课件22张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一章 计数原理学习导航1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法．
做一做
1.若某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，有________种不同选法．
答案：50m＋n2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法．
想一想
分步乘法计数原理中的“各步方法”能单独“完成这件事”吗？
提示：不能．m×n做一做
2.已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4,5}，从集合A和集合B中分别取一个元素作为平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，可确定________个不同点．
答案：6题型一 分类加法计数原理 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【解】 法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个．由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,所以按分类加法计数原理,满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
【名师点评】 利用分类加法计数原理时要注意：
(1)要准确理解题意,确定分类的标准．
(2)分类时要做到“不重不漏”,即类与类之间要保证相互间的独立性．互动探究
1．本例条件不变,问个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
解：当个位数字为0,1,2,3,4,5,6,7,8时,符合条件的两位数分别有9,8,7,6,5,4,3,2,1个,根据加法计数原理共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(个)． 从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
【解】 (1)三位数有三个数位,
故可分三个步骤完成：
第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法；
第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法；
第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法．依据分步乘法计数原理,共有4×3×2＝24个满足要求的三位数.题型二 分步乘法计数原理(2)分三个步骤完成：
第1步,排个位,从2,4中选1个,有2种方法；
第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种方法；
第3步,排百位,只能从余下的2个数字中选1个,有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．
【名师点评】 利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计“分步”的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内容是什么,各步的方法、种数是多少,最后用分步乘法计数原理求解．跟踪训练
2．某商店现有甲种型号电视机10台,乙种型号电视机8台,丙种型号电视机12台,从这三种型号的电视机中各选1台检验,有多少种不同的选法？
解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：
第一步,从甲种型号中选1台,有10种不同的选法；
第二步,从乙种型号中选1台,有8种不同的选法；
第三步,从丙种型号中选1台,有12种不同的选法．
根据分步乘法计数原理,不同的选法共有10×8×12＝960种． 现有高一学生50人,高二学生42人,高三学生30人,组成冬令营．
(1)若从中选1人作总负责人,共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人,要求这两人要来自不同的年级,则有多少种选法？
【解】 (1)从高一选1人作总负责人有50种选法;从高二选1人作总负责人有42种选法;从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理,可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．题型三 两个计数原理的综合应用(2)从高一选1名负责人有50种选法;从高二选1名负责人有42种选法;从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理,可知共有50×42×30＝63 000(种)选法．
(3)①高一和高二各选1人作中心发言人,有50×42＝2 100(种)选法;②高二和高三各选1人作中心发言人,有42×30＝1 260(种)选法;③高一和高三各选1人作中心发言人,有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．【名师点评】 (1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏．
(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰．跟踪训练
3．某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与小号的各1人,有多少种不同的选法？
解:由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人,把选出会钢琴,小号各1人的方法分为两类:
第一类:多面手入选,另1人只需从其他8人中任选一个,故这类选法共有8种．第二类:多面手不入选,则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出,会小号者也只能从只会小号的2人中选出,故这类选法共有6×2＝12种,
因此N＝8＋6×2＝20(种),故共有20种不同的选法．用两个计数原理解决计数问题时,要明确需要分类还是需要分步．
(1)分类:是将完成这件事的所有方式分类．
分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数．
(2)分步:是将完成这件事的每一个方式分步．
分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数．
(3)对于有些计数问题的解决,对它们既需要进行“分类”,又需要进行“分步”,那么此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题．解决这类问题,首先,要明确是先“分类”后“分步”,还是先“分步”后“分类”;其次,在“分类”和“分步”的过程中,均要确定明确的分类标准和分步程序．
(4)有些计数问题既可以用分类加法计数原理,又可以用分步乘法计数原理解决问题,此时要注意权衡用哪种方法解决较为简单．题意不明致误
有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面,2面,3面在某一旗杆上纵向排列,表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号？
【常见错误】 求解只注意顺序不同表示不同的信号,而忽略了旗数不同也表示不同信号．易错警示【解】 每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3＝9(种)不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3＝27(种)不同的信号．根据分类加法计数原理得,共可组成:3＋9＋27＝39(种)不同的信号．
【防范措施】 求解此类问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连续性．跟踪训练
4．火车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有( )
A．510种 B．105种
C．50种 D．500种
解析:选A.分10步．第1步:考虑第1名乘客下车的所有可能有5种,
第2步:考虑第2名乘客下车的所有可能有5种,…
第10步:考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．
故共有乘客下车的可能方式 ＝510种．课件24张PPT。1．2 排列与组合
1．2.1 排 列
第一课时 排列及排列数公式第一章 计数原理学习导航1．排列
(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照_____________排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__________,且元素的___________也相同．一定的顺序完全相同排列顺序不同排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)想一想
“排列”和“排列数”是同一个概念吗？
提示:不是．排列是将不同的元素按照一定的顺序排成一列;而排列数是不同排列的个数．
答案:60 30
题型一 排列的概念 判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种？【解】 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标,哪一数作纵坐标的顺序有关,所以这是一个排列问题．
(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不需要考虑两人的顺序,所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题．
∴(1)、(3)是排列问题,(2)不是排列问题．【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否是排列的关键．跟踪训练
1．判断下列问题是否为排列问题．
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
(2)从1,2,3三个数中取两个数相乘,求积的个数;
(3)从1,2,3三个数中取两个数作商,求商的个数;
(4)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)．题型二 排列数的计算跟踪训练 写出下列问题的所有排列:
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数？
(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．
【解】 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数．题型三 用列举法解决排列问题(2)画出树形图,如图所示．
由上面的树形图可知,所有的四位数为:
1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24个四位数．【名师点评】 在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树形图写出排列．跟踪训练
3．将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．
解:由于A不排在第一,所以第一只能排B、C、D中的一个,据此可分为三类．
由此可写出所有的排法为:BADC,BCDA,BDAC,CADB,
CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.1．判断一个具体问题是否有顺序的方法易错警示【常见错误】 求解易忽视0≤x≤9,0≤x－2≤9.化简得(11－x)(10－x)＞6,∴x2－21x＋104＞0,
即(x－8)(x－13)＞0,∴x＜8或x＞13.
又2≤x≤9,x∈N*,∴2≤x＜8,x∈N*.
故x＝2,3,4,5,6,7.跟踪训练课件21张PPT。第二课时 排列的应用第一章 计数原理学习导航排列应用题最基本的解法
(1)直接法:以元素为考察对象,先满足_____元素的要求,再考虑______元素(又称为元素分析法);若以位置为考察对象,先满足______位置的要求,再考虑______位置(又称位置分析法)．
(2)间接法:先不考虑附加条件,计算出总排列数,再减去___________的排列数．特殊一般特殊一般不合要求做一做
1.4人站成一排照相,甲、乙两人站两端,有________种不同站法．
答案:4
2．由0,1,2,3可以组成________个没有重复数字的三位数．
答案:18题型一 无限制条件的排列 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示________种不同信号．【解析】 如果把3面旗看作3个元素,那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题,分3类完成．
第1类,挂1面旗表示信号,有A种不同方法;
第2类,挂2面旗表示信号,有A种不同方法;
第3类,挂3面旗表示信号,有A种不同方法．
根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．
【答案】 15【名师点评】 没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可． 7位同学站成一排．
(1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？题型二 “在”与“不在”的问题【名师点评】 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先．
从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在剩余位置上;从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置．注意:无论从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置．跟踪训练
1．由四个不同数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数．
(1)若x＝5,其中能被5整除的共有多少个？
(2)若x＝0,其中的偶数共有多少个？ 3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排,男、女各站在一起;
(2)全体站成一排,男生必须站在一起;
(3)全体站成一排,男生不能站在一起;
(4)全体站成一排,男、女各不相邻．题型三 “邻”与“不邻”问题【名师点评】 (1)某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入空位,这种方法称为“插空法”,即“不相邻元素插空法”．
(2)对于某些元素“相邻”的排列问题,一般采用“捆绑法”,即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列．跟踪训练
2．某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．典型的排列问题就是“排数”与“站队”问题,其中有很多的制约条件,归纳起来有两类:一类是元素“在”与“不在”的问题;一类是元素“邻”与“不邻”的问题．
(1)元素“在”与“不在”的问题
解决“在”与“不在”的问题,最常用、最基本的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法．若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,有以上两个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;若以元素为主,需先满足特殊元素的要求,再处理其他的元素．(2)元素“邻”与“不邻”的问题
元素相邻问题我们可以利用“捆绑法”处理,即把相邻元素看做一个整体,视为一个元素,参与其他元素的排列．同时,我们应注意捆绑元素的内部排列．
元素不相邻问题我们利用“插空法”处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．求解数字排列问题
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个个位数字不是5且无重复数字的六位数？
抓信息 破难点
(1)可不考虑任何限制条件,将6个数字全排列,然后再剔除不合题意的诸类情况;
(2)可先考虑首位,其首位不能为0,再考虑个位,个位数字不能为5,再考虑其他位置,恰当地进行分类．名师解题跟踪训练
3．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的不大于4 310的由四位数字组成的偶数．课件24张PPT。1．2.2 组 合?
第一课时 组合及组合数公式第一章 计数原理学习导航1．组合
(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)如果两个组合中的元素__________,那么不管元素的顺序如何,都是相同组合,只有当两个组合中的元素____________时,才是不同的组合．合成一组完全相同不完全相同想一想
组合与取出元素的顺序有关吗？
提示:无关
做一做
1.下列实际问题属于组合问题是________．
①三人互相握手的次数;②三人抬水,每两人抬一次的不同抬法;③三点不共线,可确定直线的条数．
答案:①②③所有不同组合1答案:21 190题型一 组合的概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题:
(1)设集合A＝{a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法?
(4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法？
【解】 (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题．
(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题．
(4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题．【名师点评】 区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起,区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果解出来,然后交换这个结果的任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题．跟踪训练
1．判断下列问题是组合问题还是排列问题:
(1)把5本不同的书分给5个学生,每人一本;
(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学;
(3)10个人相互写一封信,共写了几封信;
(4)10个人互相通一次电话,共通了几次电话．
解:(1)由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故它是排列问题．
(2)从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关,故它是排列问题．
(4)因为互通电话一次没有顺序之分,故它是组合问题．题型二 有关组合数的计算与证明跟踪训练 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下,有多少种不同的选法？
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．题型三 简单的组合【名师点评】 解答简单的组合问题的思考方法:
(1)弄清要做的这件事是什么事;
(2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题;
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．跟踪训练
3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？1．组合与排列的相同点和不同点
相同点:都要从“n个不同元素中取出m个元素”;
不同点:组合与顺序无关,而排列与顺序有关．
2．区分排列问题和组合问题的方法
区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题．忽视组合数中字母的取值范围致误
【常见错误】 运用组合数公式转化为关于x的一元二次方程后,易忽视x的取值范围,导致错误．易错警示跟踪训练课件21张PPT。第二课时 组合的应用第一章 计数原理学习导航解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“________(排除法)”．其中用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排__________的选取,再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至
多”、“至少”等组合问题时更是如此．间接法特殊元素做一做
1.从甲、乙、丙、丁四位同学中选两人参加一项活动,甲、乙两人有一人参加有________种选法．
答案:4
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法共有________种．
答案:70题型一 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生;
(2)两队长当选;
(3)至少有一名队长当选;
(4)至多有两名女生当选．【名师点评】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数;二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏． α、β是两个平行平面,在α内取四个点,在β内取五个点．
(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？
(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？题型二 几何问题中的组合问题【名师点评】 解与几何有关的问题,基本思路有两种,一是考虑用特殊元素去分类,用直接法求解;二是间接法,在所有的取法中,去掉不符合题意的取法(如共线三点不能构成三角形),这两种方法,都应熟练掌握．跟踪训练
1．已知∠AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,用这些点和O点为顶点,能构成多少个不同的三角形？ 从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数,试问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？题型三 排列与组合的综合运用【名师点评】 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．跟踪训练
2．有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种不同的分法？
(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;
(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本．处理排列、组合综合题时,应遵循三大原则,掌握基本类型,突出转化思想．
三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．明确以下三点:(1)整体分类．对事件进行整体分类,从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏,任意两类的交集等于空集,以保证分类的不重复,计算结果是使用分类加法计数原理;(2)局部分步．整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏,同时步骤要独立,以保证分步的不重复,计算每一类的相应结果时,使用分步乘法计数原理;(3)考查顺序、无序的问题,用组合解答;有序的问题属排列问题．排列与组合的应用题的规范解答
(本题满分12分)从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？规范解答跟踪训练
3.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内．
(1)恰有1个空盒,有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球,有几种放法？课件21张PPT。1．3 二项式定理?
1．3.1 二项式定理第一章 计数原理学习导航k＋1想一想
1.二项式(a＋b)n与(b＋a)n(a≠b)的展开式的第k＋1项相同吗？
提示:不相同．
2．二项式定理中,项的系数与二项式系数相同,说法对吗？
提示:不对．做一做
1.(1＋x)4的展开式为____________________．
2．(x＋2y)5的二项展开式中,第3项为________．
答案:40x3y2题型一 二项式定理的正用与逆用【名师点评】 (1)形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提．
(2)逆用二项式定理要注意其结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a、b的指数和都相等．跟踪训练
1．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．题型二 求二项展开式的特定项【答案】 (1)A (2)A
【名师点评】 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式,求解时先准确写出通项,再把系数和字母分离,根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法,要保证字母的指数一定为整数．跟踪训练题型三 二项式系数与项的系数跟踪训练1．应注意(a＋b)n的展开式与交换a,b后(b＋a)n的展开式是有区别的,它们的值虽然相同,但展开形式中各项的排列顺序是不同的．
2．二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式的“展开式系数”这两个概念的不同．
3．通项公式中含a,b,n,r和Tr＋1五个元素,知道其中四个就可以求第五个,注意n是正整数,r是自然数,r≤n.二项式系数与展开式的系数混淆易错警示课件20张PPT。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第一章 计数原理学习导航等距离增大减小2n2n－1想一想
二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？
提示:不是．二项式系数表中第一行是两个数,而杨辉三角的第一行只有一个数．
做一做
在(a＋b)n展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则n＝____;若第2项与第16项的二项式系数相等,则n＝_____.
答案:8 16题型一 与杨辉三角有关的问题 如图所示,在杨辉三角中,
斜线AB上方箭头所示的数组成
一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,
…,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.【名师点评】 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练
1．如图,在由二项式系数所构成
的杨辉三角中,第_____行中从左
到右第14与第15个数的比为2∶3.
答案:34 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5;
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|;
(3)求a1＋a3＋a5.
【解】 (1)令x＝1,得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1,得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
∵偶数项的系数为负．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.题型二 求展开式的系数和【名师点评】 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值．一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x＝0可得常数项,令x＝1可得所有项系数之和,令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．跟踪训练
2．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时,求n的值．题型三 求展开式中系数或二项式系数的最大项【名师点评】 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用解不等式(组)的方法求解．一般地,如果第r＋1项的系数最大,则与之相邻两项(第r项,第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出最大项．互动探究
3．在本例条件下:
(1)求系数最大的项;
(2)求系数最小的项．1．二项式系数的和或部分系数的和或二项展开式各项系数的和,都是利用函数思想,通过赋值法求出,如(1＋2a＋3b)n的展开式各项系数的和就是令a＝b＝1而得．
2．如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大．运用二项式定理破解整除性问题
求证:5151－1能被7整除．名师解题跟踪训练课件15张PPT。章末专题整合第一章 计数原理专题一 两个计数原理
应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成,而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成该事件,能完成便是分类,否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步,此时应注意层次清晰,不重不漏,在分步时,要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)． (2013·高考山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243
B．252
C．261
D．279
【解析】 0,1,2,…,9共能组成9×10×10＝900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个),
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
【答案】 B专题二 排列、组合问题
解排列组合应用题应遵循三大原则,掌握基本类型,突出转化思想．
三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．
基本类型主要包括:排列中的“在与不在”问题,组合中的“有与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等．
转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而把这些问题转化为基本类型,然后加以解决．【答案】 482．特殊优先,一般在后
(2013·高考浙江卷)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)．
【答案】 4803．直接间接(直接法、间接法),灵活选择
50件产品中有3件是次品,从中任意取4件,至少有一件是次品的抽法有多少种？4．元素相邻,捆绑为一
用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则其中数字2,3相邻的偶数有________个．(用数字作答)
【答案】 185．元素相间,插空解决
(2013·高考大纲全国卷)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
【答案】 480专题三 二项式定理
(1)区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正．
(2)切实理解“常数项”、“有理项(字母指数为整数)”、“系数最大的项”等概念．
(3)求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明是第几项．
(4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.【答案】 (1)C (2)B专题四 分类讨论思想
分类讨论思想在解决排列组合问题时经常应用,此类问题一般情况繁多,因此要对各种不同的情况进行合理的分类与准确的分步,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏的现象发生．
如果正整数a的各位数字之和等于6,那么称a为“好数”
(如:6,24,2 013等均为“好数”),将所有“好数”从小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an＝2 013,则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53【解析】 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等),因此比2 013小的“好数”为0×××,1×××,2 004,共三类数,其中第一类可分为:00××,01××,…,0 600,共7类,共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数;第二类可分为:10××,11××,…,1 500,共6类,共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数,故2 013为第51个数,故n＝51,故选B.
【答案】 B
