4.1第2课时 数列的递推公式与前n项和
单选题 1★★+2★★+3★★4★★5★★+6★★★
多选题 7★★+8★★
填空题 9★★+10★★+11★★★
解答题 12★★+13★★+14★★★
一、单选题
1★★设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
2★★在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 023等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
3★★由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a,则b6的值是( )
A．9 B．17
C．33 D．65
4★★公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于( )
A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024
5★★在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于( )
A. B. C. D.
6★★★在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
二、多选题
7★★已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝3，则下列结论正确的是( )
A．a2＝－ B．a5＝
C．数列的周期为3 D．a2 019＝
8★★已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为( )
A．4 B．5
C．21 D．32
三、填空题
9★★若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 023=
10★★设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
11★★★在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
四、解答题
12★★(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an；
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
13★★已知数列{an}的前n项和为Sn。
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
14★★★设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和.4.1第2课时 数列的递推公式与前n项和
单选题 1★★+2★★+3★★4★★5★★+6★★★
多选题 7★★+8★★
填空题 9★★+10★★+11★★★
解答题 12★★+13★★+14★★★
一、单选题
1★★设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
【解析】∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
故选D.
2★★在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 023等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
【解析】当n＝1时，a2＝1－＝－1；
当n＝2时，a3＝1－＝2；
当n＝3时，a4＝1－＝＝a1；a5＝1－＝－1＝a2；a6＝2＝a3；…
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，
故a2 023＝a3×674＋1＝a1＝.
故选A.
3★★由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a,则b6的值是( )
A．9 B．17
C．33 D．65
【解析】因为bn＝a，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33
故选C.
4★★公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于( )
A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024
【解析】由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，
则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023.
故选C.
5★★在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于( )
A. B. C. D.
【解析】方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二 (迭代法) a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，
所以an＝(n∈N*)．
方法三 (累加法) an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，
所以an＝(n∈N*)．
故选B.
6★★★在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
【解析】法一(迭代法) 由题意得
a2＝a1＋ln＝a1＋ln ，
a3＝a2＋ln＝a2＋ln ，
a4＝a3＋ln ，
…，
an＝an－1＋ln＝an－1＋ln (n≥2)，
则an＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln
＝a1＋ln
＝2＋ln n(n≥2).
又a1＝2＝2＋ln 1，符合上式，
所以an＝2＋ln n.
法二(累加法) 由题意得an＋1－an
＝ln＝ln(1＋n)－ln n，
a1＝2，
a2－a1＝ln 2，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
以上各式两边分别相加，
得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)](n≥2).
所以an＝2＋ln n(n≥2).
因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n.
故选A.
二、多选题
7★★已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝3，则下列结论正确的是( )
A．a2＝－ B．a5＝
C．数列的周期为3 D．a2 019＝
【解析】由题意，可知a1＝3，a2＝＝＝－，a3＝＝＝，a4＝＝＝3，a5＝＝＝－，…所以数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列。因为2 019÷3＝673，所以a2 019＝a3＝.
故选ACD.
8★★已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为( )
A．4 B．5
C．21 D．32
【解析】若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1。若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)；若a2为偶数，则＝1，a2＝2。若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，若a1为偶数，则＝2，a1＝4。若a3为偶数，则＝4，a3＝8。若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)；若a2为偶数，则＝8，a2＝16。若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5；若a1为偶数，则＝16，a1＝32。故m所有可能的取值为4,5,32.
故选ABD.
三、填空题
9★★若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 023=
【解析】a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
…
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－.
10★★设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
【解析】法一(累乘法) 把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，∴···…·
＝×××…×，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
法二(迭代法) 同法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
法三(构造特殊数列法) 同法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，∴an＝.
11★★★在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
四、解答题
12★★(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an；
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－.①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式.
∴an＝
(2)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，①
可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2，②
所以由①－②得nan＝n2－(n－1)2
＝2n－1，
即an＝2－(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，a1＝1也满足，
所以an＝2－(n∈N*).
13★★已知数列{an}的前n项和为Sn。
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
【解析】(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)
＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]
＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也适合此式，
所以an＝(－1)n＋1·(2n－1).
(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝
2·3n－1＋2，
由于a1不适合此式，
所以an＝
14★★★设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解析】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1) .
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2) .
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知＝＝－.
则Sn＝－＋－＋…＋－＝.
