第三章圆锥曲线单元检测——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线单元检测——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 570.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-14 09:35:34 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线单元检测
一、单选题
1．椭圆的焦距为4，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上一点（顶点除外），则的周长为（ ）
A． B．6 C． D．3
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的左 右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，则|的最小值是（ ）
A．32 B．36 C．42 D．46
8．是抛物线上一点，点，是圆关于直线的对称曲线上的一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为 D．的周长为
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若（为坐标原点），，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程
B．双曲线的离心率为
C．的面积为
D．
11．已知曲线方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C的渐近线方程为
B．若，则曲线C的离心率为
C．“”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件
D．“”是“曲线方程C表示椭圆”的充要条件
12．抛物线的焦点是，直线与相交于，两点，是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线经过焦点的充要条件是
B．直线经过焦点的充要条件是
C．若直线经过焦点，且的最小值是9，则
D．若，且的面积最小值是16，则
三、填空题
13．已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，若，则椭圆的离心率为__________.
14．与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______．
15．过抛物线：焦点的直线交该抛物线于，，若，为坐标原点，则________．
16．已知抛物线，其准线为l且与x轴交于点D，其焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为H.若，则线段HF的长度为________.
四、解答题
17．已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.
18．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)求的周长．
19．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．
(1)若，点，求双曲线的方程；
(2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．
20．已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于两点，若．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程．
21．已知抛物线，是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上.
(1)若的中点为，证明：轴；
(2)若在曲线上运动，求面积的最大值.
22．已知平面上的动点总满足关系式．
(1)判断点P的轨迹是什么曲线？并求其轨迹E方程；
(2)设不经过点的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
答案
1．D
2．A
3．D
4．A
5．B
6．B
7．C
8．C
9．BCD
10．AB
11．BC
12．ACD
13．
14．
15．
16．
17.（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
18．（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
19．（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．
（2）设点，则，即，又
则有，所以，
所以渐近线方程为．
20．（1）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，
联立 ，消去y整理得，，
设，，则，
则，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由题意知，直线n的斜率显然存在，设直线n的方程为，
联立,消去y整理得,
因为直线n与椭圆相切，
所以，
整理得．
联立，消去y整理得,
因为直线n与抛物线相切，所以，
整理得，所以，解得，（舍去），
故 或，
所以直线n的方程为或．
21．（1）设，，，
则的中点在抛物线上，
所以，化简得，
同理由的中点在抛物线上可得，
因为，所以是关于的一元二次方程的两个不等实根，
所以，，
所以的中点的横坐标为，它与的横坐标相同，
所以轴.
（2）不妨设，则，
由轴，得，
因为在曲线上运动，是轴下方一点，
所以，且，所以，
因为的中点的纵坐标为
，
所以，
又
，
所以，
令，因为，所以，
所以，
因为在上为增函数，所以当时，取最大值.
22.（1）设，，
∵，则，
故动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
即，，则，
所以曲线E的轨迹方程是为．
（2）若点B在以线段MN为直径的圆上，则，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，，
联立，消去y可得，
则，，，
∵，
则，
即，
整理得，解得或（舍去），
∴直线l的方程为，过定点；
当直线l的斜率不存在时，设，，则，
可得，解得，
此时直线过点，不符合题意；
综上所述：故直线l过定点，且该定点的坐标为．
一、单选题
1．椭圆的焦距为4，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上一点（顶点除外），则的周长为（ ）
A． B．6 C． D．3
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的左 右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，则|的最小值是（ ）
A．32 B．36 C．42 D．46
8．是抛物线上一点，点，是圆关于直线的对称曲线上的一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为 D．的周长为
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若（为坐标原点），，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程
B．双曲线的离心率为
C．的面积为
D．
11．已知曲线方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C的渐近线方程为
B．若，则曲线C的离心率为
C．“”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件
D．“”是“曲线方程C表示椭圆”的充要条件
12．抛物线的焦点是，直线与相交于，两点，是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线经过焦点的充要条件是
B．直线经过焦点的充要条件是
C．若直线经过焦点，且的最小值是9，则
D．若，且的面积最小值是16，则
三、填空题
13．已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，若，则椭圆的离心率为__________.
14．与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______．
15．过抛物线：焦点的直线交该抛物线于，，若，为坐标原点，则________．
16．已知抛物线，其准线为l且与x轴交于点D，其焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为H.若，则线段HF的长度为________.
四、解答题
17．已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.
18．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)求的周长．
19．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．
(1)若，点，求双曲线的方程；
(2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．
20．已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于两点，若．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程．
21．已知抛物线，是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上.
(1)若的中点为，证明：轴；
(2)若在曲线上运动，求面积的最大值.
22．已知平面上的动点总满足关系式．
(1)判断点P的轨迹是什么曲线？并求其轨迹E方程；
(2)设不经过点的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
答案
1．D
2．A
3．D
4．A
5．B
6．B
7．C
8．C
9．BCD
10．AB
11．BC
12．ACD
13．
14．
15．
16．
17.（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
18．（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
19．（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．
（2）设点，则，即，又
则有，所以，
所以渐近线方程为．
20．（1）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，
联立 ，消去y整理得，，
设，，则，
则，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由题意知，直线n的斜率显然存在，设直线n的方程为，
联立,消去y整理得,
因为直线n与椭圆相切，
所以，
整理得．
联立，消去y整理得,
因为直线n与抛物线相切，所以，
整理得，所以，解得，（舍去），
故 或，
所以直线n的方程为或．
21．（1）设，，，
则的中点在抛物线上，
所以，化简得，
同理由的中点在抛物线上可得，
因为，所以是关于的一元二次方程的两个不等实根，
所以，，
所以的中点的横坐标为，它与的横坐标相同，
所以轴.
（2）不妨设，则，
由轴，得，
因为在曲线上运动，是轴下方一点，
所以，且，所以，
因为的中点的纵坐标为
，
所以，
又
，
所以，
令，因为，所以，
所以，
因为在上为增函数，所以当时，取最大值.
22.（1）设，，
∵，则，
故动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
即，，则，
所以曲线E的轨迹方程是为．
（2）若点B在以线段MN为直径的圆上，则，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，，
联立，消去y可得，
则，，，
∵，
则，
即，
整理得，解得或（舍去），
∴直线l的方程为，过定点；
当直线l的斜率不存在时，设，，则，
可得，解得，
此时直线过点，不符合题意；
综上所述：故直线l过定点，且该定点的坐标为．