3.4函数的应用（一）基础练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

3.4函数的应用（一）
一、单选题（本大题共8小题）
1. 某物体一天中的温度是时间的函数：，时间的单位是小时，温度的单位是，表示中午时，其后取值为正，其前取值为负，则上午时的温度为( )
A. B. C. D.
2. 若不计空气阻力，则以初速度竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中现有一名同学以初速度竖直向上抛一个排球，则该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为( )
A. B. C. D.
3. 已知某旅游城市在过去的一个月内以天计，第天的旅游人数万人近似地满足，而人均消费元近似地满足则求该城市旅游日收益的最小值是( )
A. B. C. D.
4. 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过分钟，收话费元，以后每分钟收话费元，若小张身上仅有元，则他能持续通话的最长时间为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
5. 若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离单位：与刹车时的速率单位：的关系，而某种型号的汽车在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为在限速为的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，那么这辆车刹车时的速率为( )
A. B. C. D.
6. 已知符号函数则“”是“”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 某上市股票在天内每股的交易价格元与时间天组成有序数对，点落在图中的两条线段上；该股票在天内的日交易量万股与时间天的部分数据如下表所示，且与满足一次函数关系，
第天
万股
那么在这天中第几天日交易额最大( )
A. B. C. D.
8. 小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为元，每束花的进价为元，若日均销售量束与销售单价元的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
二、多选题（本大题共4小题）
9. 若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是( )
A. 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B. 函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C. 函数可以是某个圆的“太极函数”
D. 函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的．( )
A. 为“不动点”函数
B. 的不动点为
C. 为“不动点”函数
D. 若定义在上有且仅有一个不动点的函数满足，则
12. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：
对任意的，总有；若，，则有成立．
下列判断正确的是( )
A. 若为“函数”，则
B. 若为“函数”，则在上为增函数
C. 函数，在上是“函数”
D. 函数在上是“函数”
三、填空题（本大题共4小题）
13. 对于定义域为的函数，若存在，使，则称点为图象上的一个不动点．由此，函数的图象上不动点的坐标为 ．
14. 在固定压力差压力差为常数下，当气体通过半径为单位：的圆形管道时，其流量速率单位：与的四次方成正比，若气体在半径为的管道中，流量速率为，则当气体通过半径为的管道时，该气体的流量速率为 ．
15. 为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增．第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元千瓦时．若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为 千瓦时．
16. 某商品在近天内每件的销售价格单位：元与销售时间单位：天的函数关系为，，且该商品的日销售量单位：件与销售时间单位：天的函数关系为，则该商品的日销售额最大的一天是天中的第 天
四、解答题（本大题共2小题）
17. 喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线喷嘴连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为，上底长米，下底长米．如图所示，记梯形位于直线左侧的图形的面积为．
试求函数的解析式；
定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值即最大值．
18. 随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代传统渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入移动互联网时代．年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量千部的函数关系式利润销售额成本；
年产量为多少千部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解答】
解：上午时，故．
故选：．

2.【答案】
【解答】
解：由题意，当时，，
由，得，解得，
所以该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为．
故选A．

3.【答案】
【解答】
解：由题意可得
所以每天的收益为
当，，当且仅当，即时取到等号；当时，，此时函数在上单调递减，故的最小值为．
综上可得，求该城市旅游日收益的最小值是．
故选：．

4.【答案】
【解答】
解：设通话时间为分钟，话费为元，
则
由，
解得．
故选C．

5.【答案】
【解答】
解：因为，距离单位：，速率单位：
汽车在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为，
则，，
所以，
则，
汽车紧急刹车后滑行的距离为，
则，
可得，
故选C．

6.【答案】
【解答】
解：若，则
若，则，同号，所以．
故“”是“”的必要不充分条件．

7.【答案】
【解答】
解：当时，设，
根据图象过点，所以
解得，所以，
同理可得当，，
综上可得，
由题意可设，把代入可得
解得，所以，
当时，对称轴为，开口向下，
所以当时，万元，
当时，在上单调递减，
所以时，万元，
综上可得，第日的交易额最大为万元．
故选B．

8.【答案】
【解答】
解：设每天获利元，则，
由，，得，
故当时，每天获利最大，
故选：．

9.【答案】
【解答】
解：因为函数，，所以其定义域为，值域为；
对于选项A，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；
对于选项B，，，其定义域为，值域为，不是“同象函数”；
对于选项C， ，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；
对于选项D，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”．
故选ACD．

10.【答案】
【解答】
解：选项A，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，故A正确；
选项B，函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心在原点的所有圆的“太极函数”，故B正确；
选项C，函数的图象是第一、三象限的两支曲线，不存在圆让函数的图象将其周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”，故 C错误；
选项D，函数的图象是中心对称图形，但不是“太极函数”；反之，如图，函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D错误．
故选AB．

11.【答案】
【解答】
解：对于选项A：当时，解得，所以函数是“不动点”函数，
对于选项B：当时，，所以函数的不动点为．
对于选项C：，当时，令
解得或，
当时，，解得舍，
因而该函数为“不动点”函数；
对于选项D
仅有一个实数，使得
，对，有，令，有，
，，，解得或
当时，，，但方程有两个不同的实数解，不满足题意．
当时，，
，此时方程仅有唯一的实数解，满足题意综上，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解答】
解：在中，令得到，
，
又对任意的，恒成立，，
，故A正确；
令，表示不超过的最大整数，显然，在上，，且，但不是单调递增函数，故B不正确；
对于函数，不满足，故C不正确；
易于验证函数在上是“函数”，事实上，显然成立，
，成立，故D正确．
故选AD．

13.【答案】、
【解答】
解：由题设，函数定义域为，
令，
则，
所以函数不动点坐标为、．
故答案为：、．

14.【答案】
【解答】
解：由已知，设，当时，，
即，可得，
故当时，．
故答案为．

15.【答案】
【解答】
解：设月用电量为单位：千瓦时，交纳的电费为单位：元，
当，，
当，，
当，，
根据题意得
因为，
所以此户居民月份的用电量，
由，解得．
故答案为：．

16.【答案】
【解答】
解：由题意，得该商品的日销售额：
，
当，时，，
则当时，
当，时，，
则当时，．
因为，所以第天的日销售额最大．

17.【答案】解：当时，，
当时，，
当时，，
所以函数的解析式为；
由已知可得，
当时，为单调递增函数，所以当时，，
当时，为单调递增函数，则当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最大值为，
因为，又，
所以，
所以函数的最大值为．
18.【答案】解：当时，，
当时，，
．
若，，当时，万元
若，，
当且仅当时，即时，万元．
因为．
所以年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
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