6.2.1-6.2.2排列与- 排列数 课件（共31张PPT）

(共39张PPT)
第六章　计数原理
6.2.1 排列
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
解：第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。
把上面问题中被取出的对象叫做元素,
于是问题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
百 十 个
从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc, abd, acb, acd, adb, adc;
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc;
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb;
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？
（一）排 列
一般地，从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
说明：
（1）、元素不能重复.n个中不能重复，m个中也不能重复
（2）、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
（3）、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
（4）、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
（5）、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”
例1.某省中学生足球赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？（有多少种排列方式）分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选2支，按“主队、客队”的顺序排成一个排列.解：可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:6×5=30.例2.(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？分析:3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜，可看作从5盘菜中任取3盘放在3个位置(给3名同学)的一个排列；解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:5×4×3=60.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法;再让同学乙从5种菜中选1种，有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:5×5×5=125.
例2.(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.
例3. (1)8个人排成一排,共有多少种不同的排法
(2)8个人排成两排,前后两排各4人共有多少种不同的排法
(3)8个人排成两排,前排3人,后排5人,共有多少种不同的排法
(二)排 列 数
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
※“排列数”是指从n个不同元素中，任取m个元素的所有排列的个数，是一个数；
符号 只表示排列数，而不表示具体的排列
※“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数
问题1中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为 ,已经算得
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为　　，已经算出
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列
数 是多少？
呢？
（1）右边第一个因数是n，后面依次减1；
（2）最后一个因数是n-m+1；
（3）共有m个连续正整数相乘.
排列数公式：
当m＝n时，
我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
我们规定，0！=1
1！=1；
2！=2×1=2
3！=3×2×1=6
4！=4×3×2×1=24
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示
n个不同元素的全排列公式：
例4：计算：
解：根据排列数公式，可得：
例4.计算：
思考：由例3可以看到
观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？
解：根据排列数公式，可得：
排列数公式二
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明或解方程。
2、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
(三)典 例 解 析
例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参
加，每队要与其余各队在主、客场分别比
赛一次，共进行多少场比赛？
解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是
例2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位
十位
个位
解法一：对排列方法分步思考
从位置出发
解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
根据加法原理
从元素出发分析
解法三：间接法.
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，
∴ 所求的三位数的个数是
其中以0为排头的排列数为 .
逆向思维法
百位
十位
个位
千位
万位
例3：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
百位
十位
个位
千位
万位
例4：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
例5：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种
C
例6、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少种不同的排法？
⑵女生必须全排在一起
⑴女生必须全分开
　　　　
相离问题插空法
相邻问题捆绑法
例6、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少种不同的排法？
⑶两端都不能排女生
⑷两端不能都排男生
特殊元素和特殊位置优先法
例7：有3个男生和4个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：
（1）甲只能排在正中间或两端；
（2）甲、乙必须在两端；
（3）甲不在最左端，乙不在最右端；
（4）男、女各排在一起；
（5）男生必须排在一起.
例7：有3个男生和4个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：
（6）男生不能排在一起；
（7）男、女生各不相邻；
（8）甲、乙中间必须有2人；
（9）甲必须在乙的左边（不一定相邻）；
（10）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻）
课堂小结
1.排列
2.排列数公式
3.排列问题常用解题思路：间接法、插空法、捆绑法
1、优化第6页做一做2-2
课后作业