4.1 第2课时 数列的递推公式
单选题 1★+2★+3★4★5★+6★★
多选题 7★+8★
填空题 9★+10★+11★★
解答题 12★+13★+14★★
一、单选题
1★数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
2★在已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3＝( )
A．3 B．9
C．12 D．20
3★已知数列{an}满足an>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4★已知数列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，则a1＋a3的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
5★已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A．36 B．35
C．34 D．33
6★★已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)。若数列{an}是常数列，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．(－1)n
二、多选题
7★已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是( )
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
8★由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则( )
A.b3的值是7
B.b4的值是9
C.b5的值是15
D.b6的值是33
三、填空题
9★在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________.
10★数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项.
11★★已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
四、解答题
12★设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列的通项公式.
13★已知下面数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式。
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b。
14★★已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式.4.1 第2课时 数列的递推公式
单选题 1★+2★+3★4★5★+6★★
多选题 7★+8★
填空题 9★+10★+11★★
解答题 12★+13★+14★★
一、单选题
1★数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
【解析】因为an＋1＝an＋2－an，所以an＋2＝an＋1＋an，又因为a1＝2，a2＝5，所以a3＝a1＋a2＝7，a4＝a3＋a2＝12，a5＝a4＋a3＝19.
故选D.
2★在已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3＝( )
A．3 B．9
C．12 D．20
【解析】因为数列{an}中，an＝n2＋n，所以a3＝9＋3＝12.
故选C.
3★已知数列{an}满足an>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【解析】因为＝<1，an>0，所以an＋1
故选B.
4★已知数列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，则a1＋a3的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
【解析】由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1＋a3＝4.
故选A.
5★已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A．36 B．35
C．34 D．33
【解析】a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a2＋a18＝34.
故选C.
6★★已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)。若数列{an}是常数列，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．(－1)n
【解析】因为数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝。因为数列{an}是常数列，所以a＝，解得a＝－2.
故选A.
二、多选题
7★已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是( )
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
【解析】Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝
故选AD.
8★由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则( )
A.b3的值是7
B.b4的值是9
C.b5的值是15
D.b6的值是33
【解析】因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.
故选BD.
三、填空题
9★在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________.
【解析】a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，
a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.
10★数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项.
【解析】a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14.
11★★已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
【解析】a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
四、解答题
12★设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列的通项公式.
【解析】因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，所以＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝。
又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，
所以an＝.
13★已知下面数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式。
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b。
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此式，
所以an＝4n－5。
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1。
当b＝－1时，a1适合此式。
当b≠－1时，a1不适合此式。
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
14★★已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
【解析】因为an＝an－1＋(n≥2)，
所以an－an－1＝＝－，
所以a2－a1＝－，
a3－a2＝－，…，
an－an－1＝－(n≥2)。
以上各式相加，
得an－a1＝－(n≥2)，
所以an＝a1＋－＝(n≥2)，
又a1＝适合an＝，
故数列{an}的通项公式为an＝.