甘肃省古浪县第三中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷（含解析）

2023年春学期高二年级开校考试试卷
数 学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（共8小题，每小题5分）
1．数列，…的一个通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．或4
4．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
5．若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，则数列的前2023项之和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分）
9．关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点
10．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　 ）
A． B． C． D．
11．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆M内 B．圆M关于对称
C．半径为 D．直线与圆M相切
12．已知数列是等比数列，下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题（共4小题，每小题5分）
13．已知直线，直线过点，若，则直线的方程是_________．
14．若圆：与圆：外切，则实数______．
15．已知是正项等比数列，且，则______．
16．已知在数列中，，，则等于____________．
四、解答题（共6小题，总分70分）
17．（10分）（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程．
18．（12分）已知是等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值.
19．（12分）已知直线：，：．
（1）当时，求两直线，的交点P的坐标；
（2）若直线，求a的值；
（3）当时，求两直线的距离．
20．（12分）已知为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，的前n项和为，求成立的n的最大值.
21．（12分）已知等差数列中．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知圆C的方程为，且圆C与直线相交于M、N两点.
（1）若，求圆的半径；
（2）若（为坐标原点），求圆的方程.
参考答案
1．D
【分析】将每项的绝对值写成以为底的幂的形式，再结合负号出现的规律即可得答案.
【详解】解：因为，，，
所以此数列的一个通项公式可以是.
故选：D.
2．B
【分析】求出“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为，从而得到答案.
【详解】，解得：，
“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为，
因为，但，
故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件．
故选：B
3．A
【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解.
【详解】因为，直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
当时，：，：，，符合题意；
当时，：，：，均可化为，即，重合，舍去.
故.
故选：A.
4．A
【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解．
【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，
设其首项为，公差为，
由题意可得，
所以，解得，
所以，
即第5节竹子的容积为升．
故选：A．
5．B
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出.
【详解】由题意得：，
设的公比为，则，，
解得：，
.
故选：B
6．A
【分析】将圆的方程化为标准方程，的圆心坐标及半径，由弦长，圆心到直线的距离，半径的关系建立方程，解出a.
【详解】圆C：，即，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
直线与圆相交的弦长为，得.
故选：A.
7．A
【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列中，，则，
数列的前n项和，
所以数列的前2023项之和.
故选：A
8．B
【分析】利用配方法得到曲线为圆，再利用直线到圆上一点最大距离为，结合点线距离公式即可得解.
【详解】由得，所以曲线C是以为圆心，的圆，
因为点到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值为.
故选：B．
9．BC
【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.
【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.
将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.
故选：BC.
10．AD
【分析】先考虑直线过原点的情况，再把直线的一般式方程转化为截距式方程，通过横纵截距相等求出实数的值.
【详解】，即时，直线化为，
它在两坐标轴上的截距都为，满足题意；
，即时，直线化为，
因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，且，解得；综上所述，实数或.
故选：AD.
11．BD
【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.
【详解】整理得：，
∵，时，∴点在圆M外，A错；
∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；
∵圆M半径为1，故C错；
∵圆心到直线的距离为，与半径相等，
∴直线与圆M相切，D对.
故选：BD.
12．BD
【分析】A选项，设出公比，得到，当时，，A错误；
B选项，由得到，从而得到；
C选项，由得到，从而得到；
D选项，根据得到，由等比数列通项公式的性质计算，结合基本不等式得到.
【详解】设等比数列的公比为，由，得到，
因为，所以，
则，若，则，此时，A错误；
若，则，故，则，B正确；
若，则，故，则，C错误；
若，则，不等式两边同除以，得到，
所以，D正确.
故选：BD
13．.
【分析】根据条件可推得，直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到.
【详解】设的斜率分别为，则.
又，则.
所以，直线的点斜式方程为，整理可得，.
故答案为：.
14．
【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值.
【详解】圆的圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径为.
由于两圆外切，所以，得.
故解得.
故答案为： .
15．3
【分析】根据等比数列的下标和性质结合对数的定义与运算求解.
【详解】.
故答案为：3.
16．
【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．
【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，所以．
故答案为：．
17．（1）；（2）或.
【分析】（1）设出椭圆方程，代入，结合，求出，得到椭圆方程；
（2）根据，得到，结合求出，得到椭圆的标准方程.
【详解】（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为，
则，解得：，
椭圆方程为：
（2）因为，，解得：，
又因为，所以，
椭圆的标准方程为或.
18．(1)
(2)12
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；
（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2），
所以.
令，得，
解得：（舍去）.
因为，所以的最小值是12.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）直线方程联立即得；
（2）根据直线垂直的关系即得；
（3）根据平行线间距离公式即得.
【详解】（1）当时，直线：，即，：,
由，可得，
所以两直线，的交点P的坐标为；
（2）因为直线：，：，且，
所以，
解得；
（3）当时，直线：，：，
所以两直线的距离为.
20．(1)
(2)7
【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；
（2）代入等比数列的前项和公式即可.
【详解】（1）设数列的公差为：，
，
，
.
，
即.
（2），，
，
数列为等比数列，所以
由，即，
化简得：，解得，，
所以，要使成立的n的最大值为：7.
21．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算量列出方程组，求出首项和公差，写出通项公式；
求出的通项公式，列出方程，求出，故不存在正整数m.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，
得
所以，
即；
（2），
∵，
∴，
则，解得，不符合题意，
∴不存在正整数，使得.
22．(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知，可在直角三角形中求解出圆的半径；
（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理，用表示出坐标关系.由已知可得，，代入坐标，即可求得的值，从而得到圆的方程.
【详解】（1）
如图，是的中点，则，.
由得，圆心为.
圆心到直线的距离为.
在中，有，，
，所以，
故圆的半径为.
（2）由得，
∴，即，
由题意联立，可得.
则，所以.
设、，由韦达定理可得，，
因为，所以，则，
又，，即有，
整理可得，即有，
解得，满足，且.
则圆的方程为