2013-2014学年度安徽省马鞍山市八中九年级下册月考数学试卷（详细解析+考点分析+名师点评）
文档属性
| 名称 | 2013-2014学年度安徽省马鞍山市八中九年级下册月考数学试卷（详细解析+考点分析+名师点评） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 304.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-18 11:29:39 | ||
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文档简介
2013-2014学年度安徽省马鞍山市八中
九年级（下）月考数学试卷
一、精心选一选（本题共10小题，每小题4分，共40分）每小题的四个答案中，只有一个答案符合题意，请你将选出的正确答案填在下面的括号内．
1．（4分）函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x＞﹣2
3．（4分）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． 1：2 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6
4．（4分）将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=x2﹣2x﹣1 B． y=x2+2x﹣1 C． y=x2﹣2 D． y=x2+2
5．（4分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
6．（4分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A． 0.36π米2 B． 0.81π米2 C． 2π米2 D． 3.24π米2
7．（4分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． 6m B． 12m C． 8m D． 10m
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
9．（4分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D． ①③
10．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A． 1：5 B． 1：4 C． 2：5 D． 2：7
二、耐心填一填（本题共4小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面 _________ 米高．
12．（4分）已知：==，且3a﹣2b+c=9，则2a+4b﹣3c= _________ ．
13．（4分）如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= _________ （如结果中有根号，请保留根号）．
14．（4分）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 _________ ．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）．
16．（8分）如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．
五、（本大题共5小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
20．（10分）如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
n 1 2 3
xn
（2）第n个正方形的边长xn= _________ ；
（3）若m，n，p，q是正整数，且xm xn=xp xq，试判断m，n，p，q的关系．
22．（12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长．
23．（14分）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
x（十万元） 0 1 2
y 1 1.5 1.8
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
详细解析+考点分析+名师点评
一、精心选一选（本题共10小题，每小题4分，共40分）每小题的四个答案中，只有一个答案符合题意，请你将选出的正确答案填在下面的括号内．
1．（4分）函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．
解答： 解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y轴，∵常数项c=1，∴图象与y轴交于（0，1），故选B．
点评： 考查二次函数的图象的性质：二次项系数a＜0，开口方向向下；一次项系数b=0，对称轴为y轴；常数项是抛物线与y轴的交点的纵坐标．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x＞﹣2
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的被开方数大于或等于0，分母不为0，解不等式求解即可．
解答： 解：∵是分式的分母，∴x﹣2＞0，解得x＞2，故选C．
点评： 单独的二次根式在分式的分母时，二次根式的被开方数应为正数．
3．（4分）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． 1：2 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6
考点： 位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 图形的位似就是特殊的相似，就满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．
解答： 解：∵D，F分别是OA，OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．故选B．
点评： 本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．
4．（4分）将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=x2﹣2x﹣1 B． y=x2+2x﹣1 C． y=x2﹣2 D． y=x2+2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
解答： 解：根据题意y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x﹣1+1）2﹣2，y=x2﹣2．故选C．
点评： 此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
5．（4分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
分析： 根据特殊角的三角函数值和非负数的性质计算．
解答： 解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，∴sinA=，A=30°；cosB=，B=30°．∴∠C=180°﹣30°﹣30°=120°．故选D．
点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an=0，则必有a1=a2=…=an=0．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
6．（4分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A． 0.36π米2 B． 0.81π米2 C． 2π米2 D． 3.24π米2
考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则灯泡离桌面是2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是2：3，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm，则1.2：x=2：3解得：x=1.8，因而地面上阴影部分的面积为0.81π米2．
解答： 解：设阴影部分的直径是xm，则1.2：x=2：3解得x=1.8，所以地面上阴影部分的面积为：S=πr2=0.81πm2．故选B．
点评： 本题主要考查了相似图形的性质，对应高线的比等于相似比．
7．（4分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． 6m B． 12m C． 8m D． 10m
考点： 二次函数的应用．
分析： 依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
解答： 解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：﹣x2+x+=0，解之得：x1=10，x2=﹣2．又x＞0，解得x=10．故选D．
点评： 本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 作CD⊥AB于点D，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
解答： 解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵sinA=，∴CD=ACsinA=ACsin30°=2×=，∵cosA=，∴AD=ACcos30°=2×=3．∵tanB==，∴BD=2．∴AB=AD+BD=2+3=5．故选B．
点评： 本题通过作辅助线，构造直角三角形后解直角三角形，从而求出边长．
9．（4分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D． ①③
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x==﹣1可以判定②错误；由图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误．然后即可作出选择．
解答： 解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==﹣1，∴2a=b，∴2a+b=4a，a≠0，错误；③∵x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，错误；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b．故选B．
点评： 解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
10．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A． 1：5 B． 1：4 C． 2：5 D． 2：7
考点： 三角形中位线定理．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 本题的关键是求出S△DMN，先连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DE=BC，M是DE中点，于是可知，DM=BC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DN=BD，即，DN=AD，于是S△DMN=S△ADM，而S△ADM=S△ADE=S△ABC（可设S△ABC=1），那么S四边形ANME也可求，两者面积比也就可求．
解答： 解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴S△ADE=，连接AM，根据题意，得S△ADM=S△ADE=S△ABC=，∵DE∥BC，DM=BC，∴DN=BN，∴DN=BD=AD．∴S△DNM=S△ADM=，∴S四边形ANME==，∴S△DMN：S四边形ANME=：=1：5．故选A．
点评： 根据三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质和三角形的面积公式找到图形中的各部分面积之间的关系，从而求得比值．
二、耐心填一填（本题共4小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面 25 米高．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 应用题．
分析： 利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度．
解答： 解：∵坡度i=1：，∴坡角=30°．∴他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．
点评： 此题主要考查坡度坡角及三角函数的运用．
12．（4分）已知：==，且3a﹣2b+c=9，则2a+4b﹣3c= 14 ．
考点： 代数式求值．
分析： 根据题意列出三元一次方程组，求得a，b，c的值后，代入代数式求值．
解答： 解：由于==，3a﹣2b+c=9，∴，解得：b=7，a=5，c=8，把a，b，c代入代数式得：2a+4b﹣3c=2×5+4×7﹣3×8=14，故本题答案为：14，另解：设：===x，则：a=5x，b=7x，c=8x3a﹣2b+c=9可以转化为：15x﹣14x+8x=9，解得x=1那么 2a+4b﹣3c=10x+28x﹣24x=14x=14．故答案为：14．
点评： 本题利用了三元一次方程组的解法求解．
13．（4分）如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= 2或3﹣或3+ （如结果中有根号，请保留根号）．
考点： 解直角三角形；坐标与图形性质．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．
解答： 解：设ON=2x，①如图1，当PN是正方形的边长时，∵∠AOP=30°，∴OP=2x cos30°=2x×=x，又∵OP=，∴x=1，∴ON=2x=2；②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时∵∠AOP=30°，∴OM=2x cos30°=2x×=x，MP=MN=ON sin30°=2x×=x，又∵OP=，∴x+x=，解得x=，∴ON=2x=3﹣；③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN=135°时，∵∠AOP=30°，∴OM=2x cos30°=2x×=xMP=MN=ON sin30°=2x×=x，又∵OP=，∴x﹣x=，解得x=，∴ON=2x=3+．综上所述，ON的值为：2或3﹣或3+．故答案为：2或3﹣或3+．
点评： 本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，30°角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．
14．（4分）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 y=﹣ ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．
专题： 代数几何综合题；压轴题．
分析： 此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
解答： 解：过E点作EF⊥OC于F由条件可知：OE=OA=5，，所以EF=3，OF=4，则E点坐标为（﹣4，3）设反比例函数的解析式是y=则有k=﹣4×3=﹣12∴反比例函数的解析式是y=．故答案为y=．
点评： 主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 首先分别利用特殊角的三角函数值、绝对值定义、0指数幂的定义及负指数幂定义化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．
解答： 解：=2×﹣﹣1+3+=．
点评： 此题主要考查了实数的运算法则，同时也利用了特殊角的三角函数值、绝对值定义、0指数幂的定义及负指数幂定义解决问题．
16．（8分）如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 过点B作BE⊥AC，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．
解答： 解：过点B作BE⊥AC，∵∠A=135°，∴∠BAE=180°﹣∠A=180°﹣135°=45°，∴∠ABE=90°﹣∠BAE=90°﹣45°=45°，在Rt△BAE中，BE2+AE2=AB2，∵AB=20，∴BE==10，∵AC=30，∴S△ABC=AC BE=×30×10=150．
点评： 本题考查了解直角三角形，勾股定理以及三角形的面积公式，是基础知识比较简单．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
考点： 二次函数的性质；二次函数的图象．
分析： （1）用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标和对称轴；（2）准确画出抛物线与x轴的交点，开口方向，函数值小于0，图象在x轴的下方，观察图象得出x的取值范围．
解答： 解：（1）y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x2﹣4x）﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，这个二次函数图象的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2．（2）图象如下：函数值不小于0时，1≤x≤3．
点评： 主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法．渗透数形结合的思想．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 由题意易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得=，又AD+BD=AB，代入即可求出．
解答： 解：∵在△ACD和△ABC中，，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AD=8cm，BD=4cm，∴AB=12cm，∴=，∴AC=cm．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
五、（本大题共5小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 计算题；综合题；数形结合．
分析： （1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为且为负数，由此即可求出k；（2）交点A、C的坐标是方程组的解，解之即得；（3）从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．
解答： 解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO= |BO| |BA|= （﹣x） y=，∴xy=﹣3，又∵y=，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD （|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．
点评： 此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．
20．（10分）如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 计算题．
分析： 首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME﹣NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
解答： 解：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45米；由，得DE=45×=15×1.732=25.98米；又因为EH=MA=1.6米，因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.6=27.58≈27.6米；（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣14=31米，由，得CE=NE=31米；因而广告牌CD=CE﹣DE=31﹣25.98≈5.0米；答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为5.0米．
点评： 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
n 1 2 3
xn
（2）第n个正方形的边长xn= ；
（3）若m，n，p，q是正整数，且xm xn=xp xq，试判断m，n，p，q的关系．
考点： 正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： （1）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，其它正方形的边长求法相同；（2）根据所求xn的一般式进行计算．
解答： 解：（1）设第一个正方形的边长是x，则，同理得到，两式相加得到解得x=，同理解得：第二个的边长是=，第三个的边长是=；n123xn（2）依此类推，第n个正方形的边长是；（3）∵xm xn=xp xq，∴∴∴m+n=p+q．
点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应边的比相等求出边长，是解决本题的关键．
22．（12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．
解答： 解：（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，（2）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，∴∠AFM=∠GMB，∴△AMF∽△BGM，∴∴BG==，AC=BC=4cos45°=4，∴CG=4﹣=，CF=4﹣3=1，∴FG=．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、AC的长度．
23．（14分）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
x（十万元） 0 1 2
y 1 1.5 1.8
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据题意可求出y与x的二次函数关系式．（2）根据题意可知S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10；（3）根据解析式求最值即可．
解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y=﹣0.1x2+0.6x+1；（2）∵利润=销售总额减去成本费和广告费，∴S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10；（3）S=﹣x2+5x+10=﹣（x﹣2.5）2+16.25，当x=2.5时，函数有最大值．所以x＜2.5是函数的递增区间，由于1≤x≤3，所以1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．∴x=2.5时利润最大，最大利润为16.25（十万元）．
点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．要学会用二次函数解决实际问题．
九年级（下）月考数学试卷
一、精心选一选（本题共10小题，每小题4分，共40分）每小题的四个答案中，只有一个答案符合题意，请你将选出的正确答案填在下面的括号内．
1．（4分）函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x＞﹣2
3．（4分）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． 1：2 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6
4．（4分）将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=x2﹣2x﹣1 B． y=x2+2x﹣1 C． y=x2﹣2 D． y=x2+2
5．（4分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
6．（4分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A． 0.36π米2 B． 0.81π米2 C． 2π米2 D． 3.24π米2
7．（4分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． 6m B． 12m C． 8m D． 10m
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
9．（4分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D． ①③
10．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A． 1：5 B． 1：4 C． 2：5 D． 2：7
二、耐心填一填（本题共4小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面 _________ 米高．
12．（4分）已知：==，且3a﹣2b+c=9，则2a+4b﹣3c= _________ ．
13．（4分）如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= _________ （如结果中有根号，请保留根号）．
14．（4分）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 _________ ．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）．
16．（8分）如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．
五、（本大题共5小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
20．（10分）如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
n 1 2 3
xn
（2）第n个正方形的边长xn= _________ ；
（3）若m，n，p，q是正整数，且xm xn=xp xq，试判断m，n，p，q的关系．
22．（12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长．
23．（14分）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
x（十万元） 0 1 2
y 1 1.5 1.8
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
详细解析+考点分析+名师点评
一、精心选一选（本题共10小题，每小题4分，共40分）每小题的四个答案中，只有一个答案符合题意，请你将选出的正确答案填在下面的括号内．
1．（4分）函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．
解答： 解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y轴，∵常数项c=1，∴图象与y轴交于（0，1），故选B．
点评： 考查二次函数的图象的性质：二次项系数a＜0，开口方向向下；一次项系数b=0，对称轴为y轴；常数项是抛物线与y轴的交点的纵坐标．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． x≥2 B． x≠2 C． x＞2 D． x＞﹣2
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的被开方数大于或等于0，分母不为0，解不等式求解即可．
解答： 解：∵是分式的分母，∴x﹣2＞0，解得x＞2，故选C．
点评： 单独的二次根式在分式的分母时，二次根式的被开方数应为正数．
3．（4分）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． 1：2 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6
考点： 位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 图形的位似就是特殊的相似，就满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．
解答： 解：∵D，F分别是OA，OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．故选B．
点评： 本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．
4．（4分）将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=x2﹣2x﹣1 B． y=x2+2x﹣1 C． y=x2﹣2 D． y=x2+2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
解答： 解：根据题意y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x﹣1+1）2﹣2，y=x2﹣2．故选C．
点评： 此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
5．（4分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
分析： 根据特殊角的三角函数值和非负数的性质计算．
解答： 解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，∴sinA=，A=30°；cosB=，B=30°．∴∠C=180°﹣30°﹣30°=120°．故选D．
点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an=0，则必有a1=a2=…=an=0．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
6．（4分）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A． 0.36π米2 B． 0.81π米2 C． 2π米2 D． 3.24π米2
考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则灯泡离桌面是2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是2：3，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm，则1.2：x=2：3解得：x=1.8，因而地面上阴影部分的面积为0.81π米2．
解答： 解：设阴影部分的直径是xm，则1.2：x=2：3解得x=1.8，所以地面上阴影部分的面积为：S=πr2=0.81πm2．故选B．
点评： 本题主要考查了相似图形的性质，对应高线的比等于相似比．
7．（4分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． 6m B． 12m C． 8m D． 10m
考点： 二次函数的应用．
分析： 依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
解答： 解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：﹣x2+x+=0，解之得：x1=10，x2=﹣2．又x＞0，解得x=10．故选D．
点评： 本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 作CD⊥AB于点D，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
解答： 解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵sinA=，∴CD=ACsinA=ACsin30°=2×=，∵cosA=，∴AD=ACcos30°=2×=3．∵tanB==，∴BD=2．∴AB=AD+BD=2+3=5．故选B．
点评： 本题通过作辅助线，构造直角三角形后解直角三角形，从而求出边长．
9．（4分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D． ①③
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x==﹣1可以判定②错误；由图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误．然后即可作出选择．
解答： 解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x==﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==﹣1，∴2a=b，∴2a+b=4a，a≠0，错误；③∵x=﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，错误；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b．故选B．
点评： 解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
10．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A． 1：5 B． 1：4 C． 2：5 D． 2：7
考点： 三角形中位线定理．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 本题的关键是求出S△DMN，先连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DE=BC，M是DE中点，于是可知，DM=BC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DN=BD，即，DN=AD，于是S△DMN=S△ADM，而S△ADM=S△ADE=S△ABC（可设S△ABC=1），那么S四边形ANME也可求，两者面积比也就可求．
解答： 解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴S△ADE=，连接AM，根据题意，得S△ADM=S△ADE=S△ABC=，∵DE∥BC，DM=BC，∴DN=BN，∴DN=BD=AD．∴S△DNM=S△ADM=，∴S四边形ANME==，∴S△DMN：S四边形ANME=：=1：5．故选A．
点评： 根据三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质和三角形的面积公式找到图形中的各部分面积之间的关系，从而求得比值．
二、耐心填一填（本题共4小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面 25 米高．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 应用题．
分析： 利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度．
解答： 解：∵坡度i=1：，∴坡角=30°．∴他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．
点评： 此题主要考查坡度坡角及三角函数的运用．
12．（4分）已知：==，且3a﹣2b+c=9，则2a+4b﹣3c= 14 ．
考点： 代数式求值．
分析： 根据题意列出三元一次方程组，求得a，b，c的值后，代入代数式求值．
解答： 解：由于==，3a﹣2b+c=9，∴，解得：b=7，a=5，c=8，把a，b，c代入代数式得：2a+4b﹣3c=2×5+4×7﹣3×8=14，故本题答案为：14，另解：设：===x，则：a=5x，b=7x，c=8x3a﹣2b+c=9可以转化为：15x﹣14x+8x=9，解得x=1那么 2a+4b﹣3c=10x+28x﹣24x=14x=14．故答案为：14．
点评： 本题利用了三元一次方程组的解法求解．
13．（4分）如图，点P在x轴上，且，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= 2或3﹣或3+ （如结果中有根号，请保留根号）．
考点： 解直角三角形；坐标与图形性质．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．
解答： 解：设ON=2x，①如图1，当PN是正方形的边长时，∵∠AOP=30°，∴OP=2x cos30°=2x×=x，又∵OP=，∴x=1，∴ON=2x=2；②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时∵∠AOP=30°，∴OM=2x cos30°=2x×=x，MP=MN=ON sin30°=2x×=x，又∵OP=，∴x+x=，解得x=，∴ON=2x=3﹣；③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN=135°时，∵∠AOP=30°，∴OM=2x cos30°=2x×=xMP=MN=ON sin30°=2x×=x，又∵OP=，∴x﹣x=，解得x=，∴ON=2x=3+．综上所述，ON的值为：2或3﹣或3+．故答案为：2或3﹣或3+．
点评： 本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，30°角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．
14．（4分）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 y=﹣ ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．
专题： 代数几何综合题；压轴题．
分析： 此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
解答： 解：过E点作EF⊥OC于F由条件可知：OE=OA=5，，所以EF=3，OF=4，则E点坐标为（﹣4，3）设反比例函数的解析式是y=则有k=﹣4×3=﹣12∴反比例函数的解析式是y=．故答案为y=．
点评： 主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 首先分别利用特殊角的三角函数值、绝对值定义、0指数幂的定义及负指数幂定义化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．
解答： 解：=2×﹣﹣1+3+=．
点评： 此题主要考查了实数的运算法则，同时也利用了特殊角的三角函数值、绝对值定义、0指数幂的定义及负指数幂定义解决问题．
16．（8分）如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 过点B作BE⊥AC，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．
解答： 解：过点B作BE⊥AC，∵∠A=135°，∴∠BAE=180°﹣∠A=180°﹣135°=45°，∴∠ABE=90°﹣∠BAE=90°﹣45°=45°，在Rt△BAE中，BE2+AE2=AB2，∵AB=20，∴BE==10，∵AC=30，∴S△ABC=AC BE=×30×10=150．
点评： 本题考查了解直角三角形，勾股定理以及三角形的面积公式，是基础知识比较简单．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
考点： 二次函数的性质；二次函数的图象．
分析： （1）用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标和对称轴；（2）准确画出抛物线与x轴的交点，开口方向，函数值小于0，图象在x轴的下方，观察图象得出x的取值范围．
解答： 解：（1）y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x2﹣4x）﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，这个二次函数图象的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2．（2）图象如下：函数值不小于0时，1≤x≤3．
点评： 主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法．渗透数形结合的思想．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 由题意易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得=，又AD+BD=AB，代入即可求出．
解答： 解：∵在△ACD和△ABC中，，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AD=8cm，BD=4cm，∴AB=12cm，∴=，∴AC=cm．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
五、（本大题共5小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 计算题；综合题；数形结合．
分析： （1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为且为负数，由此即可求出k；（2）交点A、C的坐标是方程组的解，解之即得；（3）从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．
解答： 解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO= |BO| |BA|= （﹣x） y=，∴xy=﹣3，又∵y=，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD （|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．
点评： 此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．
20．（10分）如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 计算题．
分析： 首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME﹣NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
解答： 解：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45米；由，得DE=45×=15×1.732=25.98米；又因为EH=MA=1.6米，因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.6=27.58≈27.6米；（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣14=31米，由，得CE=NE=31米；因而广告牌CD=CE﹣DE=31﹣25.98≈5.0米；答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为5.0米．
点评： 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
n 1 2 3
xn
（2）第n个正方形的边长xn= ；
（3）若m，n，p，q是正整数，且xm xn=xp xq，试判断m，n，p，q的关系．
考点： 正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： （1）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，其它正方形的边长求法相同；（2）根据所求xn的一般式进行计算．
解答： 解：（1）设第一个正方形的边长是x，则，同理得到，两式相加得到解得x=，同理解得：第二个的边长是=，第三个的边长是=；n123xn（2）依此类推，第n个正方形的边长是；（3）∵xm xn=xp xq，∴∴∴m+n=p+q．
点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应边的比相等求出边长，是解决本题的关键．
22．（12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．
解答： 解：（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，（2）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，∴∠AFM=∠GMB，∴△AMF∽△BGM，∴∴BG==，AC=BC=4cos45°=4，∴CG=4﹣=，CF=4﹣3=1，∴FG=．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、AC的长度．
23．（14分）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
x（十万元） 0 1 2
y 1 1.5 1.8
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据题意可求出y与x的二次函数关系式．（2）根据题意可知S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10；（3）根据解析式求最值即可．
解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y=﹣0.1x2+0.6x+1；（2）∵利润=销售总额减去成本费和广告费，∴S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10；（3）S=﹣x2+5x+10=﹣（x﹣2.5）2+16.25，当x=2.5时，函数有最大值．所以x＜2.5是函数的递增区间，由于1≤x≤3，所以1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．∴x=2.5时利润最大，最大利润为16.25（十万元）．
点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．要学会用二次函数解决实际问题．
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