4.3等比数列综合提高卷-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3等比数列综合提高卷-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 555.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-14 09:23:48 | ||
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文档简介
4.3等比数列 综合提高卷
一、单选题
1．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
2．已知数列满足且，则（ ）
A．64 B． C． D．
3．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
5．已知等比数列的公比，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（ ）
A．第10个括号内的第一个数为1025 B．2021在第11个括号内
C．前10个括号内一共有1025个数 D．第10个括号内的数字之和
7．在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（ ）
A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10
8．设等比数列，首项，实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公比的取值可能为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列和满足，，，.则（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．
10．已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043
11．已知正项等比数列，，公比分别为，，前项和分别为，，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若公比为q，则
B．若，则
C．若数列的前项和，则
D．“”是“”的充分而不必要条件
三、填空题
13．一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为______．
14．在等比数列中，若，，则___________.
15．等比数列的前项和为，则数列的前项和为______．
16．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过__分钟．
四、解答题
17．已知等比数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由．
18．已知等差数列和正项等比数列满足．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和时的最小值．
19．已知数列的通项公式为（n，a均为正整数）.
(1)若、、成等差数列，求a的值；
(2)是否存在k（且）与a，使得、、成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在，请说明理由；
(3)求证：数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积.
20．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
(1)分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．
21．贾先生买了一套总价为万元的商品房，首付万元，其余万元（本金）向银行申请贷款，贷款月利率.从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），年还清.(精确到元)
(1)若每月等额偿还本金（万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第个月还款金额是多少元？
(2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元）
(3)请问年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间价值等因素）.
22．已知数列满足，.
(1)若且.
（i）当成等差数列时，求的值；
（ii）当且，时，求及的通项公式.
(2)若，，，.设是的前项之和，求的最大值。
参考答案
1--8CCBCA DDB
9．BCD
10．ABD
11．AC
12．AD
13．18
14．32
15．
16．
17．（1）当时，由得：，
，则，
为等比数列，等比数列的公比为；
当时，，，解得：，
（2）假设存在满足题意的项，
由（1）得：，又，；
成等比数列，，即，
成等差数列，，，
，
整理可得：，又，，
即，解得：，则，与已知中是公差不为的等差数列相矛盾，
假设错误，即不存在满足题意的项.
18．（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
因为，
则，
所以，且，则，
所以，；
（2）由（1）知，，则，且，
所以，即，所以的最小值为.
19．（1）由题意得，即，为正整数，解得，
（2）由题意得，即，
化简得，
得，且，为正整数，
可得的取值集合为
（3）对任意，
，即，
故数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积
20．(1)数列1，2，3，4，是“数列”，数列2，6，8，12不是“数列”．
因为数列1，2，3，4，中“”构成等比数列，
所以数列1，2，3，4，是“数列”；
因为数列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，
所以数列2，6，8，12不是“数列”；
(2)
不是“数列”．
假设是“数列”，
因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“数列”．
(3)
设等差数列的公差为，
则，，
假设存在三项使得，成立，
即，
展开得，
当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；
所以中存在成等比数列．
所以，数列为“数列”．
21．（1）假设程先生在第个月的还款金额是万元，
第个月还款金额：万元，
第个月还款金额：万元，
第个月还款金额：万元，
所以，第3个月还款金额为4158元.
（2）设程先生在第个月时还欠银行贷款万元，每月固定还款万元，
则，，令，
则，所以，
所以是公比为的等比数列，
即
由，得万元，故每月应还款元.
（3）每月等额偿还本金，由（1）知：，则，
两式相减，并整理得，故，，
所以，共还款为万元；
每月还款金额相等，共还款为万元.
22．（1）（i）为等差数列，，即，
，又，；
（ii）当时，，，，
，又，；
由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，
时也符合，综上.
（2）由得：，
，
，，即；
又，，，，即；
.
，，，
又，，，则，
，
令，设，
为开口向上的抛物线，对称轴为，
在单调递增，当时取得最大值，
最大值为，
的最大值为.
一、单选题
1．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
2．已知数列满足且，则（ ）
A．64 B． C． D．
3．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
5．已知等比数列的公比，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（ ）
A．第10个括号内的第一个数为1025 B．2021在第11个括号内
C．前10个括号内一共有1025个数 D．第10个括号内的数字之和
7．在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（ ）
A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10
8．设等比数列，首项，实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公比的取值可能为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列和满足，，，.则（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．
10．已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043
11．已知正项等比数列，，公比分别为，，前项和分别为，，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若公比为q，则
B．若，则
C．若数列的前项和，则
D．“”是“”的充分而不必要条件
三、填空题
13．一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为______．
14．在等比数列中，若，，则___________.
15．等比数列的前项和为，则数列的前项和为______．
16．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过__分钟．
四、解答题
17．已知等比数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由．
18．已知等差数列和正项等比数列满足．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和时的最小值．
19．已知数列的通项公式为（n，a均为正整数）.
(1)若、、成等差数列，求a的值；
(2)是否存在k（且）与a，使得、、成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在，请说明理由；
(3)求证：数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积.
20．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
(1)分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．
21．贾先生买了一套总价为万元的商品房，首付万元，其余万元（本金）向银行申请贷款，贷款月利率.从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），年还清.(精确到元)
(1)若每月等额偿还本金（万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第个月还款金额是多少元？
(2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元）
(3)请问年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间价值等因素）.
22．已知数列满足，.
(1)若且.
（i）当成等差数列时，求的值；
（ii）当且，时，求及的通项公式.
(2)若，，，.设是的前项之和，求的最大值。
参考答案
1--8CCBCA DDB
9．BCD
10．ABD
11．AC
12．AD
13．18
14．32
15．
16．
17．（1）当时，由得：，
，则，
为等比数列，等比数列的公比为；
当时，，，解得：，
（2）假设存在满足题意的项，
由（1）得：，又，；
成等比数列，，即，
成等差数列，，，
，
整理可得：，又，，
即，解得：，则，与已知中是公差不为的等差数列相矛盾，
假设错误，即不存在满足题意的项.
18．（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
因为，
则，
所以，且，则，
所以，；
（2）由（1）知，，则，且，
所以，即，所以的最小值为.
19．（1）由题意得，即，为正整数，解得，
（2）由题意得，即，
化简得，
得，且，为正整数，
可得的取值集合为
（3）对任意，
，即，
故数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积
20．(1)数列1，2，3，4，是“数列”，数列2，6，8，12不是“数列”．
因为数列1，2，3，4，中“”构成等比数列，
所以数列1，2，3，4，是“数列”；
因为数列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，
所以数列2，6，8，12不是“数列”；
(2)
不是“数列”．
假设是“数列”，
因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“数列”．
(3)
设等差数列的公差为，
则，，
假设存在三项使得，成立，
即，
展开得，
当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；
所以中存在成等比数列．
所以，数列为“数列”．
21．（1）假设程先生在第个月的还款金额是万元，
第个月还款金额：万元，
第个月还款金额：万元，
第个月还款金额：万元，
所以，第3个月还款金额为4158元.
（2）设程先生在第个月时还欠银行贷款万元，每月固定还款万元，
则，，令，
则，所以，
所以是公比为的等比数列，
即
由，得万元，故每月应还款元.
（3）每月等额偿还本金，由（1）知：，则，
两式相减，并整理得，故，，
所以，共还款为万元；
每月还款金额相等，共还款为万元.
22．（1）（i）为等差数列，，即，
，又，；
（ii）当时，，，，
，又，；
由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，
时也符合，综上.
（2）由得：，
，
，，即；
又，，，，即；
.
，，，
又，，，则，
，
令，设，
为开口向上的抛物线，对称轴为，
在单调递增，当时取得最大值，
最大值为，
的最大值为.