代入所求的分式中进行计算．
14.【答案】
【解析】解：原式变形为，
，
到和的距离之和是，到和的距离之和是，
，，
最大为，最大为，
．
故答案为：．
根据化简变形得：，到和的距离之和，到和的距离之和是，得到，，根据最大为，最大为即可得出答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得到，是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
将代入得，
化简得，
，
．
，
解得．
故答案为：．
先将，分母有理化化简为含的代数式，可得，，然后将代入，结果化简为，进而求解．
本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是利用整体思想求解．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化先分别求出，，，的值，再把表示出来为，然后变形为：，进而变形为：，从而可以得出结论．
【解答】
解：，，，，，
，，，，，
，
，
，
，
．
故答案为．
17.【答案】解：由题意可知
故．
，
，
．
，，
．
【解析】见答案
18.【答案】解：，
又，
，，
，，
，关于轴对称，
；
如图，结论：，，
理由：，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
【解析】利用二次根式的被开方数是非负数求出，的值，可得结论．
利用直角三角形斜边中线的性质证明即可．
本题查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
19.【答案】解：
，
；
，
则第个等式为：
故答案为：
解：
，
；
，

用含的式子表示为：
故答案为：
．
【解析】
【分析】
认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第个等式；
根据规律写出含的式子即可；
结合二次根式的性质进行化简验证即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
20.【答案】解：，
，，
．
，
的值是．
【解析】本题考查了分母有理化的应用，能求出的值和正确变形是解此题的关键，根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
21.【答案】解：
；
当时，
原式．
【解析】本题考查分式的化简求值，二次根式的计算，正确化简分式是解题关键．
先将分式括号里进行通分，再将除法转化为乘方，然后化简，最后将的值代入求值即可．
22.【答案】解：万人；
七天内游客人数分别是，，，，，，，
所以日人最多．
万人，
黄金周期间该公园门票收入是元．
【解析】月日的游客人数．
分别用的代数式表示七天内游客人数，再找出最多的人数，以及对应的日期即可．
先把七天内游客人数分别用的代数式表示，再求和，把代入化简后的式子，乘以即可得黄金周期间该公园门票的收入．
本题主要考查了列代数式和正负数的意义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列式计算，注意单位的统一．
23.【答案】解：因为线段，满足．
所以，；
因为，，是某直角三角形的三条边的长度，
所以或．
【解析】根据非负数性质可得、的值；
根据勾股定理逆定理可解答．
本题主要考查二次根式的应用，根据非负数性质和勾股定理逆定理得出相应算式是关键，二次根式的化简与运算是根本技能．
24.【答案】解：，
，
；
，
，
；
解：，，
，都是最简二次根式，，
，
，
解得，
，，
．
，
，
，
．
【解析】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据，等式两边同除以即可解答本题；
根据中的结果，两边同时平方，再化简即可解答本题．
本题主要考查了最简二次根式的定义，根据其定义确定，解出的值，最后根据已知条件可以解出的值．
25.【答案】解：；；
设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，
则，
，
这个长方形的篱笆周长米，
当时，的值最小，
或舍弃，经检验的值适合此分式方程，
当时，，
此时篱笆的长度为米．
这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．
设，已知，，
则由等高三角形可知：，
，
，
四边形面积
当时，即经检验的值适合此分式方程，负值舍去时，
四边形面积有最小值，
四边形面积的最小值为．
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的面积，二次根式的应用，分式方程的解法等有关知识．
当时，按照公式当且仅当时取等号来计算即可当时，，，则也可以按公式当且仅当时取等号来计算
设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出这个长方形的篱笆周长，利用题中结论解决问题即可
设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，，
则，
当时，有最大值，
，经检验的值适合此分式方程，
，
，
当时，的最小值为当，时，的有最大值
见答案；
见答案．
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