第9课时 空间角的计算(1)
一、单选题
1. 已知a, b分别是异面直线l1, l2的方向向量，且sin〈a, b〉＝，则异面直线l1与l2所成角的大小为( )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
1. A
2. 已知直线l的一个方向向量为a＝(1, 1, 0)，平面α的一个法向量为n＝(1, 1, －)，则直线l与平面α所成角的大小为( )
A．30° B.60°
C.120° D.150°
2. A
3. 在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝2, BC＝2, DD1＝3, 则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A. 0 B.
C. － D.
3. A
4. 在空间四边形ABCD中，向量＝(0, 2, －1), ＝(－1, 2, 0), ＝(0, －2, 0)，则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. B.
C.－ D.－
4. A
5. 如图，在底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中， AB＝1.若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，则AA1的长为( )
A．3 B.
C.2 D.
5. A 提示 以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AA1＝t，则知点A1(1, 0, t), B(1, 1, 0), A(1, 0, 0), D1(0, 0, t)，所以＝(0, 1, －t), ＝(－1, 0, t)．因为A1B与AD1所成角的余弦值为，所以|cos〈， 〉|＝＝，所以t＝3或t＝－3(舍)
二、多选题
6. (多选)如图，把正方形ABCD沿对角线BD对折，使得△ABD所在平面与△BCD所在平面垂直，则下列结论正确的有( )
A. ⊥
B. 直线AC与平面BCD所成的角为45°
C. 直线AB与平面BCD所成的角为60°
D. 直线AB与CD所成的角为60°
6. ABD
7. (多选)在正三棱柱ABC A1B1C1中， AA1＝AB，则下列结论正确的有( )
A. 直线AC1与底面ABC所成的角的正弦值为
B. 直线AC1与底面ABC所成的角的正弦值为
C. 直线AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为
D. 直线AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为
7. BC 提示 如图，取A1C1的中点E, AC的中点F，并连接EF, EB1，则直线EB1, EC1, EF两两垂直，以这三条直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则AA1＝2，知点A1(0, －1, 0), C1(0, 1, 0), A(0, －1, 2), C(0, 1, 2), B1(， 0, 0)，所以＝(0, 2, －2)．底面ABC的一个法向量为m＝(0, 0, 2)，所以直线AC1与底面ABC所成的角的正弦值为|cos〈m, 〉|＝＝＝，B正确；因为A1B1的中点K的坐标为，所以侧面AA1B1B的一个法向量为＝，所以直线AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，D正确
三、填空题
8. 在直三棱柱ABC A1B1C1中， CA＝CC1＝2CB, ∠ACB＝90°，则直线BC1与AB1所成的角的余弦值为________．
8.
9. 如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝90°，∠ABC＝45°， BC＝BD＝1, AB＝，则异面直线AB与CD所成的角的大小为________．
9. 60°
10. 如图，∠BAD＝90°，等腰直角三角形ABD所在平面与正三角形BCD所在平面互相垂直， E是BC的中点，则直线AE与平面BCD所成角的大小为________．
10. 45°
四、解答题
11. 如图，在空间直角坐标系O xyz中，正四棱锥P ABCD的侧棱长与底边长都为3，点M, N分别在PA, BD上，且＝＝.
(1) 求证：MN⊥AD；
(2) 求直线MN与平面PAD所成角的正弦值．
11. (1) 因为正四棱锥P ABCD的侧棱长与底边长都为3，所以OA＝3, OP＝3，且＝＝，则知点A(3, 0, 0), D(0, －3, 0), P(0, 0, 3), M(1, 0, 2), N(0, 1, 0)，则＝(－1, 1, －2), ＝(－3, －3, 0)．因为·＝(－1)×(－3)＋1×(－3)＋(－2)×0＝0，所以MN⊥AD (2) 设平面PAD的一个法向量为n＝(x, y, z)．因为＝(－3, －3, 0), ＝(－3, 0, 3)，由得取z＝1，得x＝1, y＝－1，所以n＝(1, －1, 1)，则cos〈n, 〉＝＝－.设直线MN与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n, 〉|＝.因此，直线MN与平面PAD所成角的正弦值为
12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中， P为棱C1D1的中点， Q为棱BB1上一点，且＝λ(λ≠0)．
(1)若λ＝，求直线AP与AQ所成角的余弦值；
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．
12. (1) 以{， ， }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.当λ＝时，＝(1, 2, 2), ＝(2, 0, 1)，所以cos〈， 〉＝＝＝.因此直线AP与AQ所成角的余弦值为 (2) 由题意可知＝(0, 0, 2), ＝(2, 0, 2λ)．设平面APQ的一个法向量为n＝(x, y, z)，则即令z＝－2，则x＝2λ， y＝2－λ，所以n＝(2λ， 2－λ， －2)．又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°，所以|cos〈n, 〉|＝＝＝，可得5λ2－4λ＝0.又因为λ≠0，所以λ＝
13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， AC与BD相交于点O, AE⊥平面ABCD, CF∥AE, AB＝2, CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，求AE的长．
14.如图，在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.
(1) 求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
(2) 求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．第9课时 空间角的计算(1)
一、单选题
1. 已知a, b分别是异面直线l1, l2的方向向量，且sin〈a, b〉＝，则异面直线l1与l2所成角的大小为( )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
2. 已知直线l的一个方向向量为a＝(1, 1, 0)，平面α的一个法向量为n＝(1, 1, －)，则直线l与平面α所成角的大小为( )
A．30° B.60°
C.120° D.150°
3. 在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝2, BC＝2, DD1＝3, 则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A. 0 B.
C. － D.
4. 在空间四边形ABCD中，向量＝(0, 2, －1), ＝(－1, 2, 0), ＝(0, －2, 0)，则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. B.
C.－ D.－
5. 如图，在底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中， AB＝1.若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，则AA1的长为( )
A．3 B.
C.2 D.
二、多选题
6. (多选)如图，把正方形ABCD沿对角线BD对折，使得△ABD所在平面与△BCD所在平面垂直，则下列结论正确的有( )
A. ⊥
B. 直线AC与平面BCD所成的角为45°
C. 直线AB与平面BCD所成的角为60°
D. 直线AB与CD所成的角为60°
7. (多选)在正三棱柱ABC A1B1C1中， AA1＝AB，则下列结论正确的有( )
A. 直线AC1与底面ABC所成的角的正弦值为
B. 直线AC1与底面ABC所成的角的正弦值为
C. 直线AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为
D. 直线AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为
三、填空题
8. 在直三棱柱ABC A1B1C1中， CA＝CC1＝2CB, ∠ACB＝90°，则直线BC1与AB1所成的角的余弦值为________．
9. 如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝90°，∠ABC＝45°， BC＝BD＝1, AB＝，则异面直线AB与CD所成的角的大小为________．
10. 如图，∠BAD＝90°，等腰直角三角形ABD所在平面与正三角形BCD所在平面互相垂直， E是BC的中点，则直线AE与平面BCD所成角的大小为________．
四、解答题
11. 如图，在空间直角坐标系O xyz中，正四棱锥P ABCD的侧棱长与底边长都为3，点M, N分别在PA, BD上，且＝＝.
(1) 求证：MN⊥AD；
(2) 求直线MN与平面PAD所成角的正弦值．
12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中， P为棱C1D1的中点， Q为棱BB1上一点，且＝λ(λ≠0)．
(1)若λ＝，求直线AP与AQ所成角的余弦值；
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．
13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， AC与BD相交于点O, AE⊥平面ABCD, CF∥AE, AB＝2, CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，求AE的长．
14.如图，在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.
(1) 求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
(2) 求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
