5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2) 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
5.4三角函数的图象与性质
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)
授课老师：某某某
学习目标及重难点
学习目标
1.理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间，进一步熟悉数形结合的思想方法
2.能利用三角函数单调性比较三角函数值的大小
3.会利用三角函数单调性求函数的最值(值域)，提高数学运算的核心素养
复习回顾
函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x (x∈R)
图像
周期
奇偶性
T=2π
T=2π
奇函数
偶函数
函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期为：T＝ ．
新课引入
问题：类比以往对函数性质的研究，正弦函数、余弦函数的还有哪些性质？
单调性
最值
定义域
值域
新课内容
探究1：单调性
y
问题1：观察正弦函数图像，找出在内的单调区间
正弦在区间_________上单调递增，
在
新课内容
y
问题2：正弦函数在R上的单调增区间只有一个吗？
问题3：这些单调增区间能够用统一形式表示吗？
正弦在区间上单调递增,在
正弦函数：在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
新课内容
问题4：同理，观察余弦函数图像，你能找出在内的单调区间吗？
推广到整个定义域呢？
y
余弦在区间上单调递增,在
余弦函数：在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
新课内容
探究2：最大、最小值
问题5：(1)观察正弦函数图像，找出函数的最大值和最小值
(2)何时取得最大值？何时取得最小值？
y
(1)当时，取得最大值1.
对于正弦函数
(2)当时，
例题探究
例1：下列函数有最大最小值吗？如果有请写出取最大最小值时x的集合，并求出最大、最小值．
使函数y＝cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝2kπ+π，k∈Z};
函数y＝cos x+1，x∈R的最大值是1＋1＝2 ；最小值是－1＋1＝0．
解：(1)使函数y＝cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝ cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；
例题探究
例1：下列函数有最大最小值吗？如果有请写出取最大最小值时x的集合，并求出最大、最小值．
解：(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合z|z＝－+2kπ，k∈Z}．
由2x＝z＝－2kπ，得x＝－kπ ．所以，y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是|x＝－+kπ，k∈Z}.
同理,使函数y＝－3sin 2x, x∈R取得最小值的x的集合是|x＝+kπ, k∈Z}.
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
练习巩固
变1：
解:(1)由x∈[0,]可得, x+∈[,],
函数y=cosx在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[,].
当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].
(2)y=-4cosx+5,令t=cosx,则-1≤t≤1.y=-4t+5=,
当t=-1时,函数取得最大值10;
规律方法
求三角函数值域或最值的常用方法
(2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法)．
(1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为常数，A≠0，ω≠0)．
例题探究
例2：不通过求值，比较下列各数的大小：
解：(1) 因为-
正弦函数y＝sinx在区间[- , 0]上单调递增，所以 > .
(2) =
=
因为0 , 且函数y＝cosx在区间[0, π]上单调递减，
所以＞，即
规律方法
比较三角函数值的大小的步骤
(1)依据诱导公式把几个三角函数值化为同名函数值；
(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调递增(减)区间；
(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．
例题探究
例3:(1)求函数的单调递减区间;
(2)求函数的单调递减区间;
(3)函数的单调递增区间.
解：(1) 令
得
则
(2)由(1)知，函数在R上
因为所以函数在的单调递减区间为[]和
例题探究
例3:(1)求函数的单调递减区间;
(2)求函数的单调递减区间;
(3)函数的单调递增区间.
解：(3)因为函数
所以的单调递增区间即为函数
的单调递减区间
规律方法
单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(2)当A＜0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递减区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
提醒：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x的单调区间来解决．当A＜0或ω＜0时，要注意原函数的单调性与y＝sin x的单调性的关系。
(1)当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间．
课堂小结
函数
图象
周期
奇偶性
单调性 递增区间
递减区间
最值 最大值
最小值
奇函数
偶函数
当时，
当时，
当时，
当时，