第十六章 二次根式单元测试卷（标准难度）（含答案）

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人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）
考试范围：第十六章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，一定是二次根式的有( )
；；；；；；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 代数式有意义时，应满足的条件为( )
A. B. C. D.
4. 化简：( )
A. B. C. D.
5. 已知，，那么与的关系为( )
A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 是的平方根
6. 如果，，那么下面各式：，，，其中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 实数，，在数轴上的位置如图所示，那么化简的正确结果是( )
A. B. C. D.
8. 下列计算：；；；，其中正确的有个( )
A. B. C. D.
9. 已知，则的解为( )
A. B. C. D.
10. 的值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
11. 已知，，则代数式的值为 ( )
A. B. C. D.
12. 南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章一书中，给出了“秦九韶公式”，也叫“三斜求积术”，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为设的三边长分别为，，，该的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知，则 ．
14. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ．
15. 若，那么下面各式：；；；，其中正确的是 填序号
16. 填空：
．
．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知二次根式．
求的取值范围；
求当时，二次根式的值；
若二次根式的值为零，求的值．
18. 本小题分
已知，，满足．
求、、的值
试问以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．
本小题分
同学们在数学活动中研究了的性质：；；请你运用的性质解决下列问题：
式子有意义，则的取值范围______；
计算：的值；
已知：，求的值．
20. 本小题分
若无理数的整数部分是，则它的小数部分可表示为例如：的整数部分是，因此其小数部分可表示为若表示的整数部分，表示它的小数部分，求代数式的值．
本小题分
观察下列各式：
；
；
，
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
猜想：____________；
归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用为正整数表示的等式：______；
应用：计算．
22. 本小题分
已知与互为相反数．
求，的值；
化简．
23. 本小题分
某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛即图中阴影部分，每个长方形花坛的长为米，宽为米．
求矩形的周长．结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
24. 本小题分
“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为单位，观测者能看到的最远距离为单位，则，其中是地球半径，通常取．
小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值．
判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为，泰山到海边的最小距离约，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．
25. 本小题分
我国宋代的数学家秦九韶发现：若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积为，其中．
如图，在中，已知，，．
求的面积；
如图，，为的两条角平分线，它们的交点为点，求到边的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二次根式的概念，特别要注意的条件．根据二次根式的概念“形如的式子，即为二次根式”，进行分析．
【解答】
解：根据二次根式的概念，是二次根式，
因为它们都含二次根号，且被开方数都是非负数；
中没有限制条件，若，则不是二次根式；
中根指数是，所以不是二次根式；
的被开方数是负数，不是二次根式．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了偶次方和二次根式的非负性以及代数式求值，利用偶次方和二次根式的非负性求出、的值是关键．
先根据偶次方和二次根式的非负性得到关于、的方程组，解方程组得出、的值，即可得出答案．
【解答】
解：因为，
所以，，
解得，，
所以．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关知识点是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：代数式有意义时，，
解得：．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的乘除，最简二次根式，先对第一个二次根式内被开方数约分，然后根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据化简得到，再根据二次根式的概念判断出，去绝对值即可．
【解答】
解：由题意知，
原式．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：，
、互为倒数，
故选：．
计算出的值即可作出判断．
本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与倒数的定义．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次根式的乘除的有关知识，根据，可以得到，，然后对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：，，
，，
，故错误；
，故正确；
，故正确．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
先由数轴知，且，据此得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：．
【解答】
解：由数轴知，且，
则，，
原式
，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的运算：涉及了二次根式的加减运算和乘法运算在二次根式的运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的性质对进行判断；根据平方差公式对进行判断．
【解答】
解：不是同类二次根式，不能合并，所以错误；
，所以正确；
；所以错误；
，所以正确，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
是非负数，
．
故选：．
直接利用完全平方公式得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式的应用，正确将已知变形是解题关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的运算，涉及绝对值的性质，二次根式的性质．
根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【解答】
解：原式
，
故选A．

11.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算以及完全平方式，熟记二次根式的运算以及完全平方式是解题关键．
由已知可得：，把变形即可得到结果．
【解答】解：
由已知可得：，
原式
故选：

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的应用，理解题意，能将所给三角形的三边长正确代入面积公式并准确计算是解题的关键．
由题意，将，，代入中即可求解．
【解答】
解：的三边长分别为，，，
将，，代入中得，
，
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
解：，
，
【解答】
本题考查了非负数的性质及分式的化简求值，利用非负数的性质，可求得、的值，然后将分式化简，进而可代值求解．

14.【答案】
【解析】解：当时，
．
故答案为：．
利用数值运算程序得到时，输出的值为，再利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的性质和乘除运算，得出，的符号并正确运用二次根式的性质是解题的关键．
首先由，，判断出、的正负，然后分别计算各个选项即可做出判断．
【解答】
解：，，
，．
由于，，与无意义，的变形错误；
，正确；
，由于，原式，正确；
，由于，原式，计算错误．
正确的是．
故答案为．

16.【答案】【小题】
略
【小题】
略

【解析】 略
略
17.【答案】解：根据题意，得：，
解得；
当时，；
二次根式的值为零，
，
解得．
【解析】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式．
根据二次根式的定义得出，解之可得答案；
将代入计算可得；
当被开方数为时，二次根式的值即为，据此列出关于的方程求解可得．
18.【答案】解：由题意得：，，，
解得：，，．
根据三角形的三边关系可知，、、能构成三角形
此时三角形的周长为．

【解析】根据非负数的性质可求出、、的值；
根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．
本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
19.【答案】解：式子有意义，则，
解得：；
故答案为：；
原式
；
有意义，
则且，
解得：，
，
则．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案；
直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质化简得出答案；
直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
【解答】
解：式子有意义，则，
解得：；
故答案为：；
见答案．
20.【答案】解：，
的整数部分为，即，
则的小数部分为，
．
【解析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．按照题目意思，先估算出出整数部分，再表示出其小数部分，确定、的值，然后代入代数式利用二次根式的乘法法则计算即可．
21.【答案】；；
；
应用：
．
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
直接利用已知条件猜想得出答案；
直接利用已知条件得出规律，用为正整数表示等式即可；
利用发现的规律将原式变形得出答案．
【解答】
解：猜想：；
故答案为：，；
归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用为正整数表示的等式：
；
故答案为： ；
见答案．
22.【答案】解：与互为相反数，
，
，，
解得；
由得，，
．

【解析】本题主要考查了相反数、算术平方根及绝对值的非负性、二元一次方程组的应用、二次根式的化简以及最简二次根式；解题时，由与互为相反数可得，根据算术平方根、绝对值的非负性可得关于、的二元一次方程组，然后解方程组即可求出，的值；把所求值代入化简即可．
23.【答案】解：
米．
答：矩形的周长为米
平方米，
元，
答：购买地砖需要花费元．
【解析】根据矩形的周长长宽计算即可；
先求出通道的面积，再算钱数即可．
本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握是解题的关键．
24.【答案】解：由，，
得，
答：此时的值为；
说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，，
则，
，
，
，
天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
【解析】根据，由，，求出即可；
站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，，求得，，比较即可得到结论．
此题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入求出是解题关键．
25.【答案】解：由题意得：，
；
连接，过点分别作、、边的垂线交、、于点、、，
由角平分线的性质定理可知：，
观察图形易知：，
，
解得：，
故I到边的距离为：．
【解析】根据题干公式将计算出来，再代入面积计算公式即可；
过点依次作出三角形三边的高，利用角平分线的性质定理可知三边的高相等，再表示出三角形的面积结合问即可求出到的距离．
本题考查二次根式的应用，角平分线的性质定理，读懂题意，弄清题干公式含义，掌握角平分线性质定理是解题关键．
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