4.1第1课时 数列的概念与通项公式
单选题 1★★+2★★+3★★4★★5★★+6★★★
多选题 7★★+8★★
填空题 9★★+10★★+11★★★
解答题 12★★+13★★+14★★★
一、单选题
1★★已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(－∞，3] D.(－∞，3)
【解析】∵数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，
∴an＋1－an>0对n∈N*恒成立，
即(n＋1)2－k(n＋1)－(n2－kn)＝2n＋1－k>0对n∈N*恒成立，
∴k<2n＋1对n∈N*恒成立，即k<3.
故选D.
2★★设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于( )
A. B.＋
C.＋＋ D.＋＋＋
【解析】∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，
∴a2＝＋＋.
故选C.
3★★已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为( )
A．6 B．7 C．64 D．65
【解析】由按规律排列的数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21,1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，
所以该数列的第22项为7.
故选B.
4★★数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
【解析】令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验即可。排除A，B，D，从而选C.
故选C.
5★★已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
【解析】将该数列的第1项“1”写成“”，再将该数列分组，第一组有1项：；第二组有2项：，；第三组有3项：，，；第四组有4项：，，，；…容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第8项。由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项.
故选B.
6★★★函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－的正数零点从小到大构成数列，则a3＝( )
A． B． C． D．
【解析】因为f(x)＝sin 2x－cos 2x－
＝2sin －，
所以令f＝0，得2x－＝＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z，
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
所以正数零点从小到大构成数列为a1＝，a2＝，a3＝，….
故选B.
二、多选题
7★★下面四个结论中正确的是( )
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的
【解析】数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C项错误；数列的通项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公式可以是an＝sin，也可以是an＝cos，D项错误.
故选AB.
8★★下列关于数列的叙述正确的是( )
A.an＝n2，数列{an}是递增数列
B.数列1，2，3与3，2，1是同一个数列
C.an＝sin ，数列{an}只有三项1，0，－1
D.an＝sin ，数列{an}的前三项依次为1，0，－1
【解析】由于an＝n2满足an＝n2<(n＋1)2＝an＋1(n∈N*)，故数列{an}是递增数列，选项A正确；
数列1，2，3与3，2，1的顺序不同，不是同一个数列，选项B错误；
由于an＝sin ，数列{an}的前四项依次为1，0，－1，0，且an＋4＝sin ＝sin＝sin ＝an，
所以数列{an}是周期数列，且是无穷数列，选项C错误，选项D正确.
故选AD.
三、填空题
9★★已知数列{an}为递增数列，an＝n2－λn＋3，则λ的取值范围是________．
【解析】因为数列{an}是递增数列，所以an＋1>an，所以(n＋1)2－λ(n＋1)＋3>n2－λn＋3，化为λ<2n＋1恒成立，因为n≥1且n∈Z，则2n＋1≥3，所以λ<3.
10★★某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
【解析】f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
11★★★已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________.
【解析】由题意知an＝因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a>0，即a<3；当n>10时，a>1。又a10
0，即(a＋12)(a－2)>0，所以a<－12或a>2。综上可得，a的取值范围为(2,3).
四、解答题
12★★写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7 777。
【解析】(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*。
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*。
(3)这个数列的前4项可以变为×9，
×99，×999，×9 999，
即×(10－1)，×(100－1)，
×(1 000－1)，×(10 000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，
×(103－1)，×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N*。
13★★已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
【解析】(1)根据an＝3n2－28n，
得a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
解得n＝7或n＝(舍)，
∴－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2或n＝，均不是正整数，
∴68不是该数列的项.
14★★★已知数列{an}的通项公式为an＝。
(1)求a10。
(2)判断是否为该数列中的项。若是，它为第几项？若不是，请说明理由。
(3)求证：0【解析】(1)根据题意可得a10＝＝。
(2)令an＝，即＝，解得n＝3，所以为数列{an}中的项，为第3项。
(3)证明：由题意知an＝＝1－，
因为n∈N*，
所以3n＋1>3，所以0<<1，
所以0<1－<1，即0单选题 1★★+2★★+3★★4★★5★★+6★★★
多选题 7★★+8★★
填空题 9★★+10★★+11★★★
解答题 12★★+13★★+14★★★
一、单选题
1★★已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(－∞，3] D.(－∞，3)
2★★设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于( )
A. B.＋
C.＋＋ D.＋＋＋
3★★已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为( )
A．6 B．7 C．64 D．65
4★★数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
5★★已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
6★★★函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－的正数零点从小到大构成数列，则a3＝( )
A． B． C． D．
二、多选题
7★★下面四个结论中正确的是( )
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的
8★★下列关于数列的叙述正确的是( )
A.an＝n2，数列{an}是递增数列
B.数列1，2，3与3，2，1是同一个数列
C.an＝sin ，数列{an}只有三项1，0，－1
D.an＝sin ，数列{an}的前三项依次为1，0，－1
三、填空题
9★★已知数列{an}为递增数列，an＝n2－λn＋3，则λ的取值范围是________．
10★★某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
11★★★已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
12★★写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7 777。
13★★已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
14★★★已知数列{an}的通项公式为an＝。
(1)求a10。
(2)判断是否为该数列中的项。若是，它为第几项？若不是，请说明理由。
(3)求证：0