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人教版数学七年级下课时精炼5.2.1平行线
一、单选题
1．（2022七下·大同期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
2．（2020七下·通山期末）经过直线 l 外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．在同一平面内有1998条直线a1，a2，…，a1998，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…那么a1与a1998的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行或重合
C．垂直 D．相交但不垂直
4．若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
5．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的两个角一定是对顶角
C．将一根细木条固定在墙上，只需要一根钉子
D．同角的余角相等
6．下列说法中是真命题的有（ ）
①一条直线的平行线只有一条；
②过一点与已知直线平行的直线只有一条；
③因为a∥b，c∥b，所以a∥c；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．如果两个角有公共顶点和一条公共边，且这两个角互补，那么这两个角互为邻补角
C．对顶角相等但不互补，邻补角互补但不相等
D．如果∠MON=180°，那么M、O、N三点在一条直线上
二、填空题
8．（2017七下·宜春期末）如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
三、作图题
9．（2022七下·津南期中）如图，直线与直线交于点，点为直线、外一点，根据下列语句画图，并作答：
（1）过点画交于点；
（2）过点画，垂足为；
（3）点为直线上一点，连接，连接.
10．（2020七下·和平期中）阅读材料后完成．
有这样一个游戏，游戏规则如下所述：如图①—图④，都是边
长为1的 网格图，其中每条实线称为格线，格线与格线的交 点称为格点．在图①和图②中，可知 ．在图③ 和图④中，可知 ． 根据上面的游戏规则，同学们开始闯关吧！ 第一关：在图⑤的 网格图中，所给各点均为格点，经过 给定的一点（不包括边框上的点），在图中画出一条与线段AB垂直 的线段（或者直线）BC，再画出与线段AB平行的一条线段（或者 直线）EF． 第二关：在图⑥的 网格图中，所给各点均为格点，经过 两对给定的点，构造两条互相垂直的直线．（在图中直接画出）
11．如图所示，在8X8方格纸中，有两条线段AB，BC．利用方格纸完成以下操作：
⑴过点A画BC的平行线；
⑵过点C画AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
⑶过点B画AB的垂线．
12．如图所示，已知线段AB，按下列步骤画图并解答．
①过点B作BM⊥AB，垂足为点B；
②作∠BAC=60°，AC交垂线BM于点C；
③取线段BC的中点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E；
④通过度量线段DE的长，指出线段AB与DE的数量关系．
四、解答题
13．（2020七下·庆安期末）如图，已知直线b ∥c，a⊥b ，求证：a⊥c
14．（原创题）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”：
（1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
（2）EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？
五、综合题
15．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线；垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：A.同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项是假命题，不符合题意；
B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项是假命题，不符合题意；
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该选项是真命题，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行公理、垂线的性质、 点到直线的距离、垂线段最短分别进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平行的，只能是一条，
即与直线l相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可.
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环，∴（1998﹣1）÷4=499余1，∴a1与a1998垂直．故选：C
【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环．根据此规律可求a1与a1998的位置关系是垂直．
4．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．
【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．
5．【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；余角、补角及其性质；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】根据平面图形的基本概念依次分析各项即可判断。
解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B. 所有的直角都相等，但不一定是对顶角，C. 将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，故错误；D. 同角的余角相等，本选项正确。故答案选D.
【分析】解答本题的关键是熟练掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，一定要强调“直线外一点”。
6．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】①一条直线的平行线只有一条是错误的；
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的。
③因为a∥b，a∥c，所以b∥c，正确。
④满足平行公理的推论，正确。
故选B．
7．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A、应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、应为：如果两个角有公共顶点和一条公共边，这两个角在公共边的异侧，且这两个角互补，那么这两个角互为邻补角，故本选项错误；
C、对顶角相等但不互补，邻补角互补但不相等，错误，例如两条互相垂直的直线形成的四个角，故本选项错误；
D、如果∠MON=180°，那么M、O、N三点在一条直线上正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据平行公理，邻补角的定义，对顶角的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
8．【答案】50°或70°
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
9．【答案】（1）解：如图所示，如图所示，直线即为所求；
（2）解：如图所示，垂线段即为所求；
（3）解：如图所示，线段、即为所求．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据平行线的作图方法求解即可；
（2）根据垂线的作图方法求解即可；
（3）根据要求作出图形即可。
10．【答案】解：第一关：在图⑤的 网格图中，根据图②画出 垂直的线段 ，根据图③和图④可画出与线段 平行的线段 ，如图所示．
第二关：结合题中所给图形，画出两条垂直的直线，如图所示．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】第一关：在图⑤的 网格图中，根据图②画出 垂直的线段 ，根据图③和图④可画出与线段 平行的线段 即可．
第二关：结合题中所给图形，画出两条垂直的直线即可．
11．【答案】解：如图． (1)AE即为所求．
(2)CD即为所求．
(3)BF即为所求．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】按照题干中的要求，分别画出相应的图形即可.
12．【答案】解：画图如下，通过度量得AB=2DE．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线；作图-角；线段的长短比较
【解析】【分析】①利用作垂线的方法，利用直角三角板的直角过点B作BM⊥AB，垂足为点B.
②用量角器以点A为角的顶点，AB为一边，向上作∠BAC=60°，AC交垂线BM于点C.
③取线段BC的中点D，利用平移法过点D作DE∥AB，交AC于点E.
④用刻度尺量出DE，AB的长，可得到线段AB与DE的数量关系.
13．【答案】证明： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】先求出∠1=90°，再根据平行求出∠2=∠1=90°，即可证明。
14．【答案】（1）解：正面：AB∥EF；上面：A′B′∥AB；右侧：DD′∥HR；
（2）解：EF∥A′B′，CC′⊥DH．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）正面AE、MF、NG、DH是平行的，MP、QB平行，PN、CQ平行；上面AA′、BB′、CC′、DD′相互平行，AB、A′B′、CD、C′D′平行；右侧HR、DD′平行，HD、RD′平行；
（2）EF与A′B′都与AB平行，所以平行；CC′与DD′平行，DD′与DH垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直．
15．【答案】（1）解：如图1所示；交点共有6个，
（2）解：如图2，3．
（3）解：当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
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人教版数学七年级下课时精炼5.2.1平行线
一、单选题
1．（2022七下·大同期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线；垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：A.同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项是假命题，不符合题意；
B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项是假命题，不符合题意；
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该选项是真命题，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行公理、垂线的性质、 点到直线的距离、垂线段最短分别进行判断即可.
2．（2020七下·通山期末）经过直线 l 外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平行的，只能是一条，
即与直线l相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可.
3．在同一平面内有1998条直线a1，a2，…，a1998，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…那么a1与a1998的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行或重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环，∴（1998﹣1）÷4=499余1，∴a1与a1998垂直．故选：C
【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环．根据此规律可求a1与a1998的位置关系是垂直．
4．若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．
【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．
5．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的两个角一定是对顶角
C．将一根细木条固定在墙上，只需要一根钉子
D．同角的余角相等
【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；余角、补角及其性质；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】根据平面图形的基本概念依次分析各项即可判断。
解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B. 所有的直角都相等，但不一定是对顶角，C. 将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，故错误；D. 同角的余角相等，本选项正确。故答案选D.
【分析】解答本题的关键是熟练掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，一定要强调“直线外一点”。
6．下列说法中是真命题的有（ ）
①一条直线的平行线只有一条；
②过一点与已知直线平行的直线只有一条；
③因为a∥b，c∥b，所以a∥c；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】①一条直线的平行线只有一条是错误的；
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的。
③因为a∥b，a∥c，所以b∥c，正确。
④满足平行公理的推论，正确。
故选B．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．如果两个角有公共顶点和一条公共边，且这两个角互补，那么这两个角互为邻补角
C．对顶角相等但不互补，邻补角互补但不相等
D．如果∠MON=180°，那么M、O、N三点在一条直线上
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A、应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、应为：如果两个角有公共顶点和一条公共边，这两个角在公共边的异侧，且这两个角互补，那么这两个角互为邻补角，故本选项错误；
C、对顶角相等但不互补，邻补角互补但不相等，错误，例如两条互相垂直的直线形成的四个角，故本选项错误；
D、如果∠MON=180°，那么M、O、N三点在一条直线上正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据平行公理，邻补角的定义，对顶角的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
二、填空题
8．（2017七下·宜春期末）如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
【答案】50°或70°
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
三、作图题
9．（2022七下·津南期中）如图，直线与直线交于点，点为直线、外一点，根据下列语句画图，并作答：
（1）过点画交于点；
（2）过点画，垂足为；
（3）点为直线上一点，连接，连接.
【答案】（1）解：如图所示，如图所示，直线即为所求；
（2）解：如图所示，垂线段即为所求；
（3）解：如图所示，线段、即为所求．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据平行线的作图方法求解即可；
（2）根据垂线的作图方法求解即可；
（3）根据要求作出图形即可。
10．（2020七下·和平期中）阅读材料后完成．
有这样一个游戏，游戏规则如下所述：如图①—图④，都是边
长为1的 网格图，其中每条实线称为格线，格线与格线的交 点称为格点．在图①和图②中，可知 ．在图③ 和图④中，可知 ． 根据上面的游戏规则，同学们开始闯关吧！ 第一关：在图⑤的 网格图中，所给各点均为格点，经过 给定的一点（不包括边框上的点），在图中画出一条与线段AB垂直 的线段（或者直线）BC，再画出与线段AB平行的一条线段（或者 直线）EF． 第二关：在图⑥的 网格图中，所给各点均为格点，经过 两对给定的点，构造两条互相垂直的直线．（在图中直接画出）
【答案】解：第一关：在图⑤的 网格图中，根据图②画出 垂直的线段 ，根据图③和图④可画出与线段 平行的线段 ，如图所示．
第二关：结合题中所给图形，画出两条垂直的直线，如图所示．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】第一关：在图⑤的 网格图中，根据图②画出 垂直的线段 ，根据图③和图④可画出与线段 平行的线段 即可．
第二关：结合题中所给图形，画出两条垂直的直线即可．
11．如图所示，在8X8方格纸中，有两条线段AB，BC．利用方格纸完成以下操作：
⑴过点A画BC的平行线；
⑵过点C画AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
⑶过点B画AB的垂线．
【答案】解：如图． (1)AE即为所求．
(2)CD即为所求．
(3)BF即为所求．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】按照题干中的要求，分别画出相应的图形即可.
12．如图所示，已知线段AB，按下列步骤画图并解答．
①过点B作BM⊥AB，垂足为点B；
②作∠BAC=60°，AC交垂线BM于点C；
③取线段BC的中点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E；
④通过度量线段DE的长，指出线段AB与DE的数量关系．
【答案】解：画图如下，通过度量得AB=2DE．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线；作图-角；线段的长短比较
【解析】【分析】①利用作垂线的方法，利用直角三角板的直角过点B作BM⊥AB，垂足为点B.
②用量角器以点A为角的顶点，AB为一边，向上作∠BAC=60°，AC交垂线BM于点C.
③取线段BC的中点D，利用平移法过点D作DE∥AB，交AC于点E.
④用刻度尺量出DE，AB的长，可得到线段AB与DE的数量关系.
四、解答题
13．（2020七下·庆安期末）如图，已知直线b ∥c，a⊥b ，求证：a⊥c
【答案】证明： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】先求出∠1=90°，再根据平行求出∠2=∠1=90°，即可证明。
14．（原创题）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”：
（1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
（2）EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？
【答案】（1）解：正面：AB∥EF；上面：A′B′∥AB；右侧：DD′∥HR；
（2）解：EF∥A′B′，CC′⊥DH．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）正面AE、MF、NG、DH是平行的，MP、QB平行，PN、CQ平行；上面AA′、BB′、CC′、DD′相互平行，AB、A′B′、CD、C′D′平行；右侧HR、DD′平行，HD、RD′平行；
（2）EF与A′B′都与AB平行，所以平行；CC′与DD′平行，DD′与DH垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直．
五、综合题
15．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
【答案】（1）解：如图1所示；交点共有6个，
（2）解：如图2，3．
（3）解：当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
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