17.2.2勾股定理的逆定理的应用 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
17.2.2勾股定理的逆定理的应用
人教版八年级下册
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
，a、b为直角边，c为斜边.
A
C
B
a
b
c
知识回顾
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b 、 c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
△的三边a、b、c满足
是直角三角形
A
C
B
a
b
c
教学目标
1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.学会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决.
新知导入
思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
地球的70%是海洋，大洋一望无边，船只在航行的时候需要确定方向和位置.
新知探究
知识点 1
勾股定理逆定理的应用
例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16n mile，“海天”号每小时航行 12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q、
R 处，且相距 30n mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？
新知探究
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.
通过题目已知条件可以得出：
1.PR 的长度 2. PQ 的长度
3.∠1 的度数 4. RQ 的长度
新知探究
解：根据题意，
PQ=16╳1.5=24， PR=12╳1.5=18， RQ=30.
∵，即
所以∠RPQ=90 .
由“远航”号沿东北方向航行可知，
∠1=45 .因此∠2=45 ，即“海天”号沿西北方向航行.
新知练习
1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
解析：根据图示的距离，可以判断出以 A、B、C 三地位置构成的三角形是直角三角形.
新知探究
解：在△ABC中，
∵
.
所以 .
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 ，
所以 C 地在 B 地的正北方向 .
新知练习
解：
教师点拨：
利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,再利用在直角三角形中两锐角互余求解.
由题意知:
2.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,
航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向是什么样的？
∴52+122=132即BC2+AC2=AB2,
又∵乙巡逻艇航向为北偏西40°,即∠CBA=50°,
∴∠CAB=40°,
∴甲的航向为北偏东50°.
新知探究
例2：如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地并种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算产量,小明找来一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90°.
教师点拨：
关键是通过分割把四边形的问题转化成解三角形的问题,再用勾股定理解答.
解：
连接AC,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
在△ACD中, AC2+AD2=52+122=169, CD2=132=169,
∴AC2+AD2=CD2, 即△ACD是直角三角形,
土地的面积=Rt△ABC的面积+Rt△ACD的面积
∴四边形土地的面积是36m2.
新知练习
3.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， ∠B=90 .求四边形ABCD的面积.
解析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜边 AC. 根据 AC、CD、AD 的长度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.
C
B
A
D
新知探究
解：∵∠B90 ，∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理得：
∵在△ACD中，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90 .
∴S四边形ABCD S ABC +S ACD =
+30=36.
C
B
A
D
新知练习
解：
教师点拨：
通过填补将四边形的问题转化成三角形的问题,关键是求证△ABC是直角三角形.
连接AC,
4.如图,有一块地,已知,AD=4cm,CD=3cm,∠ADC=90°,AB=13cm,BC=12cm,求这块地的面积.
∵AD=4,CD=3,∠ADC=90°,
又∵在△ABC中,AB=13m,BC=12m,AC=5m,
∴52+122=132
即△ABC是直角三角形,∴△ABC的面积
∴这块地的面积=30-6=24(m2).
新知探究
知识点 2
勾股数
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在，当a、b、c为正整数时，称
a、b、c为一组勾股数.
勾股数必须是正整数，例如0.3、0.4、0.5和1虽然满足， 但它们都不是勾股数.
新知探究
判断一组数是否为勾股数的步骤
看：看是不是三个正整数；
找：找最大数；
算：计算最大数的平方与两个较小的数的平方和；
判：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数.
1
2
3
4
新知探究
（1）常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,12,13.
（2）勾股数有无数组.
（3）一组勾股数中的各数都乘以相同的正整数可以得到一组新的勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数）也是一组勾股数.
新知探究
1.判断下列各组数是不是勾股数.
（1）8、12、16；（2）12、16、20；（3）0.9、1.2、1.5
解：（1）∵.
∴
（2）∵.
∴
（3）
课堂总结
勾股定理逆定理的应用
实际应用
勾股数
实际问题构建成数学模型，利用逆定理去求解.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
课堂练习
D
B
1
2
课堂练习
3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）
A. B.
C. D.
D
课堂练习
4.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
课堂练习
5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
课堂练习
解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里)，
∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，
∴OB2+OA2=AB2，
∴∠AOB=90°.
∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD=50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
谢谢
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