【精品解析】人教版数学七年级下课时精炼5.3.1平行线的性质

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名称 【精品解析】人教版数学七年级下课时精炼5.3.1平行线的性质
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2022-11-02 15:24:35

文档简介

人教版数学七年级下课时精炼5.3.1平行线的性质
一、单选题
1.(2022七下·迁安期末)如图,将一副三角板的直角顶点重合,且使,则的度数是(  )
A. B. C. D.
2.(2022七下·黄山期末)如图所示,,,若,则的度数为(  )
A.100° B.110° C.120° D.130°
二、填空题
3.(2022七下·东港期末)如图,,与互补,当,时,的度数为   .
4.(2022七下·顺平期末)如图,AB与CE的关系是   ,此时若∠3=30°,则∠B=   °.
5.(2022七下·双城期末)如图,已知AB∥EG,BC∥DE,CD∥EF,则x、y、z三者之间的关系是   .
三、解答题
6.(2022七下·寻乌期末)如图,已知,.求证:.
7.(2022七下·陆丰期末)如图,,.求证:.
证明:∵( ),( ),
∴( ),∴( ),
∴( ),
∵( ),
∴( ),
∴( ).
8.(2022七下·辛集期末)如图,点P为∠AOB的角平分线OC上的一点,过点P作PM∥OB交OA于点M,过点P作PN⊥OB于点N.当∠AOB=60°时,求∠OPN的度数.
解:∵PN⊥OB于点N,
∴∠PNB= ▲ °(  )(填推理的依据).
∵PM∥OB,
∴∠MPN=∠PNB=90°,
∠POB= ▲ (  )(填推理的依据).
∵OP平分∠AOB,且∠AOB=60°,
∴∠POB=∠AOB=30°(角的平分线的定义).
∴∠MPO= ▲ °.
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN,
∴∠OPN= ▲ °.
9.(2022七下·馆陶期末)请把下列说理过程补充完整,并在括号内填上相应的根据.
如图,已知,,
请对说明理由.
理由:∵(已知)
(  )
∴(  )
∴ ▲ ▲ (  ).
∴(  ).
∵(已知)
∴(  )
∴(  )
∴(等量代换)
10.(2022七下·任丘期末)如图所示,在△ABC中,E,G分别是BC,AC上的点,D,F是AB上的点,已知EF⊥AB,垂足为F,CD⊥AB,垂足为D,∠1=∠2, 试判断∠AGD和∠ACB是否相等,为什么?
11.(2022七下·石城期末)完成下列证明过程,并在括号内填上依据.
如图,点E在上,点在上,,.求证:ABCD.
证明:(已知),(   ),
▲ (等量代换),
▲ 同位角相等,两直线平行,
C(   ).
又(已知),
(   ),
(   ).
12.(2022七下·无为期末)请将下列证明过程补充完整:
已知:如图,点P在CD上,已知,.
求证:
证明:∵(已知)
∴▲ // ▲ (  )
∴ ▲ (  )
又∵(已知)
∴ ▲
即 ▲ (等式的性质)
∴//(内错角相等,两直线平行)
∴(  )
四、综合题
13.(2022七下·惠东期末)如图①,已知AD∥BC,∠B=∠D=120°.
(1)请问:AB与CD平行吗?为什么?
(2)若点E、F在线段CD上,且满足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如图②,求∠FAC的度数.
(3)若点E在直线CD上,且满足∠EAC=∠BAC,求∠ACD:∠AED的值(请自己画出符合题意图形,并解答).
14.(2022七下·巴彦期末)如图1,已知AB//CD,点G在上,点H在上,连接、,,.
(1)求证:AB//EF;
(2)如图2,若,延长交的延长线于点M,请直接写出图2中所有与互余的角.
15.(2022七下·大安期末)如图:
(1)如图1,∠CEF=90°,点B在射线EF上,若∠ABF=50°,∠C=40° ,试判断AB、CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠CEF=120° ,点B在射线EF上,且.则∠ABE与∠C的数量关系为:   
16.(2022七下·石城期末)如图,已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,∠EFB=∠B,FH⊥FB.
(1)求证:FH平分∠GFD.
(2)若∠B=20°,求∠DFH的度数;
17.(2022七下·浑南期末)如图,,.
(1)请按要求填空并说明;
解:因为,
所以,(根据: )
又因为,
所以▲ ,
所以,
∴(根据: );
(2)若平分,于点,,请直接写出的度数.
18.(2022七下·江源期末)如图,,,,,点P是上的一点.
(1)求的度数;
(2)若,请判断与是否平行.
19.(2022七下·容县期末)如图,平分交于点,点在的延长线上,点在线段上,与相交于点,.
(1) 与平行吗?请说明理由;
(2)若点在的延长线上,且,,求的度数.
20.(2022七下·承德期末)在一次数学综合实践活动课上,同学们进行了如下探究活动:将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上,旋转三角板.
(1)如图1,在边上任取一点P(不同于点G,E),过点P作,若,求的度数;
(2)如图2,过点E作,请探索并说明与之间的数量关系;
(3)将三角板绕顶点G转动,过点E作,并保持点E在直线的上方.在旋转过程中,探索与之间的数量关系,并说明理由.
21.(2022七下·宜春期末)问题:已知线段AB∥CD,在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上),连接PA、PC,试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系.
(1)端点A、C同向:
如图1,点P在直线AC右侧时,∠APC﹣(∠A+∠C)=   度;
如图2,点P在直线AC左侧时,∠APC+(∠A+∠C)=   度;
(2)端点A、C反向:
如图3,点P在直线AC右侧时,∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系?写出结论并证明;
如图4,点P在直线AC左侧时,∠APC﹣(∠A﹣∠C)= ▲ 度.
22.(2022七下·石城期末)已知:如图,直线,点C是PQ,MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.
(1)若∠1与∠2都是锐角,如图1,请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
(2)若小明把一块三角板(∠A=30°,∠C=90°)如图2放置,点D,E,F是三角板的边与平行线的交点,若∠AEN=∠A,求∠BDF的度数.
(3)将图2中的三角板进行适当转动,如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间,点G在线段CD上,连结EG,且有∠CEG=∠CEM,给出下列两个结论:
①的值不变;
②∠GEN-∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的,你认为哪个是正确的?讲求出不变的值是多少.
23.(2022七下·大连期末)如图1,点E、F分别在直线AB、CD上,点P为AB、CD之间的一点,且.
(1)求证:;
(2)如图2,点G在射线FC上,PG平分,,探究与之间的数量关系.并说明理由;
(3)如图3,,.直线HQ分别交FN,EM于H、Q两点,若,求的度数.
24.(2022七下·抚远期末)如图①,,点A,C分别在射线FE和FH上,.
(1)若,则的度数为   ;
(2)小明同学发现,无论如何变化,的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:如图②,过点A作,交CD于点M.请你根据小明同学提供的辅助线,确定该定值,并说明理由;
(3)如图③,把“”改为“”,其他条件保持不变,猜想与的数量关系,并说明理由.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】如图:
故答案为:A
【分析】利用平行线的性质可得,再利用三角形的内角和求出即可。
2.【答案】C
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】解:如图,过E作,



∵,
∵,

故答案为:C
【分析】先求出,再求出,最后计算求解即可。
3.【答案】16°
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:∵∠ABD=∠EFD,
∴AB∥EF,
∵∠FEC与∠ECD互补,∠FEC=150°,
∴EF∥CD,
∴∠ECD=180° 150°=30°,AB∥CD,
∴∠BCD=∠ABC,
∵∠ABC=46°,
∴∠BCD=46°,
∴∠BCE=∠BCD ∠ECD=46° 30°=16°.
故答案为:16°.
【分析】先证明AB∥EF,EF∥CD,求出∠BCD=∠ABC,∠ECD=180° 150°=30°,再利用角的运算可得∠BCE=∠BCD ∠ECD=46° 30°=16°。
4.【答案】平行(或AB//CD);30
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】,、的位置关系为内错角,
(内错角相等,两直线平行)
(两直线平行,同位角相等)
故答案为:平行(或);30.
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
5.【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示,延长AB交DE于H,
∵AB∥EG,
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE,
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF,
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为:z+y=x.
【分析】延长AB交DE于H,根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x,∠DEF=∠D=z,根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
6.【答案】证明:∵,,
∴∠2=∠DFE,
∴BD∥EF,
∴∠BDE+∠3=180°,
∵,
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先求出∠2=∠DFE,再利用平行线的性质和等量代换可得。
7.【答案】证明:∵(已知),
(平角的定义),
∴(同角的补角相等),
∴(内错角相等,两直线平行),
∴(两直线平行,内错角相等),
∵(已知),
∴(等量代换),
∴(同位角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
8.【答案】解:∵PN⊥OB于点N,
∴∠PNB=90°(垂直的定义).
∵PM∥OB,
∴∠MPN=∠PNB=90°,
∠POB=∠MPO(两直线平行,内错角相等).
∵OP平分∠AOB,且∠AOB=60°,
∴∠POB=∠AOB=30°(角的平分线的定义).
∴∠MPO=30°.
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN,
∴∠OPN=60°.
【知识点】角的运算;平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB=∠AOB=30° ,利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°,∠POB=∠MPO,再角的运算求解即可。
9.【答案】解:理由:∵∠1+∠EFG = 180° (已知),
∠2 +∠EFG = 180° (邻补角的定义),
∴∠1 =∠2(同角的补角相等),
∴AB// EF(内错角相等,两直线平行),
∴∠DEF=∠ADE(两直线平行,内错角相等)
∵∠DEC+∠C= 180°(已知),
∴DE// BC(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等)
∴∠DEF=∠B(等量代换),
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
10.【答案】解:∠AGD=∠ACB.
理由如下:
因为EF⊥AB,CD⊥AB(已知),所以∠EFB=∠CDB=90°(垂直的定义),
所以EF∥CD(同位角相等,两直线平行),所以∠1=∠ECD(两直线平行,同位角相等).又因为∠1=∠2(已知),所以∠ECD=∠2(等量代换),所以GD∥CB(内错角相等,两直线平行),所以∠AGD=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
11.【答案】证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等),∴∠2=∠4(等量代换),∴EC∥BF(同位角相等,两直线平行),∴∠3=∠C(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质和判定方法求解即可。
12.【答案】证明:∵(已知)
∴(同旁内角互补,两直线平行)
∴(两直线平行,内错角相等)
又∵(已知)

即(等式的性质)
∴(内错角相等,两直线平行)
∴(两直线平行,内错角相等);
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
13.【答案】(1)解:平行.
如图①.
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.
又∵∠B=∠D=120°,∴∠D+∠A=180°,∴AB∥CD;
(2)解:如图②.
∵AD∥BC,∠B=∠D=120°,∴∠DAB=60°.
∵AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,∴∠EAC=∠BAE,∠EAF=∠DAE,
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=(∠BAE+∠DAE)=∠DAB=30°;
(3)解:①如图3,当点E在线段CD上时,
由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.
又∵∠EAC=∠BAC,∴∠ACD:∠AED=2:3;
②如图4,当点E在DC的延长线上时,
由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.
又∵∠EAC=∠BAC,∴∠ACD:∠AED=2:1.
综上所述:∠ACD:∠AED=2:3或2:1.
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)利用平行线的判定与性质求解即可;
(2)先求出 ∠DAB=60°,再求出∠EAC=∠BAE,∠EAF=∠DAE, 最后计算求解即可;
(3)分类讨论,结合图形,利用平行线的性质求解即可。
14.【答案】(1)证明:∵AB//CD,∴∠AGC=∠GCD,∵CG⊥CH,∴∠GCD+∠DCH=90°,∵∠CHE+∠CGA=90°,∴∠DCH=∠CHE,∴CD//EF.
(2)解:与∠AGC互余的角有∠ACG,∠DCH,∠M,∠CHE.
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:(2)∵∠BAE=90°,
∴∠ACG是∠AGC的余角,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=90°,∠M=∠DCH,
∵CG⊥CH,
∴∠ACG=∠DCH,
∵AB∥EF,
∴∠M=∠CHE,
∴与∠AGC互余的角有∠ACG,∠DCH,∠M,∠CHE.
【分析】(1)由平行线的性质可得∠AGC=∠GCD,由垂直的定义可得∠GCD+∠DCH=90° ,结合 ∠CHE+∠CGA=90° ,根据余角的性质可得∠DCH=∠CHE,根据平行线的判定即证;
(2)根据余角的定义进行求解即可.
15.【答案】(1)解:理由:如图,过点E作,
∴∠ABF=∠GEF=50°,∵∠CEF=90°,,∵∠C=40°,∴∠GEC=∠C,∴EG∥CD,∴;
(2)∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:(2)过点E作EH∥AB,
则∠ABE+∠HEF=180°①,∵AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠C=∠CEH,∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°,∴∠C+∠HEF=120°②,①-②得,∠ABE-∠C=60°.故答案为:∠ABE-∠C=60°.
【分析】(1)先求出 ∠ABF=∠GEF=50°, 再求出 ∠GEC=∠C, 最后证明求解即可;
(2)利用平行线的判定与性质计算求解即可。
16.【答案】(1)证明:∴FH平分
(2)解:
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和角的运算求出求出即可得到FH平分∠GFD;
(2)利用平行线的性质可得,再利用角的运算可得。
17.【答案】(1)解:因为,
所以,(根据:两直线平行,同旁内角互补)
又因为,
所以,
所以,
∴(根据:两直线平行,同位角相等);
(2)
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解:(2)由(1)可知,
∵平分,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
【分析】(1)利用平行线的性质和判定方法求解即可;
(2)先利用角平分线的定义可得,再求出,然后根据,可得。
18.【答案】(1)解:∵∠A=58°,∠D=122°,∴∠A+∠D=180°,∴ABCD,∴∠DFE=∠1,(两直线平行,同位角相等)∵∠1=3∠2,∠2=25°,∴∠DFE=∠1=75°;
(2)解:CEPF 理由如下:∵∠DFE=75°,∴∠BFC=75°(对顶角相等),∵∠BFP=50°,∴∠PFC=75°-50°=25°,∵∠2=25°,∴∠PFC=∠2,∴CEPF.
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)先求出 ∠A+∠D=180°, 再求出 ABCD, 最后根据平行线的性质求解即可;
(2)根据平行线的判定方法证明即可。
19.【答案】(1)解: .
理由是:∵ ,

∴ ,
∴ .
(2)解:∵ 平分 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
由(1)知 ,
∴ , ,
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质;邻补角;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)利用补角的性质可证得∠ADE=∠CEG,再利用同位角相等,两直线平行,可证得结论.
(2)利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠CAD,利用内错角相等,两直线平行,可证得DH∥AC,利用平行线的性质可推出∠H=∠CGH,∠DAC=∠CGH,由此可证得结论.
20.【答案】(1)解:∵,
∴,
∵,,
∴;
(2)解:,
理由:如图,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴;
(3)解:①如图1中,当点F在直线的上方时,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴;
②当点F在直线与直线之间时,过点F作,如下图:
由(2)可知:;
③当点F在直线的下方时,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴.
综上所述,①当点F在直线的上方时,;
②当点F在直线与直线之间时,;
③当点F在直线的下方时,.
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质可得,再结合,求出∠2的度数即可;
(2)过点F作FP//AB,利用平行线的性质可得,,再利用角的运算可得;
(3)分三种情况:①当点F在直线的上方时,过点F作,②当点F在直线与直线之间时,过点F作,③当点F在直线的下方时,过点F作,再分别求解即可。
21.【答案】(1)0;360
(2)解:,证明:过点P作,
,,,,,,;
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)如图:过点P作,
,,,,,,度,
故答案为:0;
如图:过点P作,
,,,,,,度,
故答案为:360;
(2)如图:过点P作,
,,,,,,,
故答案为:180.
【分析】(1)利用平行线的性质和角的运算求解即可;
(2)利用平行线的性质和判定方法求解即可。
22.【答案】(1)解:∠C=∠1+∠2.
理由:如图1,过C作CD∥PQ,
∵PQ∥MN,
∴CD∥MN,
∴∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2.
(2)解:∵∠AEN=∠A=30°,
∴∠MEC=30°,
由(1)可得,∠C=∠MEC+∠PDC=90°,
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°,
∴∠BDF=∠PDC=60°;
(3)解:结论①的值不变是正确的,
设∠CEG=∠CEM=x,则∠GEN=180°-2x,
由(1)可得,∠C=∠CEM+∠CDP,
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x,
∴∠BDF=90°-x,
∴==2(定值), 即的值不变,值为2.
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【分析】(1)过C作CD∥PQ,利用平行线的性质可得∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,再利用角的运算和等量代换可得∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2;
(2)先求出∠MEC=30°,再求出∠PDC=90°-∠MEC=60°,即可得到∠BDF=∠PDC=60°;
(3)设∠CEG=∠CEM=x,则∠GEN=180°-2x, 求出∠BDF=90°-x,再代入计算可得==2。
23.【答案】(1)证明:如图1,过P作.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴,
∵,
∴.
(2)解:.
证明:如图2,过P作.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵PG平分,
∴,
∴.
∵,,
∴.
∴.
∵.
∴,
∴.
(3)解:如图3,过P作,过H作,过Q作.
∵,
∴.
∵,,
∴设,则,,.
∵,
∴,.
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴.
∴.


∴.
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)过P作,先证明可得,再结合可得;
(2)过P作,利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得;
(3)过P作,过H作,过Q作,设,则,,,求出,结合可得,求出,再利用平行线的性质可得,,利用角的运算可得,即可得到。
24.【答案】(1)60°
(2)解:该定值为90°.理由如下:∵,,∴,.∵,∴.∴.∴.∴无论如何变化,的值始终为定值,且该定值为90°.
(3)解:.理由如下:过点A作,交CD于点N,如图所示,
∵,,∴,.∵,∴.∴.∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】(1)解:过点F作FG∥AB,如图所示,
∵FG∥AB,∠FAB=150°,∴∠AFG+∠FAB=180°,∴∠AFG=180° ∠FAB=180° 150°=30°,∵∠EFH=90°,∴∠CFG=∠EFH ∠AFG=90° 30°=60°,∵AB∥CD,∴FG∥CD,∴∠HCD=∠CFG=60°.故答案为:60°;
【分析】(1)过点F作FG∥AB,根据平行线的性质可得∠AFG=180° ∠FAB=30°,从而求出∠CFG=∠EFH ∠AFG=60°,由AB∥CD,FG∥AB,可得FG∥CD,根据平行线的性质可得∠HCD=∠CFG=60°;
(2)由,,根据平行线的性质可得, ,由AB∥CD可得,从而推出∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°,据此即可得解;
(3).理由:过点A作交CD于点N,利用平行线的性质可得∠FAN=180°-∠EFH=60°,∠HCD=∠ANC,由AB∥CD可得∠BAN=∠ANC,从而得出∠BAN=∠HCD,根据即可得解.
1 / 1人教版数学七年级下课时精炼5.3.1平行线的性质
一、单选题
1.(2022七下·迁安期末)如图,将一副三角板的直角顶点重合,且使,则的度数是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】如图:
故答案为:A
【分析】利用平行线的性质可得,再利用三角形的内角和求出即可。
2.(2022七下·黄山期末)如图所示,,,若,则的度数为(  )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【答案】C
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【解答】解:如图,过E作,



∵,
∵,

故答案为:C
【分析】先求出,再求出,最后计算求解即可。
二、填空题
3.(2022七下·东港期末)如图,,与互补,当,时,的度数为   .
【答案】16°
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:∵∠ABD=∠EFD,
∴AB∥EF,
∵∠FEC与∠ECD互补,∠FEC=150°,
∴EF∥CD,
∴∠ECD=180° 150°=30°,AB∥CD,
∴∠BCD=∠ABC,
∵∠ABC=46°,
∴∠BCD=46°,
∴∠BCE=∠BCD ∠ECD=46° 30°=16°.
故答案为:16°.
【分析】先证明AB∥EF,EF∥CD,求出∠BCD=∠ABC,∠ECD=180° 150°=30°,再利用角的运算可得∠BCE=∠BCD ∠ECD=46° 30°=16°。
4.(2022七下·顺平期末)如图,AB与CE的关系是   ,此时若∠3=30°,则∠B=   °.
【答案】平行(或AB//CD);30
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】,、的位置关系为内错角,
(内错角相等,两直线平行)
(两直线平行,同位角相等)
故答案为:平行(或);30.
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
5.(2022七下·双城期末)如图,已知AB∥EG,BC∥DE,CD∥EF,则x、y、z三者之间的关系是   .
【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示,延长AB交DE于H,
∵AB∥EG,
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE,
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF,
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为:z+y=x.
【分析】延长AB交DE于H,根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x,∠DEF=∠D=z,根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
三、解答题
6.(2022七下·寻乌期末)如图,已知,.求证:.
【答案】证明:∵,,
∴∠2=∠DFE,
∴BD∥EF,
∴∠BDE+∠3=180°,
∵,
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先求出∠2=∠DFE,再利用平行线的性质和等量代换可得。
7.(2022七下·陆丰期末)如图,,.求证:.
证明:∵( ),( ),
∴( ),∴( ),
∴( ),
∵( ),
∴( ),
∴( ).
【答案】证明:∵(已知),
(平角的定义),
∴(同角的补角相等),
∴(内错角相等,两直线平行),
∴(两直线平行,内错角相等),
∵(已知),
∴(等量代换),
∴(同位角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
8.(2022七下·辛集期末)如图,点P为∠AOB的角平分线OC上的一点,过点P作PM∥OB交OA于点M,过点P作PN⊥OB于点N.当∠AOB=60°时,求∠OPN的度数.
解:∵PN⊥OB于点N,
∴∠PNB= ▲ °(  )(填推理的依据).
∵PM∥OB,
∴∠MPN=∠PNB=90°,
∠POB= ▲ (  )(填推理的依据).
∵OP平分∠AOB,且∠AOB=60°,
∴∠POB=∠AOB=30°(角的平分线的定义).
∴∠MPO= ▲ °.
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN,
∴∠OPN= ▲ °.
【答案】解:∵PN⊥OB于点N,
∴∠PNB=90°(垂直的定义).
∵PM∥OB,
∴∠MPN=∠PNB=90°,
∠POB=∠MPO(两直线平行,内错角相等).
∵OP平分∠AOB,且∠AOB=60°,
∴∠POB=∠AOB=30°(角的平分线的定义).
∴∠MPO=30°.
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN,
∴∠OPN=60°.
【知识点】角的运算;平行线的性质;角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB=∠AOB=30° ,利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°,∠POB=∠MPO,再角的运算求解即可。
9.(2022七下·馆陶期末)请把下列说理过程补充完整,并在括号内填上相应的根据.
如图,已知,,
请对说明理由.
理由:∵(已知)
(  )
∴(  )
∴ ▲ ▲ (  ).
∴(  ).
∵(已知)
∴(  )
∴(  )
∴(等量代换)
【答案】解:理由:∵∠1+∠EFG = 180° (已知),
∠2 +∠EFG = 180° (邻补角的定义),
∴∠1 =∠2(同角的补角相等),
∴AB// EF(内错角相等,两直线平行),
∴∠DEF=∠ADE(两直线平行,内错角相等)
∵∠DEC+∠C= 180°(已知),
∴DE// BC(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等)
∴∠DEF=∠B(等量代换),
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
10.(2022七下·任丘期末)如图所示,在△ABC中,E,G分别是BC,AC上的点,D,F是AB上的点,已知EF⊥AB,垂足为F,CD⊥AB,垂足为D,∠1=∠2, 试判断∠AGD和∠ACB是否相等,为什么?
【答案】解:∠AGD=∠ACB.
理由如下:
因为EF⊥AB,CD⊥AB(已知),所以∠EFB=∠CDB=90°(垂直的定义),
所以EF∥CD(同位角相等,两直线平行),所以∠1=∠ECD(两直线平行,同位角相等).又因为∠1=∠2(已知),所以∠ECD=∠2(等量代换),所以GD∥CB(内错角相等,两直线平行),所以∠AGD=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
11.(2022七下·石城期末)完成下列证明过程,并在括号内填上依据.
如图,点E在上,点在上,,.求证:ABCD.
证明:(已知),(   ),
▲ (等量代换),
▲ 同位角相等,两直线平行,
C(   ).
又(已知),
(   ),
(   ).
【答案】证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等),∴∠2=∠4(等量代换),∴EC∥BF(同位角相等,两直线平行),∴∠3=∠C(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质和判定方法求解即可。
12.(2022七下·无为期末)请将下列证明过程补充完整:
已知:如图,点P在CD上,已知,.
求证:
证明:∵(已知)
∴▲ // ▲ (  )
∴ ▲ (  )
又∵(已知)
∴ ▲
即 ▲ (等式的性质)
∴//(内错角相等,两直线平行)
∴(  )
【答案】证明:∵(已知)
∴(同旁内角互补,两直线平行)
∴(两直线平行,内错角相等)
又∵(已知)

即(等式的性质)
∴(内错角相等,两直线平行)
∴(两直线平行,内错角相等);
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
四、综合题
13.(2022七下·惠东期末)如图①,已知AD∥BC,∠B=∠D=120°.
(1)请问:AB与CD平行吗?为什么?
(2)若点E、F在线段CD上,且满足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如图②,求∠FAC的度数.
(3)若点E在直线CD上,且满足∠EAC=∠BAC,求∠ACD:∠AED的值(请自己画出符合题意图形,并解答).
【答案】(1)解:平行.
如图①.
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.
又∵∠B=∠D=120°,∴∠D+∠A=180°,∴AB∥CD;
(2)解:如图②.
∵AD∥BC,∠B=∠D=120°,∴∠DAB=60°.
∵AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,∴∠EAC=∠BAE,∠EAF=∠DAE,
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=(∠BAE+∠DAE)=∠DAB=30°;
(3)解:①如图3,当点E在线段CD上时,
由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.
又∵∠EAC=∠BAC,∴∠ACD:∠AED=2:3;
②如图4,当点E在DC的延长线上时,
由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.
又∵∠EAC=∠BAC,∴∠ACD:∠AED=2:1.
综上所述:∠ACD:∠AED=2:3或2:1.
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)利用平行线的判定与性质求解即可;
(2)先求出 ∠DAB=60°,再求出∠EAC=∠BAE,∠EAF=∠DAE, 最后计算求解即可;
(3)分类讨论,结合图形,利用平行线的性质求解即可。
14.(2022七下·巴彦期末)如图1,已知AB//CD,点G在上,点H在上,连接、,,.
(1)求证:AB//EF;
(2)如图2,若,延长交的延长线于点M,请直接写出图2中所有与互余的角.
【答案】(1)证明:∵AB//CD,∴∠AGC=∠GCD,∵CG⊥CH,∴∠GCD+∠DCH=90°,∵∠CHE+∠CGA=90°,∴∠DCH=∠CHE,∴CD//EF.
(2)解:与∠AGC互余的角有∠ACG,∠DCH,∠M,∠CHE.
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:(2)∵∠BAE=90°,
∴∠ACG是∠AGC的余角,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=90°,∠M=∠DCH,
∵CG⊥CH,
∴∠ACG=∠DCH,
∵AB∥EF,
∴∠M=∠CHE,
∴与∠AGC互余的角有∠ACG,∠DCH,∠M,∠CHE.
【分析】(1)由平行线的性质可得∠AGC=∠GCD,由垂直的定义可得∠GCD+∠DCH=90° ,结合 ∠CHE+∠CGA=90° ,根据余角的性质可得∠DCH=∠CHE,根据平行线的判定即证;
(2)根据余角的定义进行求解即可.
15.(2022七下·大安期末)如图:
(1)如图1,∠CEF=90°,点B在射线EF上,若∠ABF=50°,∠C=40° ,试判断AB、CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠CEF=120° ,点B在射线EF上,且.则∠ABE与∠C的数量关系为:   
【答案】(1)解:理由:如图,过点E作,
∴∠ABF=∠GEF=50°,∵∠CEF=90°,,∵∠C=40°,∴∠GEC=∠C,∴EG∥CD,∴;
(2)∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:(2)过点E作EH∥AB,
则∠ABE+∠HEF=180°①,∵AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠C=∠CEH,∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°,∴∠C+∠HEF=120°②,①-②得,∠ABE-∠C=60°.故答案为:∠ABE-∠C=60°.
【分析】(1)先求出 ∠ABF=∠GEF=50°, 再求出 ∠GEC=∠C, 最后证明求解即可;
(2)利用平行线的判定与性质计算求解即可。
16.(2022七下·石城期末)如图,已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,∠EFB=∠B,FH⊥FB.
(1)求证:FH平分∠GFD.
(2)若∠B=20°,求∠DFH的度数;
【答案】(1)证明:∴FH平分
(2)解:
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和角的运算求出求出即可得到FH平分∠GFD;
(2)利用平行线的性质可得,再利用角的运算可得。
17.(2022七下·浑南期末)如图,,.
(1)请按要求填空并说明;
解:因为,
所以,(根据: )
又因为,
所以▲ ,
所以,
∴(根据: );
(2)若平分,于点,,请直接写出的度数.
【答案】(1)解:因为,
所以,(根据:两直线平行,同旁内角互补)
又因为,
所以,
所以,
∴(根据:两直线平行,同位角相等);
(2)
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解:(2)由(1)可知,
∵平分,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
【分析】(1)利用平行线的性质和判定方法求解即可;
(2)先利用角平分线的定义可得,再求出,然后根据,可得。
18.(2022七下·江源期末)如图,,,,,点P是上的一点.
(1)求的度数;
(2)若,请判断与是否平行.
【答案】(1)解:∵∠A=58°,∠D=122°,∴∠A+∠D=180°,∴ABCD,∴∠DFE=∠1,(两直线平行,同位角相等)∵∠1=3∠2,∠2=25°,∴∠DFE=∠1=75°;
(2)解:CEPF 理由如下:∵∠DFE=75°,∴∠BFC=75°(对顶角相等),∵∠BFP=50°,∴∠PFC=75°-50°=25°,∵∠2=25°,∴∠PFC=∠2,∴CEPF.
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)先求出 ∠A+∠D=180°, 再求出 ABCD, 最后根据平行线的性质求解即可;
(2)根据平行线的判定方法证明即可。
19.(2022七下·容县期末)如图,平分交于点,点在的延长线上,点在线段上,与相交于点,.
(1) 与平行吗?请说明理由;
(2)若点在的延长线上,且,,求的度数.
【答案】(1)解: .
理由是:∵ ,

∴ ,
∴ .
(2)解:∵ 平分 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
由(1)知 ,
∴ , ,
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质;邻补角;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)利用补角的性质可证得∠ADE=∠CEG,再利用同位角相等,两直线平行,可证得结论.
(2)利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠CAD,利用内错角相等,两直线平行,可证得DH∥AC,利用平行线的性质可推出∠H=∠CGH,∠DAC=∠CGH,由此可证得结论.
20.(2022七下·承德期末)在一次数学综合实践活动课上,同学们进行了如下探究活动:将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上,旋转三角板.
(1)如图1,在边上任取一点P(不同于点G,E),过点P作,若,求的度数;
(2)如图2,过点E作,请探索并说明与之间的数量关系;
(3)将三角板绕顶点G转动,过点E作,并保持点E在直线的上方.在旋转过程中,探索与之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:∵,
∴,
∵,,
∴;
(2)解:,
理由:如图,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴;
(3)解:①如图1中,当点F在直线的上方时,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴;
②当点F在直线与直线之间时,过点F作,如下图:
由(2)可知:;
③当点F在直线的下方时,过点F作,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴.
综上所述,①当点F在直线的上方时,;
②当点F在直线与直线之间时,;
③当点F在直线的下方时,.
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质可得,再结合,求出∠2的度数即可;
(2)过点F作FP//AB,利用平行线的性质可得,,再利用角的运算可得;
(3)分三种情况:①当点F在直线的上方时,过点F作,②当点F在直线与直线之间时,过点F作,③当点F在直线的下方时,过点F作,再分别求解即可。
21.(2022七下·宜春期末)问题:已知线段AB∥CD,在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上),连接PA、PC,试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系.
(1)端点A、C同向:
如图1,点P在直线AC右侧时,∠APC﹣(∠A+∠C)=   度;
如图2,点P在直线AC左侧时,∠APC+(∠A+∠C)=   度;
(2)端点A、C反向:
如图3,点P在直线AC右侧时,∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系?写出结论并证明;
如图4,点P在直线AC左侧时,∠APC﹣(∠A﹣∠C)= ▲ 度.
【答案】(1)0;360
(2)解:,证明:过点P作,
,,,,,,;
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)如图:过点P作,
,,,,,,度,
故答案为:0;
如图:过点P作,
,,,,,,度,
故答案为:360;
(2)如图:过点P作,
,,,,,,,
故答案为:180.
【分析】(1)利用平行线的性质和角的运算求解即可;
(2)利用平行线的性质和判定方法求解即可。
22.(2022七下·石城期末)已知:如图,直线,点C是PQ,MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.
(1)若∠1与∠2都是锐角,如图1,请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
(2)若小明把一块三角板(∠A=30°,∠C=90°)如图2放置,点D,E,F是三角板的边与平行线的交点,若∠AEN=∠A,求∠BDF的度数.
(3)将图2中的三角板进行适当转动,如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间,点G在线段CD上,连结EG,且有∠CEG=∠CEM,给出下列两个结论:
①的值不变;
②∠GEN-∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的,你认为哪个是正确的?讲求出不变的值是多少.
【答案】(1)解:∠C=∠1+∠2.
理由:如图1,过C作CD∥PQ,
∵PQ∥MN,
∴CD∥MN,
∴∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2.
(2)解:∵∠AEN=∠A=30°,
∴∠MEC=30°,
由(1)可得,∠C=∠MEC+∠PDC=90°,
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°,
∴∠BDF=∠PDC=60°;
(3)解:结论①的值不变是正确的,
设∠CEG=∠CEM=x,则∠GEN=180°-2x,
由(1)可得,∠C=∠CEM+∠CDP,
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x,
∴∠BDF=90°-x,
∴==2(定值), 即的值不变,值为2.
【知识点】角的运算;平行线的性质
【解析】【分析】(1)过C作CD∥PQ,利用平行线的性质可得∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,再利用角的运算和等量代换可得∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2;
(2)先求出∠MEC=30°,再求出∠PDC=90°-∠MEC=60°,即可得到∠BDF=∠PDC=60°;
(3)设∠CEG=∠CEM=x,则∠GEN=180°-2x, 求出∠BDF=90°-x,再代入计算可得==2。
23.(2022七下·大连期末)如图1,点E、F分别在直线AB、CD上,点P为AB、CD之间的一点,且.
(1)求证:;
(2)如图2,点G在射线FC上,PG平分,,探究与之间的数量关系.并说明理由;
(3)如图3,,.直线HQ分别交FN,EM于H、Q两点,若,求的度数.
【答案】(1)证明:如图1,过P作.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴,
∵,
∴.
(2)解:.
证明:如图2,过P作.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵PG平分,
∴,
∴.
∵,,
∴.
∴.
∵.
∴,
∴.
(3)解:如图3,过P作,过H作,过Q作.
∵,
∴.
∵,,
∴设,则,,.
∵,
∴,.
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴.
∴.


∴.
【知识点】角的运算;平行线的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)过P作,先证明可得,再结合可得;
(2)过P作,利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得;
(3)过P作,过H作,过Q作,设,则,,,求出,结合可得,求出,再利用平行线的性质可得,,利用角的运算可得,即可得到。
24.(2022七下·抚远期末)如图①,,点A,C分别在射线FE和FH上,.
(1)若,则的度数为   ;
(2)小明同学发现,无论如何变化,的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:如图②,过点A作,交CD于点M.请你根据小明同学提供的辅助线,确定该定值,并说明理由;
(3)如图③,把“”改为“”,其他条件保持不变,猜想与的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)60°
(2)解:该定值为90°.理由如下:∵,,∴,.∵,∴.∴.∴.∴无论如何变化,的值始终为定值,且该定值为90°.
(3)解:.理由如下:过点A作,交CD于点N,如图所示,
∵,,∴,.∵,∴.∴.∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】(1)解:过点F作FG∥AB,如图所示,
∵FG∥AB,∠FAB=150°,∴∠AFG+∠FAB=180°,∴∠AFG=180° ∠FAB=180° 150°=30°,∵∠EFH=90°,∴∠CFG=∠EFH ∠AFG=90° 30°=60°,∵AB∥CD,∴FG∥CD,∴∠HCD=∠CFG=60°.故答案为:60°;
【分析】(1)过点F作FG∥AB,根据平行线的性质可得∠AFG=180° ∠FAB=30°,从而求出∠CFG=∠EFH ∠AFG=60°,由AB∥CD,FG∥AB,可得FG∥CD,根据平行线的性质可得∠HCD=∠CFG=60°;
(2)由,,根据平行线的性质可得, ,由AB∥CD可得,从而推出∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°,据此即可得解;
(3).理由:过点A作交CD于点N,利用平行线的性质可得∠FAN=180°-∠EFH=60°,∠HCD=∠ANC,由AB∥CD可得∠BAN=∠ANC,从而得出∠BAN=∠HCD,根据即可得解.
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