6.4.1 平面几何中的向量方法+6.4.2 向量在物理中的应用举例 练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

6.4.1 平面几何中的向量方法+6.4.2 向量在物理中的应用举例
【基础篇】
题型1　平面几何中的向量方法
1．在△ABC中，若|＋|＝|－|，则△ABC的形状是(　　)　　　　　　　　　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．(多选)[湖北部分市、州2022高一联考]在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝60°，点P为对角线AC与BD的交点，若＝＋，则(　　 )
A.＝
B.·＝0
C.＋2＝0
D．(＋)∥(－)
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且 BD＝DC.求：
(1)AD的长等于________；
(2)∠DAC的大小为________．
4．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
题型2　向量在物理中的应用举例
5．已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝(　　)
A．(1，－5) B．(－1，5)
C．(5，－1) D．(－5，1)
6．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N．当它们的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．40 N　 B．10 N　 C．20 N　 D．40 N
7．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)．
(1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短，为什么？
【提升篇】
1．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则这个四边形是(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．已知O，A，B三点不共线，∠AOB＝θ.若|＋|<|－|，则(　　)
A．sin θ>0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ<0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
3．已知O，P是△ABC所在平面上的两点，且满足(－)·(＋－2)＝0和|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
4．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若·＝1，则·的最大值为(　　)
A．－3 B.
C．1 D.
5．(多选)[浙江余杭中学等校2021高一联考]在水流速度大小为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是(　　)
A．这艘船航行速度的大小为12 km/h
B．这艘船航行速度的大小为8 km/h
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°
6．(多选)[山东聊城2022模拟]在平面四边形ABCD中，||＝||＝||＝·＝1，·＝，则(　　)
A．||＝1
B．|＋|＝|－|
C.＝
D.·＝
7．已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F2的夹角为，|F|＝10 N，则F2的大小为________N.
8．在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形．
(2)若|＋|＝2且B∈，求·的取值范围．
9．如图，在△ABC中，||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，已知＝2，＝2，CD与AE交于点O.
(1)求·的值；
(2)求的值．
答案及解析
【基础篇】
1．【答案】B
【详解】∵|＋|＝|－|，
∴|＋|2＝|－|2，
则2＋2·＋2＝2－2·＋2，
∴·＝0，∴AB⊥AC，则△ABC为直角三角形．故选B.
2．【答案】BCD
【详解】由＝＋，即有(－)＝(－)，
化为＝2，故P为线段BD靠近D的三等分点，所以≠，故A错误；
由P为等腰梯形ABCD对角线AC与BD的交点，得△DCP∽△BAP，则＝，又||＝2||，所以DC∶AB＝1∶2，
所以＝－2，即＋2＝0，故C正确；
设AB＝4，则CD＝2，又∠DAB＝60°，如图，过点C，D向AB作垂线，垂足分别为N，M，则AM＝1，则AD＝2，则DM＝＝，BD＝＝＝2 ，
所以BD2＋AD2＝AB2，故AD⊥DB，即·＝0，故B正确；
＋＝＋＝，－＝，所以(＋) ∥(－)，故D正确．故选BCD.
3．(1)　(2)90°【详解】
(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3，∴AD＝.
(2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为与的夹角．
∵cos θ＝＝＝＝＝
0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
4．【答案】【证明】设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，
由条件知a2＝c2－d2＋b2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，
即·＝0，
所以AD⊥BC.
5．【答案】A
【详解】根据力的合成可知F1＋F2＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝(1，－5)．故选A.
6．【答案】B
【详解】如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意易知|F|＝|F1|，|F|＝20 N，
所以|F1|＝|F2|＝10 N.
当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时合力的大小|F′|＝|F1|＝10 N．故选B.
7．【答案】(1)船垂直到达对岸，即船的实际速度v＝v1＋v2且与v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0.
所以v1·v2＋v22＝0，
即|v1||v2|cos θ＋|v2|2＝0，
所以40cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t h，
则t＝＝＝ (h)．
故当θ＝90°时，船的航行时间最短，为 h.
而当船垂直到达对岸时，由(1)知sin θ＝，
所需时间t＝＝＝(h)，＞，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
【提升篇】
1．【答案】C
【详解】由＝知DC∥AB，且DC＝AB，因此四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
2．【答案】B
【详解】因为|＋|<|－|，
所以|＋|2<|－|2，即||2＋2·＋||2<||2－2·＋||2，
所以·＝||·||·cos θ<0，所以cos θ<0.
又O，A，B三点不共线，所以θ∈，
所以sin θ>0，cos θ<0.故选B.
3．【答案】A
【详解】因为(－)·(＋－2)＝0，所以(－)·(－＋－)＝0，即·(＋)＝0.因为＝－，所以(－)·(＋)＝0，即||2＝||2，所以||＝||.
又因为|－|－|＋－2|＝0，所以||－|(－)＋(－)|＝0，所以||＝|＋|，即|－|＝|＋|，两边同时平方并展开化简可得·＝0，即⊥，所以A＝.
4．【答案】B
【详解】以AC，BD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．设A(－m，0)，B(0，－n)，m>0，n>0，则＝(m，0)，＝(m，－n)．因为·＝m2＝1，所以m＝1.又||＝＝2，所以n＝.记P(0，－s)，0≤s≤，则＝(1，－s)，＝(0，s－)，所以·＝－s(s－)＝－2＋≤，当s＝时等号成立，所以·的最大值为.故选B.
5．【答案】BD
【详解】
如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝＝8 (km/h)．设船的航行方向和水流方向的夹角为θ，则tan(180°－θ)＝＝＝，所以θ＝120°.故选BD.
6．【答案】ABD
【详解】因为||＝||＝||＝1，·＝||||cos B＝，可得B＝，所以△ABC为等边三角形，则||＝1，故A正确；
因为||＝1，所以2＝1，又·＝1，所以2＝· ，则
2－·＝·(－)＝·＝0，所以AC⊥CD，则|＋|＝|－|，故B正确；
根据以上分析作图，如图：
易知BC与AD不平行，故C错误；
建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C，D，
＝，＝，所以·＝，故D正确．故选ABD.
7．【答案】5
【详解】设＝F1，＝F2，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则＝F.
因为合力F与F2的夹角为，|F|＝10 N，即∠BAC＝，||＝10.又因为F1，F2的夹角是直角，所以AB⊥AD，即∠BAD＝∠ABC＝.所以在Rt△ABC中，|F2|＝||＝||cos ＝|F|cos ＝5(N)．
8．【答案】(1)【证明】因为·＝·，
所以·(－)＝0.
因为＋＋＝0，
所以＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，
所以||＝||，
故△ABC为等腰三角形．
(2)【解】因为B∈，所以cos B∈.
设||＝||＝a.
因为|＋|＝2，所以|＋|2＝4，
所以a2＋a2＋2a2cos B＝4，
所以a2＝.
又因为·＝||||cos B＝a2cos B＝＝2－，－≤cos B≤，所以－2≤2－≤，
故·的取值范围为.
9．【答案】(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
＝－＝－，
则·＝·＝2＋·－2＝×22＋×2×3×－×32＝1.
(2)设＝m(0即n＝＋m(－＋)，
即n＝＋m，
即＝，
则解得
所以＝，则＝－6，
所以＝6.