第3课时 共面向量定理
一、单选题
1. 下列说法中，正确的是( )
A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面
B．若存在有序实数对(x, y)，使得＝x＋y，则O, P, A, B四点共面
C．若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面
D．向量a, b, c共面就是指它们所在的直线共面
2. 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A. 1 B. 0
C. 3 D.
3. 下列条件中，能使点M与点A, B, C一定共面的是( )
A. ＝2－－ B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0 D. ＋＋＋＝0
4. 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量， ， 是( )
A. 有相同起点的向量 B. 等长向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
5. 已知向量a，b, c不共面，则使向量m＝2a－b, n＝b＋c, p＝xa＋5b＋3c共面的实数x的值是 ( )
A．－4 B.－3
C.－2 D.4
二、多选题
6. (多选)已知a, b, c是空间中三个非零向量，且a＋b＝3c, a－b＝5c，则下列结论正确的有( )
A. a与c平行 B. b与c平行
C. a与b平行 D. a, b, c不共面
7. (多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1, P, M为空间内任意两点，且有＝＋6＋7＋4，则下列结论正确的有( )
A. ， ， 共面 B. ， ， 不共面
C. M∈平面A1BCD1 D. M 平面A1BCD1
三、填空题
8. 若2＋＋＝0，则A, B, C, D四点________．(填“共面”或“不共面”)
9. 已知向量x＝3a－2b－5c, y＝(m－4)a＋4b＋nc，且向量a, b, c不共面．若x∥y，则m＝________，n＝________.
10. 已知向量a, b, c不共面，若(x－y－1)a＋(z＋y＋1)b＋(x－z－1)c＝0，则x2＋y2＋z2＝____.
四、解答题
11. 如图，已知四边形ABCD是空间四边形， E, H分别是边AB, AD的中点， F, G分别是边BC, CD上的点，且＝， ＝.求证：四边形EFGH是梯形．
12. 已知P是正方形ABCD所在平面外一点， M, N分别在PA, BD上，且＝， ＝，求证：MN∥平面PBC.
13. 已知四边形ABCD是平行四边形， P是 ABCD所在平面外一点，点E, F, G, H分别为△PAB, △PBC, △PCD, △PDA的重心．
(1) 试用向量方法证明E, F, G, H四点共面；
(2) 试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．第3课时 共面向量定理
一、单选题
1. 下列说法中，正确的是( )
A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面
B．若存在有序实数对(x, y)，使得＝x＋y，则O, P, A, B四点共面
C．若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面
D．向量a, b, c共面就是指它们所在的直线共面
1. B
2. 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A. 1 B. 0
C. 3 D.
2. D
3. 下列条件中，能使点M与点A, B, C一定共面的是( )
A. ＝2－－ B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0 D. ＋＋＋＝0
3. C
4. 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量， ， 是( )
A. 有相同起点的向量 B. 等长向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
4. C
5. 已知向量a，b, c不共面，则使向量m＝2a－b, n＝b＋c, p＝xa＋5b＋3c共面的实数x的值是 ( )
A．－4 B.－3
C.－2 D.4
5. A 提示 因为向量m, n, p共面，所以存在实数s, t，使p＝sm＋tn，即xa＋5b＋3c＝2sa＋(t－s)b＋tc，所以t＝3, s＝－2, x＝2s＝－4
二、多选题
6. (多选)已知a, b, c是空间中三个非零向量，且a＋b＝3c, a－b＝5c，则下列结论正确的有( )
A. a与c平行 B. b与c平行
C. a与b平行 D. a, b, c不共面
6. ABC
7. (多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1, P, M为空间内任意两点，且有＝＋6＋7＋4，则下列结论正确的有( )
A. ， ， 共面 B. ， ， 不共面
C. M∈平面A1BCD1 D. M 平面A1BCD1
7. AC
三、填空题
8. 若2＋＋＝0，则A, B, C, D四点________．(填“共面”或“不共面”)
8. 共面
9. 已知向量x＝3a－2b－5c, y＝(m－4)a＋4b＋nc，且向量a, b, c不共面．若x∥y，则m＝________，n＝________.
9. －2 10
10. 已知向量a, b, c不共面，若(x－y－1)a＋(z＋y＋1)b＋(x－z－1)c＝0，则x2＋y2＋z2＝____.
10.
四、解答题
11. 如图，已知四边形ABCD是空间四边形， E, H分别是边AB, AD的中点， F, G分别是边BC, CD上的点，且＝， ＝.求证：四边形EFGH是梯形．
11. 因为E, H分别是AB, AD的中点，所以＝， ＝，
则＝－＝－＝＝(－)＝＝(－)＝，
所以∥且||＝||≠||.
又因为点F不在直线EH上，所以四边形EFGH是梯形
12. 已知P是正方形ABCD所在平面外一点， M, N分别在PA, BD上，且＝， ＝，求证：MN∥平面PBC.
12. ＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)＝－＋.
根据共面向量定理可知， ， 共面．
又因为MN 平面PBC，所以MN∥平面PBC
13. 已知四边形ABCD是平行四边形， P是 ABCD所在平面外一点，点E, F, G, H分别为△PAB, △PBC, △PCD, △PDA的重心．
(1) 试用向量方法证明E, F, G, H四点共面；
(2) 试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
13. (1) 分别连接PE, PF, PG, PH并延长且交对边于点M, N, Q, R．
因为点E, F, G, H分别是所在三角形的重心，
所以M, N, Q, R为所在边的中点，顺次连接点M, N, Q, R，得到的四边形为平行四边形，
且有＝， ＝， ＝， ＝，
所以＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋(－)＝(＋)．
又因为＝－＝－＝，
所以＝(＋)，即＝＋.
由共面向量定理知E, F, G, H四点共面
(2) 平面EFGH∥平面ABCD.证明如下：
由(1)得＝，故MQ∥EG.
又因为MQ 平面ABCD, EG 平面ABCD，
所以EG∥平面ABCD.
又因为＝－＝－＝，所以MN∥EF.
又因为MN 平面ABCD, EF 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
因为EG∩EF＝E，且EF 平面EFGH, EG 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD
