第8课时 空间线面关系的判定
一、单选题
1. 已知a为直线l的一个方向向量， ， 为平面α内两个向量，则下列说法正确的是( )
A. 若a＝，则l∥α B. 若a＝k(k∈R)，则l∥α
C. 若a＝p＋λ(p, λ∈R)，则l∥α D. 以上均不一定推出l∥α
1. D
2. 已知直线l1的一个方向向量为n1＝(3, －2, 1)，直线l2的一个方向向量为n2＝(2, 2, －2)，则直线l1与l2的位置关系为( )
A．平行 B.垂直
C．平行但不重合 D.相交但不垂直
2. B
3. 设直线l的一个方向向量为a，平面α的一个法向量为b，若a·b＝0，则下列判断正确的为( )
A. l∥α B. l α
C. l⊥α D. l α或l∥α
3. D
4. 已知＝(1, 5, －2)，＝(3, 1, z)，若⊥， ＝(x－1, y, －3)，且BP⊥平面ABC，则实数x, y, z的值分别为( )
A.， －， 4 B.，－， 4
C.， －2, 4 D.4, ，－15
4. B
二、多选题
5. (多选)已知v为直线l的一个方向向量，n1, n2分别为平面α， β的法向量(α， β不重合)，那么下列选项正确的是( )
A. n1∥n2 α∥β B. n1⊥n2 α⊥β
C. v∥n1 l∥α D. v⊥n1 l∥α
5. AB
6. (多选)在正四面体P ABC中， D, E, F分别是AB, BC, CA的中点，则下面结论正确的是( )
A. ∥平面PDF B. ⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面ABC
6. ABD
三、填空题
7. 若平面α， β， γ两两垂直，它们的一个法向量分别为a＝(1, －2, z), b＝(x, 2, －4), c＝(－1, y, 3)，则x＝________， y＝________， z＝________.
7. －64 －26 －17
8. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝3, AA1＝4, AD＝5.求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
8. 如图，以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D xyz，则知点D(0, 0, 0), A1(5, 0, 4), B(5, 3, 0), D1(0, 0, 4), B1(5, 3, 4), C(0, 3, 0)，所以＝(－5, 0, －4), ＝(0, 3, －4), ＝(0, 3, －4), ＝(－5, 0, －4)．设平面A1BD的一个法向量为m＝(x, y, z)，则即取z＝1，得x＝－， y＝，则m＝.设平面B1D1C的一个法向量为n＝(a, b, c)，则取z＝1，得x＝－， y＝，则n＝.因为m＝n，所以m∥n，所以平面A1BD∥平面B1D1C
9. 已知直线l的一个方向向量为a＝(1, －1, 2)，平面α的一个法向量为b＝(x, 0, z)．若l∥α，|b|＝2|a|，则b＝________.
9. 或
10. 在矩形ABCD中， AB＝1, BC＝2, PA⊥平面ABCD，且PA＝1.若在边BC上存在点Q, 设BQ＝a，使得⊥平面PAQ，则a的值是________．
10. 1
四、解答题
11. 如图，在正三棱锥P ABC中， PA,PB,PC两两互相垂直， G是△PAB的重心， E,F分别为BC,PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面EFG⊥平面PBC；
(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．
11. (1) 以P为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则知点A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 3), E(0, 2, 1), F(0, 1, 0), G(1, 1, 0), P(0, 0, 0)，于是＝(3, 0, 0), ＝(1, 0, 0), ＝(1, －1, －1)．设平面EFG的一个法向量为n＝(x, y, z)，则即取y＝1，则z＝－1，所以n＝(0, 1, －1)．易知平面PBC的一个法向量为，而·n＝0，故平面EFG⊥平面PBC (2) 因为＝(1, －1, －1), ＝(1, 1, 0), ＝(0, －3, 3)，所以·＝1－1＝0, ·＝3－3＝0，即EG⊥PG, EG⊥BC，故EG是PG与BC的公垂线段
12. 如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形， AB＝AE, FA＝FE, ∠AEF＝45°.
(1) 求证： EF⊥平面BCE；
(2) 若线段CD, AE的中点分别为P, M，求证：PM∥平面BCE.
12. (1) 因为△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD，即AD, AB, AE两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，则知点B(0, 1, 0), E(0, 0, 1), C(1, 1, 0)．因为FA＝FE, ∠AEF＝45°，所以∠AFE＝90°，从而知点F，所以＝， ＝(0, －1, 1), ＝(1, 0, 0)．所以·＝0, ·＝0，所以EF⊥BE, EF⊥BC.又因为BE∩BC＝B，所以EF⊥平面BCE (2) 由(1)知点M， P，从而＝，于是·＝·＝0，所以PM⊥EF.又因为EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE第8课时 空间线面关系的判定
一、单选题
1. 已知a为直线l的一个方向向量， ， 为平面α内两个向量，则下列说法正确的是( )
A. 若a＝，则l∥α B. 若a＝k(k∈R)，则l∥α
C. 若a＝p＋λ(p, λ∈R)，则l∥α D. 以上均不一定推出l∥α
2. 已知直线l1的一个方向向量为n1＝(3, －2, 1)，直线l2的一个方向向量为n2＝(2, 2, －2)，则直线l1与l2的位置关系为( )
A．平行 B.垂直
C．平行但不重合 D.相交但不垂直
3. 设直线l的一个方向向量为a，平面α的一个法向量为b，若a·b＝0，则下列判断正确的为( )
A. l∥α B. l α
C. l⊥α D. l α或l∥α
4. 已知＝(1, 5, －2)，＝(3, 1, z)，若⊥， ＝(x－1, y, －3)，且BP⊥平面ABC，则实数x, y, z的值分别为( )
A.， －， 4 B.，－， 4
C.， －2, 4 D.4, ，－15
二、多选题
5. (多选)已知v为直线l的一个方向向量，n1, n2分别为平面α， β的法向量(α， β不重合)，那么下列选项正确的是( )
A. n1∥n2 α∥β B. n1⊥n2 α⊥β
C. v∥n1 l∥α D. v⊥n1 l∥α
6. (多选)在正四面体P ABC中， D, E, F分别是AB, BC, CA的中点，则下面结论正确的是( )
A. ∥平面PDF B. ⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面ABC
三、填空题
7. 若平面α， β， γ两两垂直，它们的一个法向量分别为a＝(1, －2, z), b＝(x, 2, －4), c＝(－1, y, 3)，则x＝________， y＝________， z＝________.
8. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝3, AA1＝4, AD＝5.求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
9. 已知直线l的一个方向向量为a＝(1, －1, 2)，平面α的一个法向量为b＝(x, 0, z)．若l∥α，|b|＝2|a|，则b＝________.
10. 在矩形ABCD中， AB＝1, BC＝2, PA⊥平面ABCD，且PA＝1.若在边BC上存在点Q, 设BQ＝a，使得⊥平面PAQ，则a的值是________．
四、解答题
11. 如图，在正三棱锥P ABC中， PA,PB,PC两两互相垂直， G是△PAB的重心， E,F分别为BC,PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面EFG⊥平面PBC；
(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．
12. 如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形， AB＝AE, FA＝FE, ∠AEF＝45°.
(1) 求证： EF⊥平面BCE；
(2) 若线段CD, AE的中点分别为P, M，求证：PM∥平面BCE.
