课件31张PPT。第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布2．1 离散型随机变量及其分布列第二章 随机变量及其分布学习导航1．离散型随机变量
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为__________,常用字母___,___,___,___,…表示．
(2)随机变量和函数都是一种________,试验结果的范围相当于函数的________,随机变量的取值范围相当于函数的________．
(3)所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量．随机变量XY,ξη映射定义域值域一一列出想一想
1.随机变量的各个取值均对应于随机试验的某一随机事件吗？
提示:是．2．离散型随机变量的分布列
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i＝1,2,…,n)的概率P(X＝xi)＝pi,以表格的形式表示如下:
这个表格称为离散型随机变量X的_____________,简称为X的________．
用等式可表示为P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n,也可以用图象来表示X的分布列．概率分布列分布列想一想
2.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？
提示:离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．pi≥0,i＝1,2,…,n做一做
四个大小相同的小球分别标有数字1,1,2,2,把它们放在一个盒子中,从中任意摸出两个小球,它们的标号分别为x,y,记随机变量X＝x＋y.则随机变量X的所有取值为________,随机变量X的概率分布列为________．
答案:2,3,43.两点分布与超几何分布
(1)两点分布列为:
如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从____________,而称p＝P(X＝1)为___________．两点分布成功概率想一想
3.分布列 是两点分布吗?
提示:不是．两点分布的X的取值只能是0,1.题型一 离散型随机变量的概念 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由:
(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,将电线铁塔进行编号,则某一电线铁塔的编号X;
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位X.
【解】 (1)从10个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球,2个白球和1个黑球,1个白球和2个黑球,3个黑球,即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义,因此是离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量．(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个,其编号从1开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值我们不能按一定次序一一列出．
【名师点评】 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出,其具体方法如下:
(1)明确随机试验的所有可能结果;
(2)将随机试验的试验结果数量化;
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是．跟踪训练
1．写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果:
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中,任取1球,被取出的球的编号为X;
(2)一个袋中装有10个红球,5个白球,从中任取4个球,其中所含红球的个数为X;
(3)投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数之和是偶数为Y.解:(1)X的可能取值为1,2,3,…,10,X＝k(k＝1,2,…,10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球,(4－k)个白球,其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4,…,12.若以(i,j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点,则X＝2表示(1,1);X＝3表示(1,2),(2,1);X＝4表示(1,3),(2,2),(3,1);…;X＝12表示(6,6)．Y的可能取值为2,4,6,8,10,12. 口袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X表示取出的球的最大号码,求X的分布列．题型二 离散型随机变量的分布列【名师点评】 求离散型随机变量分布列的步骤:
(1)首先确定随机变量X的取值;
(2)求出每个取值对应的概率;
(3)列表对应,即为分布列．跟踪训练
2．某班有学生45人,其中O型血的有10人,A型血的有12人,B型血的有8人,AB型血的有15人．现从中抽1人,其血型为随机变量X,求X的分布列．题型三 离散型随机变量分布列的性质【名师点评】 离散型随机变量的分布列的两个性质主要解决以下两类问题:①通过性质建立关系,求得参数的取值或范围,进一步求出概率,得出分布列．②求对立事件的概率或判断某概率是否成立．跟踪训练
3．已知随机变量ξ的分布列为:题型四 离散型随机变量分布列的性质 从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,求取得次品数X的分布列．所以X的分布列为1．离散型随机变量分布列的特点
(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能看出取每一个值的概率的大小,从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．
(2)一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
2．求随机变量的分布列,首先要弄清随机变量所有可能的取值,然后利用所学概率知识求取每个值的概率,并列出表格即得分布列．求离散型随机变量的分布列
(本题满分12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道试题,乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选试题中随机抽出3题进行测试,答对一题得5分,答错一题得0分．求:
(1)甲答对试题数X的分布列;
(2)乙所得分数Y的分布列．规范解答跟踪训练
4．盆中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半,现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得－1分,则从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列．课件18张PPT。2．2 二项分布及其应用?
2．2.1 条件概率第二章 随机变量及其分布学习导航做一做
2．条件概率性质
(1)0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)＝_______________．
P(B|A)和P(A|B)相同吗？
提示:不相同．前者表示事件A发生的条件下事件B发生的概率,后者表示事件B发生的条件下事件A发生的概率．P(B|A)＋P(C|A)做一做题型一 条件概率的计算 一只口袋内装有2个白球和2个黑球,那么
(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少？跟踪训练
1．甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问:
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球．问从2号箱中取出红球的概率是多少？题型二 条件概率的性质【名师点评】 若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个(若干个)互不相容的较简单事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．跟踪训练
2．某厂有甲、乙两台机床生产同一规格的螺丝钉,它们的产量各占70%,30%,在各自的产品里,废品各占4%,5%.问从该厂所生产的这种螺丝钉中任取一个,它是废品的概率是多少？条件概率的概念不明致误
抛掷一枚骰子,观察出现的点数,若已知出现的点数不超过4,求出现的点数是奇数的概率．易错警示跟踪训练
3．已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为( )
A．75% B．96%
C．72% D．78.125%课件26张PPT。2．2.2 事件的相互独立性第二章 随机变量及其分布学习导航1．相互独立事件的概念
设A,B为两个事件,如果P(AB)＝___________,则称事件A与事件B相互独立．P(A)P(B)P(B)P(A)P(A)P(B)想一想
相互独立事件是互斥事件吗？
提示:不是．
做一做
题型一 事件独立性的判断 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩},B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形,讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩．跟踪训练
1．分别掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,令A＝{硬币甲出现正面},B＝{硬币乙出现正面},验证事件A、B是相互独立的．题型二 两个相互独立事件的概率【名师点评】 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是:
①首先确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件的概率,再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生．跟踪训练
2．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的．求:
(1)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(2)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解:记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,记C表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”,记D表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．题型三 相互独立事件概率的实际应用【名师点评】 解决此类问题应注意:
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件;
(2)“串联”时系统无故障易求概率,“并联”时系统有故障易求概率,求解时注意对立事件概率之间的转化．互动探究
3．在本例中试判断三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图,并说明理由．
解:如图1,2,这两种情况下,不发生故障的概率最大,证明如下:
图1中不发生故障事件为(A1∪A2)A3,
∴不发生故障概率为
P2＝P[(A1∪A2)A3]
＝P(A1∪A2)·P(A3)3．求解复杂事件的概率一般有正向思考和反向思考两种思路．正向思考的一般步骤为:通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解,转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件,再利用公式求其概率,反向思考就是转化为求它的对立事件的概率．相互独立事件概率的应用
甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:
(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．名师解题跟踪训练
4．某机械厂的甲、乙两机床制造同一种汽车零件,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,已知甲机床的正品率是0.96,任意抽取的两件产品都是正品的概率是0.912.求乙机床的正品率．
解:用事件A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用事件B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”,依题意,事件A和B相互独立,且
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.912,
由P(A)＝0.96,得P(B)＝0.95.课件20张PPT。2．2.3 独立重复试验与二项分布第二章 随机变量及其分布学习导航1．n次独立重复试验的概念
一般地,在________条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
想一想
甲、乙、丙三人分别射击同一个目标,都是“中”与“不中”两种结果,是三次独立重复试验吗？
提示:不是,因三人射击水平不同,而不是在相同条件下进行的重复试验．相同做一做二项分布X～B(n,p)题型一 独立重复试验概率的求法 某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2)5次预报中至少有2次准确的概率．跟踪训练题型二 二项分布的应用跟踪训练
2．袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球．有放回抽样时,求取到黑球的个数X的分布列．1．独立重复试验必须具备以下几个条件:
(1)每次试验的条件完全相同,有关事件的概率保持不变且大于零;
(2)各次试验的结果互不影响,即每次试验相互独立;
(3)每次试验只有两种可能的结果,这两种可能的结果是对立的．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一;其二是重复性,即试验是否独立重复地进行了n次．求服从二项分布的分布列
规范解答跟踪训练课件32张PPT。2．3 离散型随机变量的均值与方差?
2．3.1 离散型随机变量的均值第二章 随机变量及其分布学习导航1．离散型随机变量的均值
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为:
则称E(X)＝______________________________为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义:它反映了离散型随机变量取值的__________．
(3)性质:如果X为(离散型)随机变量,则Y＝aX＋b(其中a,b为常数)也是随机变量,且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi),i＝1,2,3,…,n,E(Y)＝____________＝______________.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平E(aX＋b)aE(X)＋b想一想
均值E(X)是一个常数还是一个变量？
提示:常数．
做一做
1.已知X的分布列为
则X的均值为__________．
2．两点分布与二项分布的均值
做一做
2.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为__________．
解析:∵X～B(3,0.8),
∴E(X)＝3×0.8＝2.4.
答案:2.4题型一 离散型随机变量均值的性质 已知随机变量X的分布列为:
(1)求E(X);
(2)若Y＝2X－3,求E(Y)．【名师点评】 (1)该类题目属于已知离散型分布列求期望,求解方法是直接套用公式,E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
(2)对于aX＋b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX＋b)＝aE(X)＋b;也可以先列出aX＋b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便．互动探究 某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动,活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须参加,有50名学生参加这次活动,评委老师对这50名学生实验操作进行评分,每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分),评分结果统计如下表:题型二 求离散型随机变量的均值(1)若随机抽取1名参加活动的学生,求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率;
(2)从这50名参赛学生中任取1名,其物理实验与化学实验得分之和为ξ,求ξ的数学期望．【名师点评】 求离散型随机变量X的均值的步骤:
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时可以省略);
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．跟踪训练题型三 二项分布的均值【名师点评】 (1)如果随机变量X服从两点分布,则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．
(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n,p),则E(X)＝np,以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程．跟踪训练
3．某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖,有一选手选对任意一题的概率是0.8,则该选手有望能拿到几等奖？
解:选对题的个数X～B(30,0.8),
故E(X)＝30×0.8＝24,
由于24×5＝120(分),
所以该选手有望能拿到二等奖．题型四 均值问题的实际应用 某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中3发或3发以下,应付款2元．现有一游客,其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率;
(2)求该游客在一次游戏中获得资金的均值．【名师点评】 解答此类题目时,首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望．跟踪训练
4．随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元．设1件产品的利润为ξ(单位:万元)．
(1)求ξ的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)．1．随机变量的均值与样本的平均值的关系
2.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上和全局上刻画随机变量的,但两者大不相同,分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平．求离散型随机变量的均值
(本题满分12分)(2013·高考江西卷)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队．规范解答(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列和数学期望．跟踪训练
5．运动员射击一次所得环数X的分布列如下:
现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的均值．解:(1)ξ的可能取值为7、8、9、10,
P(ξ＝7)＝0.04,P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21,
P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39,
P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36,
ξ的分布列为
(2)ξ的均值为E(ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.课件23张PPT。2．3.2 离散型随机变量的方差第二章 随机变量及其分布学习导航1．离散型随机变量的方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
标准差(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的__________,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的___________越小．
(3)D(aX＋b)＝_________．
想一想
离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)都反映了X取值的平均水平,这种说法对吗？
提示:不对．E(X)反映的是X取值的平均水平,D(X)刻画了X与E(X)的平均偏离程度．平均程度平均程度a2D(X)做一做
1.已知ξ的分布列为
则D(ξ)等于________．
解析:∵E(ξ)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3,
∴D(ξ)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.
答案:0.612．两点分布、二项分布的方差
(1)若X服从两点分布,则D(X)＝________．
(2)若X～B(n,p),则D(X)＝__________．
做一做
2.若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p＝0.5,则E(X)和D(X)分别为( )
A．0.5和0.25
B．0.5和0.75
C．1和0.25
D．1和0.75
答案:Ap(1－p)np(1－p)题型一 求离散型随机变量的方差 已知随机变量ξ的分布列为:【名师点评】 求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列,就可以依据定义求数学期望,进而求出方差、标准差,同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．跟踪训练
1．已知随机变量ξ的分布列为
且已知E(ξ)＝2,D(ξ)＝0.5,求:
(1)p1,p2,p3;
(2)P(－1＜ξ＜2)．
袋中有大小相同的小球6个,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分．从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差．题型二 求实际问题的期望和方差【名师点评】 求离散型随机变量的方差常分为以下三步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③求出随机变量的方差．跟踪训练
2．抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数．
(1)若抛掷一次,求E(X)和D(X);
(2)若抛掷10次,求E(X)和D(X)． 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量,分别记为X1和X2,它们的分布列分别为
(1)求a,b的值;
(2)计算X1和X2的均值和方差,并以此分析甲、乙两射手的技术状况．
【解】 (1)由分布列的性质知,0.1＋a＋0.4＝1,
0．2＋0.2＋b＝1.即a＝0.5,b＝0.6.题型三 应用均值和方差分析实际问题(2)E(X1)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3,
E(X2)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.6＝1.4,
D(X1)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41,
D(X2)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.2＋(2－1.4)2×0.6＝0.64.
由上述计算知,乙的平均水平较甲好一点,但乙的稳定性不如甲．【名师点评】 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中,需先运算均值,看一下谁的平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定,当然不同的模型要求不同,应视情况而定．跟踪训练
3．甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X、Y,且X和Y的分布列为:误用方差的性质致误
已知随机变量X的分布列如下表:
试求D(X)和D(2X－1)．
【常见错误】 求解D(X)误用其性质,把D(aX＋b)误写为aD(a(X)＋b)．易错警示【解】 E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8,所以D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
【防范措施】 解决此类问题方法,应利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b,D(aX＋b)＝a2D(X),将求E(aX＋b),D(aX＋b)的问题转化为求E(X),D(X)的问题,从而可以避免求aX＋b的分布列的繁琐的计算,解题时可根据两者之间的关系列出等式,进行相关计算．跟踪训练
4．已知随机变量X～B(100,0.2),那么D(4X＋3)的值为
( )
A．64
B．256
C．259
D．320
解析:选B.由X～B(100,0.2)知n＝100,p＝0.2,
由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16,
因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.课件18张PPT。2．4 正态分布第二章 随机变量及其分布学习导航想一想
参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么？
提示:参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计．e－上方不相交x＝μ1σμ越小越大μσN(μ,σ2)X～N(μ,σ2)4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝_________;
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝_________;
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__________.
做一做
设随机变量ξ～N(μ,σ2),且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C),则C等于
( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
答案:D0.682 60.954 40.997 4题型一 正态分布下的概率计算 设X～N(1,22),试求:
(1)P(－1＜X≤3);(2)P(3＜X≤5)．
【解】 因为X～N(1,22),所以μ＝1,σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)
＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.【名师点评】 对于正态分布N(μ,σ2),由x＝μ是正态曲线的对称轴知:
(1)对任意的a,有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a);
(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0);
(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．跟踪训练
1．在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在区间(－1,1)内取值的概率． 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分的学生为不及格学生．
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90之间的学生占多少？题型二 正态分布的实际应用【名师点评】 运用3σ原则时,关键是将给定的区间转化为用μ再加上或减去几个σ来表示;当要求服从正态分布的随机变量的概率其所在的区间不对称时,不妨先通过分解或合成,再求其对称区间概率的一半解决问题．跟踪训练
2．(2013·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:分)近似服从正态分布X～N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．1．在正态分布N(μ,σ2)中,参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,即总体随机变量的均值,它可以用样本的均值去估计,其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数,即总体随机变量的标准差,它可以用样本的标准差去估计,其取值范围是正数,即σ＞0.
2．记住这几个特值
(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.26%,
(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.44%,
(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.74%.巧用正态曲线的对称性求均值和方差
如图所示是一条正态曲线．试根据该图象写出其函数解析式,并求出总体随机变量的期望和方差．名师解题跟踪训练
A．μ1<μ2,σ1<σ2
B．μ1<μ2,σ1>σ2
C．μ1>μ2,σ1<σ2
D．μ1>μ2,σ1>σ2
解析:选A.μ反映的是正态分布的平均水平,x＝μ是正态密度曲线的对称轴,由图可知μ1<μ2;σ反映的正态分布的离散程度,σ越大,越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,越集中,曲线越“瘦高”,由图可知σ1<σ2.课件18张PPT。章末专题整合第二章 随机变量及其分布专题一 条件概率【答案】 B专题二 相互独立事件的概率 某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题,竞赛规则规定:答对第1、2、3个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分．假设这名同学答对第1、2、3个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率;
(2)求这名同学至少得300分的概率．
【解】 记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3),则P(A1)＝0.8,P(A2)＝0.7,P(A3)＝0.6.专题三 二项分布专题四 离散型随机变量的期望与方差解:(1)若随机变量X服从两点分布,则其均值和方差分别是E(X)＝p,D(X)＝p(1－p);
(2)若随机变量X服从二项分布,即
X～B(n,p),则有E(X)＝np,
D(X)＝np(1－p)．专题五 方程思想(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率．
