必修二第八章8.2课后同步训练（含答案）

8.2课后同步训练
一、选择题
1、下列叙述正确的是( )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
C.若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定是棱柱
D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
2、给出下列叙述：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；
③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.
其中叙述正确的序号是( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.③
3、已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥
的底面半径（单位：）是( )
A.2 B.1 C. D.
4、下列四个命题中：①存在这样的四面体，使；
②存在这样的四面体，使；③存在这样的四面体，使；④存在这样的四面体，使；
其中真命题是（ ）
A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②
5、如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是( )
A. B. C.4 D.
6、已知球O是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是( )
A. B. C. D.
7、已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8、已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的轴截面面积为（ ）
A． B． C． D．
9、若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为( ).
A.10 B.8 C.9 D.
10、如图，已知圆柱的底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，从侧面爬行到点C，则小虫爬行路线的最短长度是( ).
A.2 B. C.3 D.
11、已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为( )
A. B.π C. D.
二、多项选择题
12、下列关于球体的说法正确的是( )
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
13、下列关于圆柱的说法中正确的是( ).
A.圆柱的所有母线长都相等
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱
三、填空题
14、若某圆锥的体积为，轴截面面积为3，则此圆锥的侧面积为___________.
在棱长为4的正方体中，E，F分别是BC和的中点，经过点A，E，F的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为________.
已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为___________.
已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为________.
四、解答题
18、已知正三棱锥的侧面积是底面面积的2倍，高为3.求此正三棱锥的表面积.
19、在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条侧棱上有A，B两点，，，以A，B为端点同一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），求此绳在A，B之间的最短绳长.
20、如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.
（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中的度数；
（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.
参考答案
1、答案：B
解析：在A中，如图（1）所示的几何体中有两个面平行，其余各面都是四边形，该几何体不是棱柱；在B中，由棱柱的定义可知正确；在C中，分成的两部分不一定是棱柱；在D中，如图（2）所示的几何体中有两个面平行，其余各面都是平行四边形，该几何体不是棱柱.故选B.
2、答案：D
解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误；
对于②，由棱台的定义可知只有当该平面与底面平行时，底面与截面之间的部分才是棱台，故错误；
对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；
对于④，棱台的侧棱延长后交于一点，但其侧面不一定是等腰梯形，故错误.故选D.
3、答案：B
解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，
则，解得.
4、答案：B
解析：对于①，存在这样的四面体ABCD，使，如图所示，故①正确；
对于②，存在这样的四面体ABCD，使，如图所示，故②正确；
对于③，存在这样的四面体ABCD，使，故③正确；
对于④，若，则A，B，C，D四点共面，故④错误，故真命题是①②③，故选：B.
5、答案：A
解析：正三棱柱的侧面部分展开如图(1)(2)所示:
连结与交于点G，则爬行的最短路程是沿着爬行，在三角形中：；连结，过作AB的垂线如图所示，则，，所以；综上可知爬行的最短路程是，因此选A.
6、答案：A
解析：如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，
由勾股定理得棱锥的高，
设球O的半径为R，则，
解得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以在中，，
当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.
故选：A.
7、答案：D
解析：设圆锥的母线长为，则，得，即母线长为4，
设圆锥的底面半径为，，解得，即圆锥底面圆的半径为，
则圆锥的侧面积为．故选D．
8、答案：B
解析：圆锥的底面周长为，故底面半径为，高为，因此轴截面面积为
9、答案：C
解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以.
10、答案：B
解析：展开圆柱的侧面展开图如图所示，
由图可知，小虫爬行路线的最短长度.
11、答案：B
解析：设O为的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中，，在中，，当时，连接OQ，根据勾股定理可得，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合，故集合T表示的区每的面积为π，故选B.
12、答案：BC
解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.故选BC.
13、答案：ABD
解析：对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确；对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知，截面是与底面全等的圆面，所以B正确；对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误；对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确.故选ABD.
14、答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，
所以体积为，所以，
轴截面面积为，所以，
属于，所以母线长为，
所以此圆锥的侧面积为.
15、答案：
解析：如图，连接AE并延长交DC延长线于M，连接FM交于G，连接EG并延长交延长线于N，连接NF并延长交于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，因为E为BC的中点，所以，因为，所以，所以，所以,因为，所以，所以，所以，所以，所以截面与的交线段长为，故答案为：.
16、答案：4
解析：设圆柱的高为，有，得
17、答案：
解析：由题意，设圆锥的母线长为l，圆锥底面周长即侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即侧面展开图半圆的半径，
，解得，
该圆锥的母线长为.
18、答案：设正三棱锥的底面边长为a，斜高为，点O为点S在底面ABC上的射影，连接CO并延长交AB于点E，连接SE，则，，.
,，.
，，
，
,,
,
,
该正三棱锥的表面积.
19、答案：最短的绳长为5.
解析：作出三棱锥的平面展开图，如图，
A，B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.
，，，
所以，即此绳在A，B间最短的绳长为5.
20、答案：(1)
(2)这根绳子的最短长度是.
解析：(1)圆锥的高为，
底面圆的周长等于，
解得.
(2)连接AC，过B作于D，
则.
由，可求得，
，
，
即这根绳子的最短长度是.