人教版数学七年级下课时精炼5.2.2平行线的判定
一、单选题
1．（2022七下·延庆期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（）
①∠1=∠4②∠2=∠3③∠5=∠B④∠DCB+∠B=180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①符合题意；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②不符合题意；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③符合题意；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
2．（2022七下·河南期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；③；④，其中能判断的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥CD；
③∵∠4=∠B，∴AB∥CD；
④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即可.
3．如图所示，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=90°
C．∠3+∠4=90° D．∠2+∠3= 90°
【答案】A
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴∠CAB+∠ACD=2∠2+2∠1，
∵∠1=∠2
∴∠CAB+∠ACD=4∠1，不能判断AB∥CD，故A符合题意；
B、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1），
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠CAB+∠ACD=2×90°=180°，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，
∴∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1）=2（∠3+∠4），
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠CAB+∠ACD=2×90°=180°，
∴AB∥CD，故C不符合题意；
D、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，
∴∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1）=2（∠3+∠2），
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠CAB+∠ACD=2×90°=180°，
∴AB∥CD，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠CAB=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，可得到∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1）=2（∠3+∠2）=2（∠3+∠4），再根据各选项中的条件，可得到不能判定AB∥CD的条件.
4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度和方向可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
B．第一次向左拐40°．第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°
D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴AB与CD不平行；故A不符合题意；
B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴AB与CD平行；故B符合题意；
C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴∠1≠∠2，
∴AB不平行CD；故C不符合题意；
D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠3＝140°，
∴∠1≠∠3，
∴AB与CD不平行；故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，可知两次拐弯后的方向是平行线，分别画出图形，再利用平行线的判定定理分别进行判断，可得答案.
5．在下列选项图中，若∠1=∠2，则能判断AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、图形中的∠1=∠2，不能判断AB∥CD，故A不符合题意；
B、图形中的∠1=∠2，不能判断AB∥CD，故B不符合题意；
C、图形中的∠1=∠2，不能判断AB∥CD，故C不符合题意；
D、∵图形中的∠1=∠2，
∴AB∥CD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定定理，必须是两条平行线被第三条直线所截，可排除B，C选项；再根据同位角，内错角的定义，可得答案.
6．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
二、填空题
7．（2022七下·南昌期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是 ．
【答案】②③④
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，故①不符合题意；
当，∠2=90°-∠1=45°，∠3=90°-∠2=45°，且∠B=45°，
因此∠B=∠3，
∴，故②符合题意；
当时，则∠1=90°-∠2=60°，且∠E=60°，
因此∠1=∠E，
∴，故③符合题意；
当时，则∠3+∠D=60°+30°=90°，
因此，故④符合题意，
故答案为：②③④．
【分析】利用平行线的判定方法和垂直求解即可。
三、解答题
8．（2021七下·铁西期末）如图，分别平分和，且，求证：．
【答案】证明：分别平分，
，
， ，
， ，
．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再结合可得，又因为，所以，从而得到。
9．（2021七下·伊通期末）已知：，点G在上，B、C、G三点在同一条直线上，且，，求证：．
【答案】证明：，，、、三点在同一条直线上，
，
，
又，
．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据可得CD//AB，再结合可得。
10．（2022七下·大安期末）如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ▲ （ ）
∵∠ACB=∠FCD( ）
∴∠ECD=∠ACB( ）
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠▲（ ）
∴ （ ）．
【答案】证明：∵CD平分∠ECF
∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)
∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)
∴∠ECD∠ACB(等量代换)
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠ECD( 等量代换)
∴(同位角相等，两直线平行) ．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用角平分线的定义，平行线的判定方法证明即可。
11．（2022七下·平谷期末）已知：如图，CF平分∠ACM，∠1=72°，∠2=36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由．
【答案】解：CM∥DN
∵CF平分∠ACM
∴∠ACM=2∠1
∵∠1=72°
∴∠ACM=2∠1=144°
∴∠BCM=180°-144°=36°
∵∠2=36°，
∴∠2 =∠BCM．
∴CM∥DN
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠ACM=2∠1，则∠ACM=2∠1=144°，∠BCM=180°-144°=36°，可得∠2 =∠BCM，则CM∥DN。
12．（2022七下·宁远期末）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程：
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β（ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】解： BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，则∠ABD+∠BDC=2(∠α+∠β)，结合已知条件可得∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，进行证明.
13．（2022七下·浦北月考）如图，，，.问吗？为什么？
【答案】解：平行，理由如下：∵∠ACD=360°-90°-136°=134°，∠BAC=180°-46°=134°
∴ ∠ACD=∠BAC
∴（内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】根据周角的定义可得∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=134°，根据邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠BAF=134°，则∠ACD=∠BAC，然后根据内错角相等，两直线平行进行证明.
14．（2021七下·沈阳期末）如图，点E，F在分别在直线AB，CD上，∠AEF＝70°，EM平分∠AEF交CD于点P，点N在直线CD上，且PN＝PM，连接MN，若∠PMN＝72.5°，判断直线AB与CD是否平行？并说明理由．
【答案】解： AB//CD，
理由：∵PN＝PM，∠PMN＝72.5°，
∴∠PNM＝∠PMN＝72.5°，
∴∠MPN＝35°，
∴∠EPF＝∠MPN＝35°，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠AEF＝35°，
∴∠AEM＝∠EPF，
∴AB//CD．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】先利用等边对等角的性质和三角形的内角和求出∠MPN＝35°，再利用角平分线的定义可得∠AEM＝∠AEF＝35°，因此∠AEM＝∠EPF，从而得到AB//CD。
15．（2021七下·海曙期末）已知：如图， ， ， 与 互补，求证：
【答案】证明：
与 互补
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】两条垂直线可以推出DC和FH平行，可以得到，找到一对内错角相等从而证明题目.
四、综合题
16．（2022七下·化州期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【答案】（1）解：∵∠A=78°，∠A=∠D，∴∠D=78°，∵∠C=47°，∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°，∴∠AEB=∠CFD，∵∠A=∠D，∴∠B=∠C，∴AB∥CD．
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D=78°， 再计算求解即可；
（2）先求出 ∠AEB=∠CFD， 再利用平行线的判定方法证明即可。
17．（2022七下·湖里期末）如图1，BD是△ABC的角平分线，作∠BDE = ∠ABD交AB于点E．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若AC⊥BD，点M为线段AC延长线上一点（不与点c重合），连接BM，若AB⊥BM，在图2中补全图形并证明：∠DBC = ∠BMA．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵∠BDE=∠ABD，
∴∠BDE=∠DBC，
∴EDBC；
（2）解：补全图形如图所示，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBM+∠BMA=90°，
∵AB⊥BM，
∴∠ABM=90°，即∠ABD+∠DBM=∠ABM=90°，
∴∠ABD=∠BMA，
∴∠DBC=∠BMA．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，结合已知可得∠BDE=∠DBC，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
（2）由题意补全图形；由角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，由垂线定义可得∠BDC=∠ABM=90°，由直角三角形两锐角互余可得 ∠DBM+∠BMA=90°，由直角的构成可得∠ABD+∠DBM=∠ABM=90°，根据同角的余角相等可得∠ABD=∠BMA，然后由等量代换可求解.
18．（2022七下·秦皇岛期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．
（1）求证：
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据可得CD//EF；
（2）根据，再结合可得，即可得到。
19．（2022七下·哈尔滨开学考）已知，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，F是AB上一点，FE⊥BC于E，∠ADG＝∠BFE
（1）如图1，求证：DG∥AB
（2）如图2，若∠BAC＝90°，请直接写出图中与∠CAD互余的角，不需要证明.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，FE⊥BC
∴∠DAB＝∠FEB＝90°
∴AD∥EF
∴∠BFE＝∠BAD
∵∠ADG＝∠BFE
∴∠BAD＝∠ADG
∴DG∥AB
（2）解：∠BAD，∠BFE，∠ADG，∠C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据∠DAB＝∠FEB＝90°，可得AD∥EF，所以∠BFE＝∠BAD，结合∠ADG＝∠BFE可得∠BAD＝∠ADG，因此DG∥AB；
（2）根据余角的定义求解即可。
20．如图，已知∠1=∠2，∠BAC= 20°，∠ACF=80°．
（1）求∠2的度数；
（2）请说明FC∥AD的理由．
【答案】（1）解：∵∠1=∠2，∠BAC=20°，
∴∠2=∠1= (180°-∠BAC)= ×(180°- 20°)= 80°．
（2）解：由(1)得∠2=80°，
又∠ACF=80°，
∴∠2=∠ACF，
∴FC∥AD(内错角相等，两直线平行)．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据平角的定义可证得∠2=∠1= (180°-∠BAC)，代入计算可求出∠2的度数.
（2）利用（1）可证得∠2=∠ACF；利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
21．（2021七下·松原期末）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
【答案】（1）解：BF∥DE．理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∵BF⊥AC
∴∠BFA=90°
∴∠AFG＝90°﹣30°＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）先证明GF//BC可得∠1=∠3，再结合∠1+∠2＝180°，可得∠3+∠2＝180°，所以BF//DE；
（2）先求出∠1＝30°，再结合∠BFA=90°，利用角的运算可得∠AFG＝90°﹣30°＝60°。
22．（2022七下·攸县期末）三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）
（1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB；
②若∠ACB=140°，求∠DCE ；
（2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠ACD=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∵∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°－90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA－∠ACE =90°－50°=40°；
（2）解：∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°－∠DCE，
又∵∠BCE=90°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE =90°+90°－∠DCE=180°－∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE=180°；
（3）解：存在一组边互相平行．
当∠ACE=45°时，∠ACE=∠E=45°，
此时AC∥BE，
当∠ACE=30°时，∠ACB=120°，
此时∠A+∠ACB=180°，
此时AD∥BC．
【知识点】角的大小比较；平行线的判定
【解析】【分析】（1）①由角的构成得∠ACE=∠ACD-∠DCE可求得∠ACE的度数，再由∠ACB=∠ACE+∠BCE可求解；
②由角的构成得∠ACE=∠ACB-∠BCE可求得∠ACE的度数，然后结合图形得∠DCE=∠ACD-∠ACE可求解；
（2）由∠ACE=∠ACD-∠DCE，∠ACB=∠BCE+∠ACE=180°－∠DCE，于是∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE可求解；
（3）存在一组边互相平行，结合题意根据同旁内角互补两直线平行及内错角相等两直线平行可求解.
1 / 1人教版数学七年级下课时精炼5.2.2平行线的判定
一、单选题
1．（2022七下·延庆期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（）
①∠1=∠4②∠2=∠3③∠5=∠B④∠DCB+∠B=180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
2．（2022七下·河南期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；③；④，其中能判断的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．如图所示，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=90°
C．∠3+∠4=90° D．∠2+∠3= 90°
4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度和方向可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
B．第一次向左拐40°．第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°
D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
5．在下列选项图中，若∠1=∠2，则能判断AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
二、填空题
7．（2022七下·南昌期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是 ．
三、解答题
8．（2021七下·铁西期末）如图，分别平分和，且，求证：．
9．（2021七下·伊通期末）已知：，点G在上，B、C、G三点在同一条直线上，且，，求证：．
10．（2022七下·大安期末）如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ▲ （ ）
∵∠ACB=∠FCD( ）
∴∠ECD=∠ACB( ）
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠▲（ ）
∴ （ ）．
11．（2022七下·平谷期末）已知：如图，CF平分∠ACM，∠1=72°，∠2=36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由．
12．（2022七下·宁远期末）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程：
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β（ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
13．（2022七下·浦北月考）如图，，，.问吗？为什么？
14．（2021七下·沈阳期末）如图，点E，F在分别在直线AB，CD上，∠AEF＝70°，EM平分∠AEF交CD于点P，点N在直线CD上，且PN＝PM，连接MN，若∠PMN＝72.5°，判断直线AB与CD是否平行？并说明理由．
15．（2021七下·海曙期末）已知：如图， ， ， 与 互补，求证：
四、综合题
16．（2022七下·化州期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
17．（2022七下·湖里期末）如图1，BD是△ABC的角平分线，作∠BDE = ∠ABD交AB于点E．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若AC⊥BD，点M为线段AC延长线上一点（不与点c重合），连接BM，若AB⊥BM，在图2中补全图形并证明：∠DBC = ∠BMA．
18．（2022七下·秦皇岛期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．
（1）求证：
（2）如果，求证：．
19．（2022七下·哈尔滨开学考）已知，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，F是AB上一点，FE⊥BC于E，∠ADG＝∠BFE
（1）如图1，求证：DG∥AB
（2）如图2，若∠BAC＝90°，请直接写出图中与∠CAD互余的角，不需要证明.
20．如图，已知∠1=∠2，∠BAC= 20°，∠ACF=80°．
（1）求∠2的度数；
（2）请说明FC∥AD的理由．
21．（2021七下·松原期末）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
22．（2022七下·攸县期末）三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）
（1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB；
②若∠ACB=140°，求∠DCE ；
（2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①符合题意；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②不符合题意；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③符合题意；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥CD；
③∵∠4=∠B，∴AB∥CD；
④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴∠CAB+∠ACD=2∠2+2∠1，
∵∠1=∠2
∴∠CAB+∠ACD=4∠1，不能判断AB∥CD，故A符合题意；
B、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1），
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠CAB+∠ACD=2×90°=180°，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，
∴∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1）=2（∠3+∠4），
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠CAB+∠ACD=2×90°=180°，
∴AB∥CD，故C不符合题意；
D、∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAB=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，
∴∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1）=2（∠3+∠2），
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠CAB+∠ACD=2×90°=180°，
∴AB∥CD，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠CAB=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，可得到∠CAB+∠ACD=2（∠2+∠1）=2（∠3+∠2）=2（∠3+∠4），再根据各选项中的条件，可得到不能判定AB∥CD的条件.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴AB与CD不平行；故A不符合题意；
B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴AB与CD平行；故B符合题意；
C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴∠1≠∠2，
∴AB不平行CD；故C不符合题意；
D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠3＝140°，
∴∠1≠∠3，
∴AB与CD不平行；故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，可知两次拐弯后的方向是平行线，分别画出图形，再利用平行线的判定定理分别进行判断，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、图形中的∠1=∠2，不能判断AB∥CD，故A不符合题意；
B、图形中的∠1=∠2，不能判断AB∥CD，故B不符合题意；
C、图形中的∠1=∠2，不能判断AB∥CD，故C不符合题意；
D、∵图形中的∠1=∠2，
∴AB∥CD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定定理，必须是两条平行线被第三条直线所截，可排除B，C选项；再根据同位角，内错角的定义，可得答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
7．【答案】②③④
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，故①不符合题意；
当，∠2=90°-∠1=45°，∠3=90°-∠2=45°，且∠B=45°，
因此∠B=∠3，
∴，故②符合题意；
当时，则∠1=90°-∠2=60°，且∠E=60°，
因此∠1=∠E，
∴，故③符合题意；
当时，则∠3+∠D=60°+30°=90°，
因此，故④符合题意，
故答案为：②③④．
【分析】利用平行线的判定方法和垂直求解即可。
8．【答案】证明：分别平分，
，
， ，
， ，
．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再结合可得，又因为，所以，从而得到。
9．【答案】证明：，，、、三点在同一条直线上，
，
，
又，
．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据可得CD//AB，再结合可得。
10．【答案】证明：∵CD平分∠ECF
∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)
∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)
∴∠ECD∠ACB(等量代换)
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠ECD( 等量代换)
∴(同位角相等，两直线平行) ．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用角平分线的定义，平行线的判定方法证明即可。
11．【答案】解：CM∥DN
∵CF平分∠ACM
∴∠ACM=2∠1
∵∠1=72°
∴∠ACM=2∠1=144°
∴∠BCM=180°-144°=36°
∵∠2=36°，
∴∠2 =∠BCM．
∴CM∥DN
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠ACM=2∠1，则∠ACM=2∠1=144°，∠BCM=180°-144°=36°，可得∠2 =∠BCM，则CM∥DN。
12．【答案】解： BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，则∠ABD+∠BDC=2(∠α+∠β)，结合已知条件可得∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，进行证明.
13．【答案】解：平行，理由如下：∵∠ACD=360°-90°-136°=134°，∠BAC=180°-46°=134°
∴ ∠ACD=∠BAC
∴（内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】根据周角的定义可得∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=134°，根据邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠BAF=134°，则∠ACD=∠BAC，然后根据内错角相等，两直线平行进行证明.
14．【答案】解： AB//CD，
理由：∵PN＝PM，∠PMN＝72.5°，
∴∠PNM＝∠PMN＝72.5°，
∴∠MPN＝35°，
∴∠EPF＝∠MPN＝35°，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠AEF＝35°，
∴∠AEM＝∠EPF，
∴AB//CD．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】先利用等边对等角的性质和三角形的内角和求出∠MPN＝35°，再利用角平分线的定义可得∠AEM＝∠AEF＝35°，因此∠AEM＝∠EPF，从而得到AB//CD。
15．【答案】证明：
与 互补
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】两条垂直线可以推出DC和FH平行，可以得到，找到一对内错角相等从而证明题目.
16．【答案】（1）解：∵∠A=78°，∠A=∠D，∴∠D=78°，∵∠C=47°，∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°，∴∠AEB=∠CFD，∵∠A=∠D，∴∠B=∠C，∴AB∥CD．
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D=78°， 再计算求解即可；
（2）先求出 ∠AEB=∠CFD， 再利用平行线的判定方法证明即可。
17．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵∠BDE=∠ABD，
∴∠BDE=∠DBC，
∴EDBC；
（2）解：补全图形如图所示，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBM+∠BMA=90°，
∵AB⊥BM，
∴∠ABM=90°，即∠ABD+∠DBM=∠ABM=90°，
∴∠ABD=∠BMA，
∴∠DBC=∠BMA．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，结合已知可得∠BDE=∠DBC，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
（2）由题意补全图形；由角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，由垂线定义可得∠BDC=∠ABM=90°，由直角三角形两锐角互余可得 ∠DBM+∠BMA=90°，由直角的构成可得∠ABD+∠DBM=∠ABM=90°，根据同角的余角相等可得∠ABD=∠BMA，然后由等量代换可求解.
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据可得CD//EF；
（2）根据，再结合可得，即可得到。
19．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，FE⊥BC
∴∠DAB＝∠FEB＝90°
∴AD∥EF
∴∠BFE＝∠BAD
∵∠ADG＝∠BFE
∴∠BAD＝∠ADG
∴DG∥AB
（2）解：∠BAD，∠BFE，∠ADG，∠C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据∠DAB＝∠FEB＝90°，可得AD∥EF，所以∠BFE＝∠BAD，结合∠ADG＝∠BFE可得∠BAD＝∠ADG，因此DG∥AB；
（2）根据余角的定义求解即可。
20．【答案】（1）解：∵∠1=∠2，∠BAC=20°，
∴∠2=∠1= (180°-∠BAC)= ×(180°- 20°)= 80°．
（2）解：由(1)得∠2=80°，
又∠ACF=80°，
∴∠2=∠ACF，
∴FC∥AD(内错角相等，两直线平行)．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据平角的定义可证得∠2=∠1= (180°-∠BAC)，代入计算可求出∠2的度数.
（2）利用（1）可证得∠2=∠ACF；利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
21．【答案】（1）解：BF∥DE．理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∵BF⊥AC
∴∠BFA=90°
∴∠AFG＝90°﹣30°＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）先证明GF//BC可得∠1=∠3，再结合∠1+∠2＝180°，可得∠3+∠2＝180°，所以BF//DE；
（2）先求出∠1＝30°，再结合∠BFA=90°，利用角的运算可得∠AFG＝90°﹣30°＝60°。
22．【答案】（1）解：①∵∠ACD=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∵∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°－90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA－∠ACE =90°－50°=40°；
（2）解：∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°－∠DCE，
又∵∠BCE=90°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE =90°+90°－∠DCE=180°－∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE=180°；
（3）解：存在一组边互相平行．
当∠ACE=45°时，∠ACE=∠E=45°，
此时AC∥BE，
当∠ACE=30°时，∠ACB=120°，
此时∠A+∠ACB=180°，
此时AD∥BC．
【知识点】角的大小比较；平行线的判定
【解析】【分析】（1）①由角的构成得∠ACE=∠ACD-∠DCE可求得∠ACE的度数，再由∠ACB=∠ACE+∠BCE可求解；
②由角的构成得∠ACE=∠ACB-∠BCE可求得∠ACE的度数，然后结合图形得∠DCE=∠ACD-∠ACE可求解；
（2）由∠ACE=∠ACD-∠DCE，∠ACB=∠BCE+∠ACE=180°－∠DCE，于是∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE可求解；
（3）存在一组边互相平行，结合题意根据同旁内角互补两直线平行及内错角相等两直线平行可求解.
1 / 1
