5.2.1-5.2.2导数的运算 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
情境导入
根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
2.算比值：
1.求增量：
3.取极限：
求导数不能每次都求极限，有没有更直接出结果的方法？
如何利用定义求出 y＝c ，y＝x，y＝x2， 的导数？
新课引入
课堂探究
1 、求函数y=c (c 是常数)的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
c-c
x
=0,
y′=
lim
x→0
y
x
=0,
=
lim
x→0
0
y' = 0 表示函数 y = c 图像上每一点处的切线的斜率都为0．
若 y = c 表示路程关于时间的函数，则 y' = 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
o
x
y
函数 导数
y = c y' = 0
2 、求函数y＝f(x)=x的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
x+ x-x
=1,
y′=
lim
x→0
y
x
=1,
=
lim
x→0
1
o
x
y
函数 导数
y = x y' = 1
y' = 1 表示函数 y = x 图像上每一点处的切线的斜率都为1．
若 y = x 表示路程关于时间的函数，则 y' = 1 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3、求函数y＝f(x)=x2的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
(x+ x)2-x2
=2x+ x,
y′=
lim
x→0
y
x
=2x,
=
lim
x→0
(2x+ x)
函数 导数
y = x2 y' = 2x
o
x
y
y' = 2x 表示函数 y = x2 图像上点(x, y)处的切线的斜率都为2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化．
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 x＜0时，随着 x 的增加，函数 y = x2 减少得越来越慢；当x＞0时，随着 x 的增加，函数 y = x2 增加得越来越快．
4、求函数y＝f(x)=x3的导数.
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
(x+ x)3-x3
=3x2+3x· x+( x)2,
o
x
y
y′=
lim
x→0
y
x
=3x2,
=
lim
x→0
(3x2+3x· x+( x)2)
函数 导数
y = x3 y' = 3x2
y'=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5、求函数y＝f(x)= 的导数.
1
x
y
x
=
f(x+ x)-f(x)
x
=
x
x+ x
1
x
1
-
-
x2+x· x
1
=
y′=
lim
x→0
y
x
-
x2+x· x
1
( )
= ,
=
lim
x→0
1
x2
-
函数 导数
y = y' =-
1
x
1
x2
知识梳理
1.几个常用函数的导数
公式形成
思考：以上这些函数均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？

思考：还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？
幂函数
指数函数
三角函数
对数函数
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
(1)f(x)＝c f′(x)＝0
(2)f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝n·xn－1
(3)f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
(4)f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
(5)f(x)＝ax f′(x)＝axlna
(6)f(x)＝ex f′(x)＝ex
(7)f(x)＝logax f′(x)＝
(8)f(x)＝lnx f′(x)＝
题型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝ ；(4)y＝ ；(5)y＝log3x.
π
3
1
x4
(1)y'＝0
(2)y'＝(5x)′＝5xln 5
(5)y′＝(log3x)′
= ,
1
xln3
(4)y′＝(x )′
3
5
3
5
x
-
2
5
＝
已知 f (x) = cosx，g (x) = x，求适合 f ' (x)＋g'(x) ＝ 0 的 x 的值
f ' (x)=-sinx,g'(x)=1,
f ' (x)＋g'(x) ＝ 0即sinx=1.
表面终边落在y的正半轴
{x｜x＝ ＋2kπ，k∈Z}
π
2
f′(1)＝1，
所以ln a＝1，所以a＝e.
题型三　导数的综合应用
例3(链接教科书第75页例2)(1)质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝ 时的速度为________；质点运动的加速度为________；
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
(1) v(t)＝S′(t)＝cos t，
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
(2)由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
由y＝ex得y′＝ex，曲线在点(0，1)处的斜率k1＝e0＝1，
设P(m，n)，
由题意知k1k2＝－1，所以k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，
即点P的坐标为(1，1)，k2＝－1.所以点P处的切线方程为x＋y－2＝0.
设曲线 y＝xn＋1(n∈N*) 在点(1, 1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则 a1＋a2＋…＋a99 的值为________．
∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，y′ | x＝1＝n＋1.
∴曲线在点(1, 1)处的切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y=0，
xn=
n+1
n
故an＝lg n－lg (n＋1)．
∴a1 ＋ a2 ＋…＋ a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
5.2.2 导数的四则运算法则
回顾旧知
基本初等函数的导数公式
探究一：两个函数的和（差）的导数

探究新知
导数的运算法则1:

例题精讲
教材76页
解:


探究二：两个函数的积（商）的导数


探究新知
导数的运算法则2:
导数的运算法则3:

导数的四则运算法则
f(x)，g(x)是可导的．
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
求y＝x3＋sinx的导数．
y′＝3x2+cosx
求y＝x4－x2－x＋3的导数．
y′＝4x3-2x-1
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
＝
求函数y＝ 的导数.
1
x
y′=
x2
0-1
=-
1
x2
求函数y＝tanx的导数.
y′＝(tanx)′
sinx
cosx
=( )′
cos2x
=
cos2x+sin2x
cos2x
=
1
求函数y＝ 的导数.
x+1
x-1
y′＝( )′＝
x+1
x-1
(x+1)2
x+1-(x-1)
(x+1)2
2
＝
应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)；　　　　
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即：①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)；②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)；
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．　　
题型一　利用导数的四则运算法则求导
(1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
题型二　导数几何意义的综合应用
例2(链接教科书第78页练习3题)(1)曲线y＝
的切线的斜率为 (　　)
(1)y′＝
(2)设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，∴y′|x＝x0＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0
1．此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．　　
通性通法
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
在点(1，0)处
的切线与坐标轴围成的面积为
题型三　利用函数的导数求参数
例3(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则 (　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(1)y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴ 切线方程为
y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.
又∵ 切线方程为y＝2x＋b，
即a＝e－1，b＝－1
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数
y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
o
x
y
1
2
(2)∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.
(2021·黑龙江鹤岗市第一中学高二期末)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，
则f′(0)＝________．
因为f(x)＝x2＋2xf′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1).令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝2×0－4＝－4.
的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，
则a＝________．
a＝1.
探究点三
导数公式与运算法则的综合应用
角度1　解析式中含f'(a)的导数问题
【例3】 (2021陕西延安黄陵中学高三期中)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln ,则f(1)=(　　)
A.-e B.2 C.-2 D.e
答案 B
解析 因为f(x)=2xf'(1)+ln =2xf'(1)-ln x,所以f'(x)=2f'(1)- .
所以f'(1)=2f'(1)-1,解得f'(1)=1.
所以f(x)=2x+ln ,f(1)=2+ln 1=2.故选B.
优化设计大本
变式训练 2(2021武汉外国语学校高二期末)已知f(x)=x2-xf'(0)-1,则f(2)的值为(　　)
A.1 B.-1 C.3 D.-3
答案 C
解析 ∵f(x)=x2-xf'(0)-1,∴f'(x)=2x-f'(0),∴f'(0)=-f'(0),∴f'(0)=0.∴f(x)=x2-1,
因此f(2)=22-1=3.
角度2　利用导数公式及函数性质解题
【例4】已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 021(x)=(　　)
A.sin x+cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.-sin x-cos x
答案 A
解析 因为f1(x)=sin x+cos x,
所以f2(x)=f'1(x)=cos x-sin x,
f3(x)=f'2(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f'3(x)=-cos x+sin x,f5(x)=f'4(x)=sin x+cos x,……,可知fn(x)的解析式周期为4.因为2 021=505×4+1,
所以f2 021(x)=f1(x)=sin x+cos x,故选A.
角度3用待定系数法处理求导问题
【例5】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函数表达式.
解 ∵f'(x)=2x+1,
∴f(x)=x2+x+c(c为常数).
又方程f(x)=0有两个相等的实根,即x2+x+c=0有两个相等的实根,
∴Δ=12-4c=0,即c= ,
∴f(x)=x2+x+ .
变式训练3
已知f'(x)是一次函数,关于x的方程x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.
解 由f'(x)为一次函数可知f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,则原方程可化为x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0,
又该方程对一切x∈R恒成立,
变式训练4
已知函数 ,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.
优化设计小本