2023年中考数学专题训练：圆的综合压轴题（圆-动点问题）（含答案）

2023年中考数学专题训练：圆的综合压轴题（圆-动点问题）
一、综合题
1．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
2．一块含有 角的三角板 如图所示，其中 ， ， .将此三角板在平面内绕顶点 旋转一周.
（1）画出边 旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积.
3．如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ．以点 为圆心，分别以 、 为半径作大小两个半圆，连结 ．
（1）求证： ；
（2）设小半圆与 相交于点 ， ．
①当 取得最大值时，求其最大值以及 的长；
②当 恰好与小半圆相切时，求弧 的长．
4．如图．在中，，，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在内作半圆D．
（1）若，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．
（2）当半圆D同时与的两直角边相切时，请求出EF的长．
5．已知：如图，⊙O的半径为r，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果射线OM上的点P'，满足OP·OP'=r2，则称点P'为点P关于⊙O的反演点．
在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．
（1）已知点A (4，0)，求点A关于⊙O的反演点A'的坐标；
（2）若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线 与直线x=4的交点，求点B的坐标；
（3）若点C为直线 上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，求点C的横坐标m的范围；
（4）若点D为直线x=4上一动点，直接写出点D关于⊙O的反演点D'的横坐标t的范围．
6．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：
【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．
如图1，若AB是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的（直径两端点A、B除外）
（1）已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P．
①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数．
②当点E从点B运动到点C的过程中，点P运动的路径是（　　）
A．线段；B．弧；C．半圆；D．圆
③点P运动的路经长是 ▲ ．
（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．
7．在平面中，对于 以及它的弦 ，若存在正方形 ，使点 在弦 上，点 在 上，则称正方形 是 关于弦 的一个“联络正方形”
下图中的正方形 即为 关于弦 的一个“联络正方形”
在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以 为圆心， 为半径的圆与 轴的另一个交点为 ．
（1）当 时，判断 关于弦 的“联络正方形”是否存在；
（2）当 时， 关于弦 的“联络正方形”为 ，求点 的坐标；
（3）当 关于弦 的“联络正方形”为 存在，且点 在抛物线 上时，直接写出此时点 的坐标．
8．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点 ▲ （填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ▲ ；
②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．
9．在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称 为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中 是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0）．
（1）当t＝2时，
在点C1（﹣3，2），C2（0，2 ），C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是　 　；
（2）当t＝2时，若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧 所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；
（3）若△ABC的C﹣中线弧 所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．
10．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）线段AC的长度是　 　．
（2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．
11．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
12．对于平面内的图形 和图形 ，记平面内一点 到图形 上各点的最短距离为 ，点 到图形 上各点的最短距离为 ，若 ，就称点 是图形 和图形 的一个“等距点” ．
在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．
（1）在 ， ， 三点中，点 和点 的等距点是　 　；
（2）已知直线 ．
①若点 和直线 的等距点在 轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；
②若直线 上存在点 直线 的等距点，求实数 的取值范围；
（3）记直线 为直线 ，直线 ： ，以原点 为圆心作半径为 的 ．若 上有 个直线 和直线 的等距点，以及 个直线 和 轴的等距点（ ， ），求 时，求 的取值范围．
13．对于平面直角坐标系中的图形和图形．给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系
（1）如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接．
①线段的最小值为　 　，最大值为　 　；线段的取值范围是　 　；
②在点O，点D中，点　 　与线段满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；
（3）的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
14．已知如图，⊙O的直径BC＝4 ， ＝ ＝ ，点P是射线BD上的一个动点．
（1）如图1，求BD的长；
（2）如图1，若PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；
（3）如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP＋ PB的最小值．
15．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横 纵坐标都是整数．在线段中，的以点A为中心的“关联线段”是　 　；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在中，．若是的以点A为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
16．如图1，在 中， ， ， ， 是 的中点，以点 为圆心在 的右侧作半径为3的半圆 ，分别交 于点 、 ，交 于点 、 ．
（1）连接 ，若 ，求 的长度；
（2）如图2，将线段 连同半圆 绕点 旋转．
①在旋转过程中，求点 到 距离的最小值；
②若半圆 与 的直角边相切，设切点为 ，连接 ，求 的长．
答案解析部分
1．（1）解：当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1=∠3，
而OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴ = ，即点D为半圆AB的中点．
（2）解：∵在直角△AOD中，OA=OD=5，
∴
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC=6，
∴
在直角△AGD中，
∴
∴线段AD的长度为 ，线段CD的长度为 ．
2．（1）解：∵三角板 ， ， ， ，
∴AB=2BC=6cm，
∴由勾股定理：AC= ，
边 在平面内绕顶点 旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：
（2）解：BC扫过的面积S圆环=
3．（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
∴
（2）解：①当 时， 取得最大值，
最大值 ，
在 中， ，
∴ ；
②当 恰好与小半圆相切时， ，
∵在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴弧 的长
4．（1）解：在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°
∴AC= ，AB=8
∵EF=2
∴半圆半径为1
∴DP=1
如图，当D、C、P三点共线时，CP最小
∵P为半圆D的中点，∠CBA=60°
∴CD⊥AB，CD=
∴CP的最小值是
（2）解：∵半圆D同时与两直角边相切，如图
∴DM⊥AC，DN⊥BC，
设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r
∴BN=4-r，
∵∠CAB=∠NDB=30°
∴tan30°=
∴r=
∴EF=2r=
5．（1）解: ∵点A （4，0），
∴OA=4，
∵点A'为点A关于⊙O的反演点，
∴OA OA'=22=4，
∴OA'=1，
∴A'坐标（1，0）；
（2）解: 如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵B'恰好为直线 与直线x=4的交点，
∴ ，
∴ 点坐标为(4， )．
∴OA=4，AB'= ，
∴ ，
∵ ，
，
∵点B'为点B关于⊙O的反演点，
∴OB OB'=22=4，
∴OB= ，
∵∠OBE=90°-∠BOE=30°，
∴ ， ，
∴点B坐标为( ， )；
（3）解: ∵点C为直线 上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，
∴ ，
∵OC OC'=4，
∴OC ，
∴点C在⊙O的外部，直线 与⊙O的两个交点坐标的横坐标为 ，
∴ m的取值范围是 m >1或 m <-1．
（4）解: ∵点D为直线 上一动点，
∴OD≥4，
∵OD OD'=4，
∴0＜OD'≤1，
∴D'的横坐标t的范围是：0＜t≤1．
6．（1）解：①90°；②B；③2π
（2）解：
7．（1）解：连接OE，
当 时，点P（2，0），点C（4，3）
∴CP= ，
∵点D在PQ上，
∴3≤CD≤ ，
∵四边形CDEF为正方形，
∴OE= ，
∴OE≥ ，
∴点E在 外，
关于弦 的“联络正方形”是不存在；
（2）解：过E、C分别作EH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，
∴∠HED+∠HDE=90°，
∵四边形CDEF为正方形，∠EDC=90°，ED=CD，
∴∠HDE+∠GDC=90°，
∴∠HED=∠GDC，
在△HED和△GDC中，
，
∴△HED≌△GDC（AAS），
∴EH=DG，HD=CG，
∵t=0，点P（0，0），点C（4，3），
∴OP= ，
∵点E在圆上，
∴OE=OP=5，
∵四边形CDEF为正方形，
∴OE= ，
∴CD= ，
在Rt△DCG中，DG= ，
当点E在第二象限，PG=4， HD=CG=3，EH=DG= ，
∴PH=HD-PD=HD-（PG-DG）=3-（4- ）= -1，
∴点E（1- ， ），
当点E在第四象限时，PH=PG-HG=PG-（HD-DG）=4-（3- ）=1+ ，
∴点E（1+ ，- ），
∴综合点E的坐标为（1- ， ）或（1+ ，- ）；
（3）解：过点F作FM⊥GC交延长线于M，
由（2）△EHD≌△DGC
∴∠MFC+∠MCF=90°，
∵四边形CDEF为正方形，∠FCD=90°，FC=CD，
∴∠MCF+∠GCD=90°，
∴∠MFC=∠GCD，
在△FMC和△CGD中，
，
∴△FMC≌△CGD（AAS），
∴△EHD≌△FMC≌△CGD
∴EH=MC=DG， HD=FM=CG=3，
设点D（m，0），
∴DG=4-m，
∴OH=HG-OG=CG+DG-OG=4-m+3-4=3-m，
∴点E（m-3，4-m），
∴4-m=（m-3）2-1，
解得m=4或m=1，
当m=1时，点E（-2，3）满足条件，此时DG=3=CM，
点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +CG=3+3=6，
∴点F（1，6），
当m=4时，点E（1，0）满足条件，此时DG=0=CM，
点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +0=3+0=3，
∴点F（1，3），
综合点F的坐标为（1，3）或（1，6）．
8．（1）解：①D；10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，
∵直线n的函数表达式为，
当x=0时，y=4；
当y=0时，x=，
∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），
在中，
∵===，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在中，
∵，
∴HO=·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
（2）解：直线l的解析式为或．
9．（1）C2，C4
（2）解：∵△ABC的中线CD＝4，
∴点C在以点D为圆心4为直径的弧上，
由①知，点C的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，
∴点C在如图2所示的 上（点H（2，4）除外），
∵点P是以CD为直径的圆的圆心，
∴点P在如图2所示的 上（点G（2，2）除外），
在Rt△OAM中，AD＝2，MD＝4，
根据勾股定理得，AO＝2 ，
∴C（0，2 ），
同理：C'（4，2 ），
∵点P是DC的中点，
∴P（1， ），
同理：点P'（3， ），
当直线y＝kx过点P（1， ）时，得k= ，
当直线y＝kx过点P'（3， ）时，得 ，
当直线y＝kx过点G（2，2）时，得k＝1，
结合图形，可得k的取值范围是 且k≠1
（3）解：同（1）①知，点E的横坐标大于等于0小于等于2t，且不等于t，
∵点D是AB的中点，且B（2t，0），
∴D（t，0），
当点E在线段AD上时，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，
∴t≤4，
当点E在线段BE上时，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，
∴t≥ ，
∴ 且t≠2
10．（1）8
（2）解：如图3所示，连接PF，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴ ，即 ，
解得：x＝ ，
即AP＝ ；
（3） ＜AP＜ 或AP＝5
11．（1）解：∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD= BC= ．
又∵OB=2，∴
（2）解：存在，DE是不变的．
如图，连接AB，则 ．
∵D和E是中点，∴DE=
（3）解：∵BD=x，∴ ．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900．
∴∠2+∠3=45°．
过D作DF⊥OE，垂足为点F．∴DF=OF= ．
由△BOD∽△EDF，得 ，即
，解得EF= x．
∴OE= ．
∴
12．（1）S(2，0)
（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线 上的点 为点 和直线 的等距点，连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ．
点 为点 和直线 的等距点，
．
．
点 在直线 上，
可设点 的坐标为 ．
．
整理得 ．
由题意得关于 的方程 有实数根．
．
解得 ．
（3）解：如图．
直线l1和直线l2的等距点在直线l3： 上，
直线l1和y轴的等距点在直线 或 上，
点O与l4的距离为 ，点O与l3的距离为 ，点O与l5的距离为3，
当r＜ 时，n=0不符合题意，
当r= 时，m=2，n=0，符合题意，
当 ＜r＜3时，m=n=2，不符合题意，
当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，
综上所述，r= 或r≥3.
13．（1）；；；O
（2）解：∵，
∴结合（1）中的结果有∠GFO=∠ECO=30°，∠OGF=∠OEC=60°，
设F点的坐标为(a，0)，根据题意有a＞0，
则有OF=a，
分三种情况讨论：
第一种情况FG在⊙O内部，即时，
如图，
∵根据（1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OF×sin∠GFO=a，
则⊙O到线段FG的最小值为：1-a，最大值为1+a，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，解得，
此时a的取值范围为：，
第二种情况，FG与⊙O有交点，如图，
根据限距关系的定义可知：此时线段FG与⊙O必满足限距关系，
随着FG向右平移的过程中，
当F点与表示1的点重合时，FG开始与⊙O有交点，此时OF与⊙O的半径相等，
即OF=1，则a=1；
当FG与⊙O相切时，此时圆心O到FG的距离为圆的半径1，此时OF==2，
即OF=2，则a=2；
当相切之后，若FG再往右继续平移，此时FG就在圆外，
∴此时a的取值分为为：，
第三种情况，当FG在⊙O外部，即时，
如图，
∵根据（1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OF×sin∠GFO=a，
则⊙O到线段FG的最小值为：a-1，最大值为a+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，解得，
此时a的取值范围为：，
综上所述：F横坐标的取值范围为：，
∴；
（3）解：．
14．（1）解：∵BC是直径， ＝ ＝ ，则 、 、 均为60°的弧，
则∠DBC＝30°，连接OA交BD于点H，
∵BC＝4 ，则BO＝CO＝2 ，
在Rt△BOH中，BH＝BOcos∠DBC＝2 × ＝3，
则BD＝2BH＝6；
（2）解：在Rt△BCD中，BC＝4 ，∠DBC＝30°，则CD＝ CB＝2 ，
PD＝PB﹣BD＝8﹣6＝2，
在Rt△CDP中，PC2＝CD2＋PD2＝4＋（2 ）2＝16，
在△BCP中，BC2＝（4 ）2＝48，BP2＝64，
则PB2＝CB2＋PC2，
故△BPC为直角三角形，故PC⊥CB，
故PC为⊙O的切线；
（3）解：过点A作AH⊥BC交BD于点P，
在Rt△PBH中，∠DBC＝30°，则PH＝ PB，
即AP＋ PB＝AP＋PH＝AH为最小，
∵ 、 均为60°的弧，则∠ABO＝60°，
而AO＝BO，
故△ABO为边长为2 的等边三角形，
则AH＝ABsin60°＝2 × ＝3，
即AP＋ PB的最小值为3．
15．（1）
（2）解：由题意可得：当是的以点A为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设与y轴的交点为D，连接，易得轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的，
∴；
（3）当时，此时；当时，此时．
16．（1）解：如图，在 中， ， ， ，
∴
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）解：①如图，当 时，点 到 的距离最小，
由三角形面积公式可得，
∴ ，
∴
∴点 到 距离的最小值是
②当半圆 与 相切时，
如图，设切点为 ，连接 ， ，则 ，
∵在 中， ， ，∴
∵在 中， ，
∴
当半圆 与 相时，如图，设切点为 ，连接 ，
∴
∵在 中， ， ，
∴
∴
∴ 的长为 或