人教版数学七年级下课时精炼5.1.2垂线

人教版数学七年级下课时精炼5.1.2垂线
一、单选题
1．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（　　）
A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm
2．（2022七下·江源期末）下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021七下·娄星期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD＝4.8，那么点B到AC的距离是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．4.8
4．（2021七下·香洲期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为节省材料，他们过点C向河岸l作垂线，垂足为点D，于是确定沿CD铺设水管，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
5．（2021七下·宜州期中）如图，三角形 中， ， ，则图中能表示点到直线的距离的线段有（　　）条.
A．6 B．5 C．4 D．3
6．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（　　）

A．小于3cm B．5cm C．3cm D．不大于3cm
7．如图，AB垂直EF，互余的角是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠3与∠5 D．∠2与∠5
8．下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有（　　）
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2022七下·辛集期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022七下·娄星期末）如图所示，点C到AB所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度．
A．AE B．CF C．BD D．BE
11．（2022七下·如皋期末）如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则 BD 的长度的取值范围是（　　）
A．大于 4cm B．小于 6cm
C．大于 4cm 或小于 6cm D．大于 4cm 且小于 6cm
12．（2022七下·深圳期中）如图，点P是直线a外一点，过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB＝PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4，则线段PC的长不可能是（　　）
A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
13．（2021七下·建昌期末）如图所示，P是直线l外一点，点A，B，C在l上，且PB⊥l，垂足是B，下列说法：①PA，PB，PC这3条线段中，PB最短；②点P到直线l的距离是线段PB的长；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段PA的长是点P到直线l的距离．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
14．（2022七下·喀什期末）如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是　 　．
15．（2020七下·青岛期中）在同一平面内，两个角的两边分别垂直，其中一个角的度数是另一个角的 倍少 ，那么这两个度数分别是　 　（只写数字，不写单位）．
三、作图题
16．（2022七下·阳江期末）如图，已知线段，用三角板或量角器分别过P、D、F三点作线段的垂线．
四、综合题
17．（2022七下·潢川期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数.
18．（2022七下·崇阳期中）如图，点O在直线AB上，OC平分，．
（1）已知，求的大小；
（2）若，请判断OE是否平分，并说明理由．
19．（2021七下·农安期末）
（1）探究：如图①，点C是∠AOB内部一点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别是点D、E．若∠AOB＝42°，求∠DCE的度数．
（2）应用：如图②，点C是∠AOB外部一点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB是点D、E，CE交OA于点F．若∠AOB＝42°，求∠DCE的度数；
（3）拓展：若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是　 　．
20．（2021七下·肥城期中）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
（1）若，求和的度数；
（2）射线与有什么位置关系 请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PC，
即点P到直线l的距离不大于3cm．
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。
2．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点到直线的距离，对每个图形一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵AC⊥BC，BC=8，
∴点B到AC的距离为8.
故答案为：B.
【分析】根据AC⊥BC，BC=8，结合点到直线的距离的概念进行解答.
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：因为 于点 ，根据垂线段最短，所以 为 点到河岸 的最短路径．
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短进行判断即可。
5．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：线段CD的长度是点C到 的距离，
线段BD的长度是点B到 的距离，
线段AD的长度是 到 的距离，
线段 的长度是 到 的距离，
线段 的长度是 到 的距离，
故答案为：B.
【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此解答.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【分析】点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，是点P到直线m上各点的连线段中，长度最小的线段．
【解答】由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于或等于3cm，即不大于3cm．
故选D．
7．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】根据AB垂直EF，可得∠BAF=90°，再根据三角形的内角和为180°，即可得到结果。
【解答】∵AB垂直EF，
∴∠BAF=90°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAF=90°，
∴∠1与∠2互余，
故选A.
【点评】解答本题的关键是掌握好三角形的内角和为180°，和为90°的两个角互为余角。
8．【答案】A
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，是定义，能判断；
②两条直线相交所成的四个角相等，则四个角都是直角，能判断；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等，根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角，能判断；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°，根据对顶角相等求出这两个角都是直角，能判断。
所以，四个都能判断两条直线互相垂直。
故选A．
【分析】根据垂线的定义对各小题分析判断即可得解。
9．【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短，以及两点之间线段最短求解即可。
10．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
点A到BC所在直线的距离是线段AE的长度，
点C到AB所在直线的距离是线段CF的长度，
点B到AC所在直线的距离是线段BD的长度.
故答案为：B.
【分析】过直线外一点向一条直线引垂线，这点到垂足间的线段的长度就是这个点到这条直线的距离，据此即可一一判断得出答案.
11．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，可知：BD的长度的取值范围是大于4cm 且小于 6cm.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形中，直角边小于斜边可得BC12．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB＝PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4，
∴PB＝6，
∴4≤PC≤6，
故PC不可能是3.8，
故答案为：A．
【分析】已知C点在AB内，所以PC是的斜边，因此PC不可能小于4
13．【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①线段BP是点P到直线L的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短；故本选项符合题意；
②线段BP是点P到直线L的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故本选项符合题意；
③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故本选项符合题意；
④因为PA不垂直直线l，所以线段PA不是点P到直线l的距离，故本选项不符合题意；
综上所述，正确的说法有①②③；
故答案为：A．
【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义逐项分析即可。
14．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，可知理由是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
15．【答案】129°，51°或12°，12°
【知识点】垂线；根据数量关系列方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：设另一个角为α，则这个角是3α-24°，
∵两个角的两边分别垂直，
∴α+3α-24°=180°或α=3α-24°，
解得α=51°或α=12°，
∴3α-24°=129°或3α-24°=12°，
这两个角是129°，51°或12°，12°．
故答案为：129°，51°或12°，12°．
【分析】设另一个角为α，则这个角是3α-24°，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解．
16．【答案】解：用三角板直接过点P、D作线段的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求，如图所示：
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】用三角板直接过点P、D作线段AB的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段AB延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求。
17．【答案】（1）解：ON⊥CD.理由如下：
∵OM⊥AB，
∴，
∴∠1+∠AOC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD.
（2）解：∵∠1=∠BOC，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可推出∠2+∠AOC=∠1+∠AOC=90°，即得∠CON=90°，继而得解；
（2） 由∠1=∠BOC可得，从而求出∠1的度数，利用∠BOD=90°-∠1即可求解.
18．【答案】（1）解：OC平分，，
，
，
，
又，
；
（2）解：OE平分，理由如下：
平分，，
，
又，
；
平分．
【知识点】角的运算；垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BOC=∠DOC=26°，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠BOD=2∠BOC=2α，由邻补角的性质可得∠AOD=180°-2α，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此表示出∠AOE，进而判断.
19．【答案】（1）解：如图，连接
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，
∴∠AOB+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣42°＝138°．
（2）解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，
∴∠AOB+∠OFE＝90°，∠DCE+∠AFC＝90°，
∵∠OFE＝∠AFC，
∴∠DCE＝∠AOB＝42°．
（3）相等或互补
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】（3）由（1）（2）可得：
若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【分析】（1）连接OC，由垂直的定义可得∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，利用三角形内角和可得 即得∠AOB+∠DCE＝180°，从而求解；
（2）由垂直的定义可得∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，利用三角形内角和可得 ∠AOB+∠OFE＝90°，∠DCE+∠AFC＝90°，由对顶角相等可得∠OFE＝∠AFC， 根据等角的余角相等即得结论；
（3）由（1）（2）可得：若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是相等或互补．
20．【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵、分别是，的平分线，
∴，，
∴，
即 ，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得 ，由对顶角相等可得 由邻补角可求出，由角平分线的定义可得∠AOF= ∠AOE
=58°，根据∠BOF=180°-∠AOF即可得解；
（2） ，理由 ：由角平分线的定义可得 ， ，根据∠DOF= ，根据垂直的定义即证.
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一、单选题
1．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（　　）
A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PC，
即点P到直线l的距离不大于3cm．
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。
2．（2022七下·江源期末）下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点到直线的距离，对每个图形一一判断即可。
3．（2021七下·娄星期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD＝4.8，那么点B到AC的距离是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．4.8
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵AC⊥BC，BC=8，
∴点B到AC的距离为8.
故答案为：B.
【分析】根据AC⊥BC，BC=8，结合点到直线的距离的概念进行解答.
4．（2021七下·香洲期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为节省材料，他们过点C向河岸l作垂线，垂足为点D，于是确定沿CD铺设水管，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：因为 于点 ，根据垂线段最短，所以 为 点到河岸 的最短路径．
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短进行判断即可。
5．（2021七下·宜州期中）如图，三角形 中， ， ，则图中能表示点到直线的距离的线段有（　　）条.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：线段CD的长度是点C到 的距离，
线段BD的长度是点B到 的距离，
线段AD的长度是 到 的距离，
线段 的长度是 到 的距离，
线段 的长度是 到 的距离，
故答案为：B.
【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此解答.
6．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（　　）

A．小于3cm B．5cm C．3cm D．不大于3cm
【答案】D
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【分析】点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，是点P到直线m上各点的连线段中，长度最小的线段．
【解答】由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于或等于3cm，即不大于3cm．
故选D．
7．如图，AB垂直EF，互余的角是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠3与∠5 D．∠2与∠5
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】根据AB垂直EF，可得∠BAF=90°，再根据三角形的内角和为180°，即可得到结果。
【解答】∵AB垂直EF，
∴∠BAF=90°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAF=90°，
∴∠1与∠2互余，
故选A.
【点评】解答本题的关键是掌握好三角形的内角和为180°，和为90°的两个角互为余角。
8．下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有（　　）
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，是定义，能判断；
②两条直线相交所成的四个角相等，则四个角都是直角，能判断；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等，根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角，能判断；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°，根据对顶角相等求出这两个角都是直角，能判断。
所以，四个都能判断两条直线互相垂直。
故选A．
【分析】根据垂线的定义对各小题分析判断即可得解。
9．（2022七下·辛集期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短，以及两点之间线段最短求解即可。
10．（2022七下·娄星期末）如图所示，点C到AB所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度．
A．AE B．CF C．BD D．BE
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
点A到BC所在直线的距离是线段AE的长度，
点C到AB所在直线的距离是线段CF的长度，
点B到AC所在直线的距离是线段BD的长度.
故答案为：B.
【分析】过直线外一点向一条直线引垂线，这点到垂足间的线段的长度就是这个点到这条直线的距离，据此即可一一判断得出答案.
11．（2022七下·如皋期末）如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则 BD 的长度的取值范围是（　　）
A．大于 4cm B．小于 6cm
C．大于 4cm 或小于 6cm D．大于 4cm 且小于 6cm
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，可知：BD的长度的取值范围是大于4cm 且小于 6cm.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形中，直角边小于斜边可得BC12．（2022七下·深圳期中）如图，点P是直线a外一点，过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB＝PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4，则线段PC的长不可能是（　　）
A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB＝PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4，
∴PB＝6，
∴4≤PC≤6，
故PC不可能是3.8，
故答案为：A．
【分析】已知C点在AB内，所以PC是的斜边，因此PC不可能小于4
13．（2021七下·建昌期末）如图所示，P是直线l外一点，点A，B，C在l上，且PB⊥l，垂足是B，下列说法：①PA，PB，PC这3条线段中，PB最短；②点P到直线l的距离是线段PB的长；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段PA的长是点P到直线l的距离．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①线段BP是点P到直线L的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短；故本选项符合题意；
②线段BP是点P到直线L的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故本选项符合题意；
③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故本选项符合题意；
④因为PA不垂直直线l，所以线段PA不是点P到直线l的距离，故本选项不符合题意；
综上所述，正确的说法有①②③；
故答案为：A．
【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义逐项分析即可。
二、填空题
14．（2022七下·喀什期末）如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，可知理由是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
15．（2020七下·青岛期中）在同一平面内，两个角的两边分别垂直，其中一个角的度数是另一个角的 倍少 ，那么这两个度数分别是　 　（只写数字，不写单位）．
【答案】129°，51°或12°，12°
【知识点】垂线；根据数量关系列方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：设另一个角为α，则这个角是3α-24°，
∵两个角的两边分别垂直，
∴α+3α-24°=180°或α=3α-24°，
解得α=51°或α=12°，
∴3α-24°=129°或3α-24°=12°，
这两个角是129°，51°或12°，12°．
故答案为：129°，51°或12°，12°．
【分析】设另一个角为α，则这个角是3α-24°，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解．
三、作图题
16．（2022七下·阳江期末）如图，已知线段，用三角板或量角器分别过P、D、F三点作线段的垂线．
【答案】解：用三角板直接过点P、D作线段的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求，如图所示：
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】用三角板直接过点P、D作线段AB的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段AB延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求。
四、综合题
17．（2022七下·潢川期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数.
【答案】（1）解：ON⊥CD.理由如下：
∵OM⊥AB，
∴，
∴∠1+∠AOC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD.
（2）解：∵∠1=∠BOC，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可推出∠2+∠AOC=∠1+∠AOC=90°，即得∠CON=90°，继而得解；
（2） 由∠1=∠BOC可得，从而求出∠1的度数，利用∠BOD=90°-∠1即可求解.
18．（2022七下·崇阳期中）如图，点O在直线AB上，OC平分，．
（1）已知，求的大小；
（2）若，请判断OE是否平分，并说明理由．
【答案】（1）解：OC平分，，
，
，
，
又，
；
（2）解：OE平分，理由如下：
平分，，
，
又，
；
平分．
【知识点】角的运算；垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BOC=∠DOC=26°，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠BOD=2∠BOC=2α，由邻补角的性质可得∠AOD=180°-2α，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此表示出∠AOE，进而判断.
19．（2021七下·农安期末）
（1）探究：如图①，点C是∠AOB内部一点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别是点D、E．若∠AOB＝42°，求∠DCE的度数．
（2）应用：如图②，点C是∠AOB外部一点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB是点D、E，CE交OA于点F．若∠AOB＝42°，求∠DCE的度数；
（3）拓展：若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是　 　．
【答案】（1）解：如图，连接
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，
∴∠AOB+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣42°＝138°．
（2）解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，
∴∠AOB+∠OFE＝90°，∠DCE+∠AFC＝90°，
∵∠OFE＝∠AFC，
∴∠DCE＝∠AOB＝42°．
（3）相等或互补
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】（3）由（1）（2）可得：
若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【分析】（1）连接OC，由垂直的定义可得∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，利用三角形内角和可得 即得∠AOB+∠DCE＝180°，从而求解；
（2）由垂直的定义可得∠ODC＝90°，∠OEC＝90°，利用三角形内角和可得 ∠AOB+∠OFE＝90°，∠DCE+∠AFC＝90°，由对顶角相等可得∠OFE＝∠AFC， 根据等角的余角相等即得结论；
（3）由（1）（2）可得：若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则这两个角的关系是相等或互补．
20．（2021七下·肥城期中）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
（1）若，求和的度数；
（2）射线与有什么位置关系 请说明理由．
【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵、分别是，的平分线，
∴，，
∴，
即 ，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得 ，由对顶角相等可得 由邻补角可求出，由角平分线的定义可得∠AOF= ∠AOE
=58°，根据∠BOF=180°-∠AOF即可得解；
（2） ，理由 ：由角平分线的定义可得 ， ，根据∠DOF= ，根据垂直的定义即证.
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