广东省东莞市石竹实验学校2022-2023学年高二下学期开学学情调查数学测试题（含答案）

东莞市石竹实验学校2022-2023学年高二第二学期开学学情调查数学测试题（含答案）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知，则 ( )
A. B. C. D.
4. 当点到直线的距离最大时，m的值为( )
A. B. 0 C. D. 1
5. 设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于A，B两点，则( )
A. B. 6 C. 12 D.
6. 与向量平行，且经过点的直线方程为( )
A. B. C. D.
7. 函数的单调递增区间是
A. B. C. D.
8. 已知、为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值
为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知递减的等差数列的前n项和为，，则( )
A. B. C. D. 最大
10. 已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11. 经过点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
12. 已知数列的通项公式为若该数列是递减数列，则实数的值可能是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知圆 为正实数上任意一点关于直线的对称点都在圆 C
上，则的最小值为__________.
14. 等差数列，的前n项和分别为，，若对任意正整数n都有，则的值为__________.
15. 椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是___.
16. 如图，抛物线上的点与x轴上的点构成等边三角形，，…，…其中点在抛物线上，点的坐为，猜测数列的通项公式为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题10分的三个顶点、、，D为BC中点，求：
边上的高所在直线的方程；
边上的中线AD所在直线的方程．
18. 本小题分在三棱柱中，平面，D为的中点，是边长为1的等边三角形.
证明：；
若，求二面角的大小.
19. 本小题分已知数列的前n项和为，且
求数列的通项公式；
设，为数列的前n项和，求数列的前n项和.
本小题分已知圆与圆：关于直线对称．
求圆的方程及圆与圆的公共弦长；
设过点的直线l与圆交于M，N两点，O为坐标原点，求的最小值及此时直线l的方程．
21. 本小题分设数列的前n项和为，若对于任意的正整数n，都有
设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式.
求数列的前n项和.
22. 本小题分给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”若椭圆C的离心率为，点在C上．
求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程
点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线，使得，与椭圆C都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长为定值．
答案和解析
1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】A
7.【答案】D 8.【答案】B
解：由定义知：，，
，
当且仅当，即时取得等号，
设，
则，
，则，
又双曲线的离心率，
故选：
9.【答案】ACD 10.【答案】BD 11.【答案】AC 12.【答案】AB
11.【答案】AC
【解析】
解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为
故选
12.【答案】AB
【解析】
解：依题意，，
即对任意的恒成立.
因为，所以的最小值是6，
因比，选项AB满足题意.
故选
13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】

17.【答案】解：、，，
所以BC边斜率，
故BC边上的高线的斜率，
故BC边上的高线所在直线的方程为，即
中点，
中线AD所在直线的斜率为，
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即

18.【答案】证明：连接，是边长为1的等边三角形，且D为的中点，
，，
面，面，
又面，，
，面，
又面，
解：以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
，
分设平面的法向量为，
则即，
可取，
同理可求得平面的一个法向量为
，且二面角为锐角，
二面角的大小为
19.【答案】解：数列的前n项和为，①，
当时，解得，
当时，②，
①-②得：，
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
所以；
由得，
所以，
故，
所以数列的前n项和为
20.【答案】解：圆的圆心是
设，则由题意得
解得
圆的方程为
将圆与圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦所在直线的距离为，
两圆的公共弦长为
若直线l与y轴重合，此时直线l与圆相离，不合题意，
直线l的斜率存在.
设点、，设直线l的方程为，
联立整理得 ，
令，
解得，
由根与系数的关系得，，

，其中，
要求的最小值，只需在的情形下计算．
令，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
则取得最小值，
此时，则直线l的方程为
21.【答案】解：对于任意的正整数n都成立，
，
两式相减，得，
，即，
，
即对一切正整数都成立，
数列是公比为2的等比数列.
当时，，
即，，
，
由知，
设数列的前n项和为，则
……，
令…，①
则…，②
①-②得：…，
即，
故，

22.【答案】解：由条件可得： 解得，
所以椭圆的方程为，
卫星圆的方程为 ，
①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点和，且与椭圆只有一个公共点的直线是，
，
线段MN应为“卫星圆”的直径，
②当都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则，
消去y得到，
所以，满足条件的两直线垂直
线段MN应为“卫星圆”的直径，，
综合①②知：因为经过点，又分别交其卫星圆于点MN，且垂直，
所以线段MN为卫星圆的直径，
所以弦长为定值