江苏省南京市天印高级中学2022-2023学年高二下学期期初考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年南京市天印高级中学高二第二学期期初考试
一．选择题（共8小题）
1．函数在区间，上的平均变化率为　　
A． B．4 C． D．6
2．抛物线的准线方程是　　
A． B． C． D．
3．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为　　
A． B． C． D．
4．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点．且点在直线上，则的最大值是　　
A． B． C． D．
5．记正项等比数列的前项和为，若，，则　　
A．2 B． C．32 D．63
6．函数（其中为自然对数的底）的大致图象是　　
7．已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
8．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字．国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是　　
A．的值是
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
10．下列结论错误的是　　
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
11．2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是　　
A．图（4）中共有294个正六边形
B．
C．是一个递增的等比数列
D．记为数列的前项和，则对任意的且，都有
12．下列不等关系中正确的　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
13．曲线在点处的切线方程为 　　．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的左、右支分别交于，两点．若，且△的面积为△面积的4倍，则的离心率为 　　．
15．设函数与是定义在同一区间，上的两个函数，若对任意的，，都有，则称与在，上是“密切函数”，区间，称为“密切区间”．设函数与，在，上是“密切函数”，则实数的取值范围是　　．
16．设为数列的前项和，已知，，则　　，　　．
四．解答题（共6小题）
17．已知等差数列的前项和为，其中，；等比数列的前项和为，其中，．
（1）求数列，的通公式；
（2）记，求数列的前项和．
18．已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程．
19．已知函数
（1）求函数的单调区间．
（2）若函数在，上是减函数，求实数的取值范围．
20．已知数列的前项和为，_____，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
①；②；③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．已知点在椭圆上，且点到曲线的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交于点、，求的值．
22．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点，．
①求实数的取值范围；
②求证：．
2022-2023学年南京市天印高级中学高二第二学期期初考试
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数在区间，上的平均变化率为　　
A． B．4 C． D．6
【解答】解：△（2）（1），
，
故选：．
2．抛物线的准线方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线可化为，
抛物线的焦点在轴上，且开口向右，
，
抛物线的准线方程是．
故选：．
3．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意分别记一双红色袜子和一双黑色袜子的编号为，，，，
则从箱子中同时取出两只袜子，共有种，
取出的两只袜子正好可以配成一双的共有，种情况，
故所求的概率为，
故选：．
4．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点．且点在直线上，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为：，
联立，解得，即，，
又在直线上，
，即．
．
的最大值为：．
故选：．
5．记正项等比数列的前项和为，若，，则　　
A．2 B． C．32 D．63
【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，则，则，解可得，
又由，则，
又由，则，
则，
故选：．
6．函数（其中为自然对数的底）的大致图象是　　
【解答】解：方法一：排除法：当时，，故排除，
当时，故，故排除，
当时，，故排除，
方法二：，
由，可得，函数单调递增，
由，可得，函数单调递减，
故只有符合，
故选：．
7．已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：等差数列的前项和为，，，
，．即，，
那么：前，
当取得最小值时，的值为：7
故选：．
8．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，由，
可得，
化简得，即点的轨迹是圆心为，半径的圆，
点在圆上，圆和圆有公共点，
，即，则，
又，．
则实数的取值范围是．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字．国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是　　
A．的值是
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
【解答】解：显然，
由已知得，解得，故正确；
随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星，显然不对，因为概率只是反映了在一定条件下某个事件发生的可能性大小，故错误；
评价是三星或五星的频率之和为，用频率估计概率时，随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56，故正确；
从已作评价的观众中随机抽取3人，评价五星的人数可能是0，1，2，3，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故正确．
故选：．
10．下列结论错误的是　　
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
【解答】解：过点，的直线的斜率为，
又直线倾斜角的取值范围为，，
所以直线的倾斜角为，
故选项错误；
若直线与直线垂直，
则，解得，
故选项错误；
直线，即，
所以直线与直线之间的距离是，
故选项错误；
因为点关于轴的对称点为，
则，
所以的最小值是5，
故选项正确．
故选：．
11．2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是　　
A．图（4）中共有294个正六边形
B．
C．是一个递增的等比数列
D．记为数列的前项和，则对任意的且，都有
【解答】解：对于，由图可知，图（1）至图中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图（4）中共有个正六边形，错误；
对于，由题可知，图中每个正六边形的边长为，，，正确；
对于，是底数大于1的指数型函数，是一个递增的等比数列，正确；
对于，，，，，
当且时，，
对任意的且，都有，正确．
故选：．
12．下列不等关系中正确的　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，，则，
则在为增函数，
又，
则，
即，
即，
即选项正确，选项错误；
设函数，，
则，
则在单调递减，
又，
则，
即，
即，
故选项正确，选项错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．曲线在点处的切线方程为 　　．
【解答】解：因为，所以，因此切点为，
又，所以曲线在点处的切线的斜率，
故所求切线方程为：，即
故答案为：．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的左、右支分别交于，两点．若，且△的面积为△面积的4倍，则的离心率为 　　．
【解答】解：△的面积为△面积的4倍，，
设，则，
由双曲线定义得，，
，，
在中，由勾股定理得，即，解得，
，，
在△中，由勾股定理得，即，解得，
故答案为：．
15．设函数与是定义在同一区间，上的两个函数，若对任意的，，都有，则称与在，上是“密切函数”，区间，称为“密切区间”．设函数与，在，上是“密切函数”，则实数的取值范围是　　．
【解答】解：由题意在上恒成立，，
设，则，当时，，递增，
当时，，递减，所以（1），
又，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
16．设为数列的前项和，已知，，则　　，　　．
【解答】解：由，，
可得，，
，
，
，
以上个式子相加可得，，
，
；
，
，
两式相减可得，
，
，
．
故答案为：；．
四．解答题（共6小题）
17．已知等差数列的前项和为，其中，；等比数列的前项和为，其中，．
（1）求数列，的通公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，，，
；
，，
；
（2）由（1）知，，
，
．
18．已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程．
【解答】解：（1）设圆的半径为，
以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，
所以，
所以圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，方程为，经检验与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
所以，解得，
所以切线方程为，
综上所述，直线的方程为或．
19．已知函数
（1）求函数的单调区间．
（2）若函数在，上是减函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），函数的定义域为．
①当时，，的单调递增区间为；
②当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
，
0
递减 极小值 递增
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是，．
（2）由，
得，
由已知函数为，上的单调减函数，则在，上恒成立，
即在，上恒成立．即在，上恒成立．
令，在，上，
所以在，上为减函数， （2），所以．
故实数的取值范围为．
20．已知数列的前项和为，_____，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
①；②；③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）选择①：
由知，当时，，
两式相减得，，即，
在中，令，则，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故．
选择②：由知，当时，有，
两式相减得，，
在中，令，则，满足上式，
所以，即．
选择③：由知，当时，有，
两式相除得，，
在中，令，则，满足上式，
所以．
（2），
所以，
因为对任意的，，
所以，即，
设，
所以恒成立，即，
所以单调递减，
所以（1），
故实数的取值范围为，．
21．已知点在椭圆上，且点到曲线的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交于点、，求的值．
【解答】解：（1）点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为．
，，
所以椭圆的方程为：；
（2）当直线的斜率存在时，设方程为：．设，，，，
直线与圆相切，所以，即，
联立，整理可得：，
，
又因为，
所以；
所以；
当直线的斜率不存在时，根据对称性得，的坐标分别为，
此时有，所以，
综上知．
22．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点，．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【解答】解：（1）因为，令，所以，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），所以当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）①因为，要使在上有两极值点，，
则在上有两个变号的零点，
若时，则，由（1）可知，，所以，
所以在上没有两个变号的零点，不符合题意，舍去；
当时，因为，，，
则在上单调递减，故最多只有一个零点，不符合题意，舍去；
当时，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
②证明：由①可知，，，
即，所以，所以，
令，
即，
所以，
故在上单调递增，所以当时，，
即，所以，所以，
而，所以，而在上单调递增，
因为，所以，
所以，即，
因为，
所以