5.3.1函数的单调性 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
函数的单调性
引入新课
如何探究函数的单调性？
答案：观察函数的图象；函数单调性的定义；利用导数的正负.
问题1
课堂探究
问题2
如何利用导数研究形如的函数的单调性？
答案：在定义域范围内，通过求导得到导函数，再通过求解不等式，得到导数值大于0或者小于0时的取值，从而利用函数单调性与导数的关系，判断原函数的单调性.
课堂探究
例1
求函数的单调区间.
解： 函数的定义域为R.
对求导数，得.
令，解得或.
所以， 在和上单调递增，在上单调递减
单调递增 单调递减 单调递增
课堂探究
问题2
如何利用导数研究形如的函数的单调性？
小结：
一般情况下，判断函数的单调性的步骤：
求函数的定义域；
求导数的零点；
用的零点将定义域划分为若干区间，列表给出在各区间上的正负，得函数在定义域上的单调性.
课堂探究
追问
你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究函数单调性的特点与优势吗？
答案：利用函数单调性的定义：函数的定义域为R.
且，则
，不便讨论其正负.
知识应用
（1） 因为
所以
所以，函数在R上单调递增.
利用导数判断下列函数的单调性：
（1）
（2）
（3）
例2
知识应用
（2） 因为
所以
所以，函数在上单调递减.
利用导数判断下列函数的单调性：
（1）
（2）
（3）
例2
知识应用
（3） 因为，
所以
所以，函数在区间和上单调递增
利用导数判断下列函数的单调性：
（1）
（2）
（3）
例2
课堂探究
问题3
如何探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
答案：经历观察猜想→特例验证→推理证明→解释说明→得到结论的过程.
课堂探究
追问1
观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？
答案：对数函数的导数为，
所以在上单调递增.
当越来越大时，越来越小，
函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.
课堂探究
追问1
观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？
猜想：
若函数在某一范围内导数的绝对值较小，则函数在此范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较 “平缓”；
反之，若函数在某一范围内导数的绝对值较大，则函数在此范围内变化得较快，这时函数的图象就比较 “陡峭”
课堂探究
追问2
观察幂函数在区间上的图象，能否验证这一结论？
答案：
幂函数的导数为 ，
所以在区间上单调递增．
当越来越大时，越来越大，
函数递增得越来越快，图象上升得越来越 “陡峭”.
课堂探究
追问3
如何说明导数与函数增减的快慢之间的关系？
答案：
导数的几何意义为函数的图象在点处切线的斜率；
因此，如果导数在某一范围内的绝对值较大，意味着函数图象在这一范围内各点处切线的斜率都较大，而由于在各点附近，曲线可由该点处的切线近似代替，所以呈现的函数图象就比较“陡峭”.
知识应用
设， 两个函数的图象如图所示．
判断的图象与之间的对应关系.
例3
解：因为
当时，
当时，当时，
所以，在上都是增函数.
在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；
在区间上，图象比图象要“平缓”；
所以，，的图象依次是.