6.4.3余弦定理、正弦定理同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

6.4.3 正弦定理
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为(　　)
A.，2 B.，
C．2 ， D．2 ，2
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是(　　)
A．a＝10，b＝8，A＝30°
B．a＝8，b＝10，A＝45°
C．a＝10，b＝8，A＝150°
D．a＝8，b＝10，A＝60°
3．[北京人大附中 2022高一期末]在△ABC中，已知sin C＝2sin(B＋C)cos B，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝60°，a＝，则＝(　　)
A. B. C. D．2
5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，C＝，则＝(　　)
A. B. C．2 D．3
6．在△ABC中，下列说法错误的是(　　)
A．sin A>0
B．cos A＋cos B>0
C．sin A＋sin B>sin C
D．cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形
7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝ ________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a(cos C＋sin C)，a＝，c＝1，则C＝________．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，AD＝，b＝3c，则a的值为________．
10．在①(sin B－sin C)2＝sin 2A－sin Bsin C；②bsin ＝asin B；③asin B＝bcos(A－)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b＋c，________，求A和B.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角A的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的角A值求的取值范围．
12．已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)＝，且b＝，求a2＋c2的取值范围．
易错点1　忽视三角形中大边对大角而致错
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝30，b＝25，A＝42°，则此三角形解的情况为(　　)
A．无解 B．有两解
C．有一解 D．有无数解
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝，B＝45°，求角A，C和边c.
易错点2　忽略角的隐含条件而致错
15．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若B＝2A，则的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(0，2)
C．(，) D．(，2)
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos2＝sin A，a＝2 ，则△ABC周长的取值范围为________．　
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
答案及解析
1．【答案】B
【详解】由正弦定理可得b＝＝＝.
设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝2 ，所以R＝.故选B.
2．【答案】B
【详解】如图所示．
若A为锐角，且△ABC有两解，则bsin A对于A选项，a＝10，b＝8，A＝30°，bsin A＝4b，此时△ABC没有两解，A选项不满足条件；
对于B选项，a＝8，b＝10，A＝45°，bsin A＝5 对于C选项，a＝10，b＝8，A＝150°，且a>b，此时△ABC只有一解，C选项不满足条件；
对于D选项，a＝8，b＝10，A＝60°，bsin A＝5 >a，此时△ABC没有两解，D选项不满足条件．
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为sin C＝2sin(B＋C)cos B，sin(B＋C)＝sin A，
所以sin C＝2sin Acos B，
由正、余弦定理得c＝2a·，化简得a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选B.
4．【答案】D
【详解】在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴＝＝＝2，
∴＝2.故选D.
5．【答案】BD
【详解】因为A＋B＝π－C，所以sin C＝sin(π－C)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B.
又sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，
所以2sin Acos B＝6sin Bcos B，
即2cos B(sin A－3sin B)＝0，解得cos B＝0或sin A＝3sin B.
当cos B＝0时，因为B∈(0，π)，所以B＝.又C＝，所以A＝，则sin A＝，sin B＝1，所以由正弦定理得＝＝.
当sin A＝3sin B时，由正弦定理得a＝3b，所以＝3.综上所述，＝3或.
故选BD.
6．【答案】D
【详解】对于A，在△ABC中，00，故A正确；
对于B，A＋B<π，则A<π－B，且A，π－B∈(0，π)，又y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以cos A>cos(π－B)＝－cos B，即cos A＋cos B>0，故B正确；
对于C，在△ABC中，a＋b>c，由正弦定理得2Rsin A＋2Rsin B>2Rsin C，所以sin A＋sin B>sin C，故C正确；
对于D，由cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1得1－2sin 2A＋1－2sin 2B－(1－2sin 2C)<1，则－sin 2A－sin 2B＋sin 2C<0，则a2＋b2－c2>0，则cos C＝>0，所以C为锐角，但不能确定A，B的大小，所以△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选D.
7．【答案】1∶∶2
【详解】因为A∶B∶C＝1∶2∶3，且A＋B＋C＝π，所以A＝，B＝，C＝.
由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.
8．【答案】
【详解】由b＝a及正弦定理可得sin B＝sin A(cos C＋sin C)＝sin Acos C＋sin Asin C.
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Asin C，
整理可得tan A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin A＝.
又a＝，c＝1，所以由正弦定理可得
sin C＝＝.
又a>c，所以A>C，所以C＝.
9．【答案】 　
【解析】因为asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，所以由正弦定理化简可得a2＝b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝＝，由于A∈(0，π)，可得A＝.
因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝，
所以由余弦定理可得
BD＝，
CD＝，
因为b＝3c，所以由角平分线定理可得CD＝3BD，即
＝3 ，
整理可得c＝，b＝4，所以由余弦定理可得a＝＝.
10．【答案】选择条件①，由(sin B－sin C)2＝sin 2A－sin Bsin C及正弦定理知(b－c)2＝a2－bc，
整理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
由a＝b＋c得sin A＝sin B＋sin C＝sin B＋sin(A＋B)，
即sin ＝sin B＋sin，整理得sin＝.
∵B∈，∴B＋∈，
∴B＋＝或，解得B＝或.
选择条件②，∵A＋B＋C＝π，
∴＝－.
由bsin ＝asin B得，bcos ＝asin B，
由正弦定理知，sin Bcos ＝sin Asin B＝2sin cos sin B，
又sin B>0，cos >0，可得sin ＝.
又∵A∈(0，π)，∴＝，故A＝.
下同选择条件①.
选择条件③，由asin B＝bcos及正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos，
∵sin B>0，∴sin A＝cos＝cos A＋sin A，解得tan A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
下同选择条件①.
11．【答案】(1)由正弦定理得，＝＝－1，即＋1＝，化简得cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos A＝，又∵0(2)由正弦定理可得，
＝＝
＝
＝·－
＝·－
＝tan －.
∵△ABC为锐角三角形，∴∴－2∴的取值范围是.
12．【答案】(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x，
＝sin 2x－，
＝sin－.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(B)＝，得sin＝1.
因为B∈(0，π)，所以2B－∈，所以2B－＝，所以B＝.
方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即a2＋c2＝ac＋3≤＋3(当且仅当a＝c时取等号)，
所以a2＋c2≤6.
又a2＋c2＝ac＋3>3，
所以a2＋c2∈(3，6]．故a2＋c2的取值范围是(3，6]．
方法二：由正弦定理得＝＝＝2，
所以a2＋c2＝4(sin2A＋sin2C)
＝4[sin2A＋sin2(A＋B)]
＝4{＋}
＝4－2
＝4－2cos.
因为A∈，所以2A＋∈，
所以cos∈，
所以a2＋c2∈(3，6]．
故a2＋c2的取值范围是(3，6]．
13．【答案】C
【详解】由正弦定理＝得sin B＝＝sin A.
∵sin 30°∴则∴∵a>b，∴A>B，∴B只能为锐角的一个值，∴△ABC只有一个解．
故选C.
14．【答案】由正弦定理＝，
得sin A＝.
因为a>b，所以A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，由正弦定理得c＝＝.
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，由正弦定理得c＝＝.
15．【答案】C
【详解】∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A.由正弦定理得＝＝＝2cos A．∵0<2A<，0<π－3A<，∴16．【答案】(4 ，4＋2 ]
【详解】由2cos2＝sin A，得1＋cos A＝sin A，即sin A－cos A＝1，
∴sin＝1，
即sin＝.
∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，
∴A－＝，即A＝.
由正弦定理得＝＝＝＝4，∴b＝4sin B，c＝4sin C.
则b＋c＝4sin B＋4sin C＝4sin B＋4sin
＝4sin B＋4
＝2sin B＋2 cos B＝4sin.
∵0＜B＜，∴＜B＋＜.
∴＜sin≤1，
即2 ＜4sin≤4，
∴2 ＜b＋c≤4，则4 ＜a＋b＋c≤4＋2 ，即△ABC周长的取值范围为(4 ，4＋2 ]．
17．【答案】因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，
所以sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B.
又sin Asin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B，
所以sin 2A＝sin 2B.
因为在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．