第7课时 直线的方向向量与平面的法向量
一、单选题
1. 若n＝(2, －3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中，能作为平面α的法向量的是( )
A. (0, －3, 1) B. (2, 0, 1)
C. (－2, －3, 1) D. (－2, 3, －1)
1. D
2. 已知向量a＝(2, －1, 3)和b＝(－4, 2x2, 6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
2. A
3. 已知平面α内有一点A(2, －1, 2)，平面α的一个法向量为n＝(3, 1, 2)，则下列四个点中，在平面α内的是( )
A．(1, －1, 1) B.
C. D.
3. B
4. 已知平面α内的两个向量a＝(1, 1, 1), b＝(0, 2, －1)，若向量c＝ma＋nb＋(4, －4, 1)，且向量c为平面α的一个法向量，则m和n的值分别为( )
A. －1, 2 B. 1, －2
C. 1, 2 D. －1, －2
4. A
5. 若a＝是平面α的一个法向量，且向量b＝(－1, 2, 1), c＝都与平面α平行，则向量a的坐标为( )
A. B.
C. D.
5. D
二、多选题
6. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中， ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是( )
A. 平面ABB1A1的一个法向量为(0, 1, 0)
B. 平面B1CD的一个法向量为(1, 1, 1)
C. 平面B1CD1的一个法向量为(1, 1, 1)
D. 平面ABC1D1的一个法向量为(0, 1, 1)
6. AC
7. (多选)已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点， PA垂直于圆O所在的平面，AD⊥PC于点D, AF⊥PB于点F，则下列判断正确的有( )
A. 是平面PAC的一个法向量 B. 是平面PBC的一个法向量
C. 是平面PBC的一个法向量 D. 是平面ADF的一个法向量
7. AC
三、填空题
8. 已知直线l1的一个方向向量为a＝(1, －2, 2)，直线l2的一个方向向量为b＝(1, 2, 0)，则两直线所成角的余弦值为________．
8.
9. 从点A(1, －1, 3)沿向量a＝(2, 1, －1)的方向取长为2的线段AB，则点B的坐标为________．
9. (5, 1, 1)
10. 若A， B， C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量为a＝(x, y, z)，则x∶y∶z＝____________.
10. 2∶3∶(－4)
四、解答题
11. 已知点A(2, 2, 2), B(2, 0, 0), C(0, 2, －2)．
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量， M(x, y, z)是平面α内的任意一点，试写出x, y, z满足的关系式．
11. (1) 由已知得＝(－2, 2, －2)，即(－2, 2, －2)为直线BC的一个方向向量 (2) 由题意得＝(x－2, y－2, z－2)．因为⊥平面α， AM α，所以⊥，所以(－2, 2, －2)·(x－2, y－2, z－2)＝0，所以－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0，化简得x－y＋z－2＝0
12. 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AD∥BC, ∠ABC＝90°， SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1, AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SAB与平面SCD的一个法向量．
12. 以A为坐标原点，AD, AB, AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则知点A(0, 0, 0), D， C(1, 1, 0), S(0, 0, 1)，故＝， ＝.向量＝是平面SAB的一个法向量．设n＝(x, y, z)为平面SCD的一个法向量，则即取x＝2，得y＝－1, z＝1，故平面SCD的一个法向量为(2, －1, 1)
13. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点， E是线段D1O上一点，且＝λ. 若平面CDE⊥平面CD1O，求实数λ的值．
13. 不妨设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则知点O， C(0, 1, 0), D1(0, 0, 1), D(0, 0, 0)，所以＝， ＝(0, －1, 1), ＝(0, －1, 0)．设平面CD1O的一个法向量为m＝(x1, y1, z1)，则所以取x1＝1，得y1＝z1＝1，则m＝(1, 1, 1)．由＝λ，得点E， ＝.设平面CDE的一个法向量为n＝(x2, y2, z2)，则所以取x2＝2，得z2＝－λ，则n＝(2, 0, －λ)．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以m·n＝0，得λ＝2第7课时 直线的方向向量与平面的法向量
一、单选题
1. 若n＝(2, －3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中，能作为平面α的法向量的是( )
A. (0, －3, 1) B. (2, 0, 1)
C. (－2, －3, 1) D. (－2, 3, －1)
2. 已知向量a＝(2, －1, 3)和b＝(－4, 2x2, 6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
3. 已知平面α内有一点A(2, －1, 2)，平面α的一个法向量为n＝(3, 1, 2)，则下列四个点中，在平面α内的是( )
A．(1, －1, 1) B.
C. D.
4. 已知平面α内的两个向量a＝(1, 1, 1), b＝(0, 2, －1)，若向量c＝ma＋nb＋(4, －4, 1)，且向量c为平面α的一个法向量，则m和n的值分别为( )
A. －1, 2 B. 1, －2
C. 1, 2 D. －1, －2
5. 若a＝是平面α的一个法向量，且向量b＝(－1, 2, 1), c＝都与平面α平行，则向量a的坐标为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中， ABCD A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是( )
A. 平面ABB1A1的一个法向量为(0, 1, 0)
B. 平面B1CD的一个法向量为(1, 1, 1)
C. 平面B1CD1的一个法向量为(1, 1, 1)
D. 平面ABC1D1的一个法向量为(0, 1, 1)
7. (多选)已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点， PA垂直于圆O所在的平面，AD⊥PC于点D, AF⊥PB于点F，则下列判断正确的有( )
A. 是平面PAC的一个法向量 B. 是平面PBC的一个法向量
C. 是平面PBC的一个法向量 D. 是平面ADF的一个法向量
三、填空题
8. 已知直线l1的一个方向向量为a＝(1, －2, 2)，直线l2的一个方向向量为b＝(1, 2, 0)，则两直线所成角的余弦值为________．
9. 从点A(1, －1, 3)沿向量a＝(2, 1, －1)的方向取长为2的线段AB，则点B的坐标为________．
10. 若A， B， C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量为a＝(x, y, z)，则x∶y∶z＝____________.
四、解答题
11. 已知点A(2, 2, 2), B(2, 0, 0), C(0, 2, －2)．
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量， M(x, y, z)是平面α内的任意一点，试写出x, y, z满足的关系式．
12. 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AD∥BC, ∠ABC＝90°， SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1, AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SAB与平面SCD的一个法向量．
13. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点， E是线段D1O上一点，且＝λ. 若平面CDE⊥平面CD1O，求实数λ的值．
