5.3.2.1函数的极值 课件（共34张PPT）

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极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
例析
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例析
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思考1：极大值一定大于极小值吗？
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思考
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
练习
题型三：函数极值的应用
练习
练习
练习
练习
课堂小结
课堂小结
注：
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值.
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(4)函数的极值点一点出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.
(5)单调函数一定没有极值.
课堂小结
角度2　含参数的函数求极值
【例2】已知函数f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值.
分析对函数f(x)求导,得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根据导函数的零点2和2a的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极值.
解 ∵f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2,
∴f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a).
令f'(x)=0,解得x=2或x=2a.
(1)当a=1时,2a=2,因此f'(x)=(x-2)2≥0,故f(x)在R上单调递增,函数不存在极值;
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(2)当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,2a) 2a (2a,2) 2 (2,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
变式训练 2若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
(1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.
(2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
当0当x>a时,f'(x)>0.
则f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln a,无极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
变式训练 3(2)(2021湖南长沙湖南师大附中高二月考)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=(　　)
A.4 B.11
C.4或11 D.3或9
角度2　根据极值点个数求参数取值范围
【例4】已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
分析f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.
解 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
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