第10课时 空间角的计算(2)
一、单选题
1. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角A1 BD C1的余弦值为( )
A. B. －
C. D. －
1. A
2. 如图，点A, B, C分别在空间直角坐标系O xyz的三条坐标轴上，＝(0, 0, 2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2, 1, 2)，则二面角C AB O的余弦值为( )
A. B.
C. D.－
2. C
3. 如图，在空间直角坐标系D xyz中，四棱柱ABCD A1B1C1D1为长方体， AA1＝AB＝2AD, E为C1D1的中点，则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为( )
A. － B. －
C. D.
3. C
4. 若四面体的棱长都相等，则相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
4. B
5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为，正方形ABCD的边长为1，则二面角A CD1 D的余弦值为( )
A. B.
C. D.
5. C 提示 以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则平面CDD1的一个法向量为m＝(1, 0, 0)．因为正方形ABCD的边长为1，所以AD＝1.因为正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为，所以DD1＝，所以知点A(1, 0, 0), D1(0, 0, ), C(0, 1, 0)，所以＝(－1, 0, ), ＝(－1, 1, 0)．易得平面AD1C的一个法向量为n＝(， ， 1)，则cos〈m, n〉＝＝
二、多选题
6. (多选)已知二面角α l β，其中平面α的一个法向量为m＝(1, 0, －1)，平面β的一个法向量为n＝(0, －1, 1)，则二面角α l β的大小可能为( )
A．60° B. 120°
C. 90° D. 135°
6. AB
7. (多选)如图，在直角梯形ABCD中， AB∥CD, AB⊥BC, BC＝CD＝AB＝2, E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则下列判断正确的是( )
A. 平面PED⊥平面EBCD B. PC⊥ED
C. 二面角P DC B的大小为 D. PC与平面PED所成角的正切值为
7. AC 提示 由题意得四边形EBCD是边长为2的正方形，PE＝2，所以PE⊥DE, CE＝2，所以PE2＋CE2＝PC2，所以PE⊥CE.因为DE∩CE＝E，所以PE⊥平面EBCD.因为PE 平面PED，所以平面PED⊥平面EBCD，故A选项正确．因为DE∥BC, BC⊥PB，所以BC与PC不垂直，所以PC与ED不垂直，故B选项错误．以{， ， }为正交基底建立空间直角坐标系，则知点P(0, 0, 2), D(2, 0, 0), C(2, 2, 0), B(0, 2, 0)．易知平面BCD的一个法向量为n1＝(0, 0, 2)．设n2＝(a, b, c)为平面PDC的一个法向量，则所以可取n2＝(1, 0, 1)，所以cos〈n1, n2〉＝＝，所以二面角P DC B的大小为，故C选项正确．易知平面PED的一个法向量为n3＝(0, 2, 0), ＝(2, 2, －2)，所以cos〈， n3〉＝＝，所以PC与平面PED所成角的正切值为，故D选项错误
三、填空题
8. 从二面角内一点引两个半平面的垂线，则这两条垂线所成的角与二面角的大小关系为________．
8. 相等或互补
9. 有一个二面角α l β，点M∈α，点M到平面β的距离为3，点M到交线l的距离为6，则二面角α l β的大小为________．
9. 60°或120°
10. 如图，若将等腰直角三角形ABC沿中位线DE折成大小为60°的二面角A DE B，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是________．
10.
四、解答题
11. 如图，正三棱柱ABC A1B1C1所有的棱长都为2, D为CC1的中点，求二面角A A1D B的余弦值．
11. 取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC, AO 平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，连接OO1，可知AO, BO, OO1两两垂直，以O为坐标原点，OB, OO1, OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O xyz，则知点B(1, 0, 0), D(－1, 1, 0), A1(0, 2, ), A(0, 0, ), B1(1, 2, 0)．设平面A1AD的一个法向量为n＝(x, y, z), ＝(－1, 1, －), ＝(0, 2, 0)．因为n⊥， n⊥，所以得所以令z＝1，得n＝(－， 0, 1)．因为＝(1, 2, －), ＝(－2, 1, 0), ＝(－1, 2, )，所以·＝－2＋2＋0＝0, ·＝－1＋4－3＝0，所以⊥， ⊥，即AB1⊥BD, AB1⊥BA1.又因为BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD，所以是平面A1BD的一个法向量．因为cos〈n, 〉＝＝＝－，而二面角A A1D B为锐二面角，所以二面角A A1D B的余弦值为
12. 如图，在三棱锥P ABC中， AB＝BC＝2， PA＝PB＝PC＝AC＝4, O为AC的中点．
(1) 求证： PO⊥平面ABC；
(2) 若点M在棱BC上，且二面角M PA C的大小为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
12. (1) 因为AP＝CP＝AC＝4, O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC, OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB, OP⊥AC, OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC (2) 如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz.由已知得点O(0, 0, 0), B(2, 0, 0), A(0, －2, 0), C(0, 2, 0), P(0, 0, 2), ＝(0, 2, 2)．取平面PAC的一个法向量＝(2, 0, 0)．设M点坐标为(a, 2－a, 0)(0≤a≤2)，则＝(a, 4－a, 0)．设平面PAM的一个法向量为n＝(x, y, z)．由·n＝0, ·n＝0得即令y＝a，得n＝((a－4), a, －a)，所以cos〈， n〉＝.由已知可得|cos〈， n〉|＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝.所以n＝.因为＝(0, 2, －2)，所以cos〈， n〉＝，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为第10课时 空间角的计算(2)
一、单选题
1. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角A1 BD C1的余弦值为( )
A. B. －
C. D. －
2. 如图，点A, B, C分别在空间直角坐标系O xyz的三条坐标轴上，＝(0, 0, 2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2, 1, 2)，则二面角C AB O的余弦值为( )
A. B.
C. D.－
3. 如图，在空间直角坐标系D xyz中，四棱柱ABCD A1B1C1D1为长方体， AA1＝AB＝2AD, E为C1D1的中点，则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为( )
A. － B. －
C. D.
4. 若四面体的棱长都相等，则相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为，正方形ABCD的边长为1，则二面角A CD1 D的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. (多选)已知二面角α l β，其中平面α的一个法向量为m＝(1, 0, －1)，平面β的一个法向量为n＝(0, －1, 1)，则二面角α l β的大小可能为( )
A．60° B. 120°
C. 90° D. 135°
7. (多选)如图，在直角梯形ABCD中， AB∥CD, AB⊥BC, BC＝CD＝AB＝2, E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，则下列判断正确的是( )
A. 平面PED⊥平面EBCD B. PC⊥ED
C. 二面角P DC B的大小为 D. PC与平面PED所成角的正切值为
三、填空题
8. 从二面角内一点引两个半平面的垂线，则这两条垂线所成的角与二面角的大小关系为________．
9. 有一个二面角α l β，点M∈α，点M到平面β的距离为3，点M到交线l的距离为6，则二面角α l β的大小为________．
10. 如图，若将等腰直角三角形ABC沿中位线DE折成大小为60°的二面角A DE B，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是________．
四、解答题
11. 如图，正三棱柱ABC A1B1C1所有的棱长都为2, D为CC1的中点，求二面角A A1D B的余弦值．
12. 如图，在三棱锥P ABC中， AB＝BC＝2， PA＝PB＝PC＝AC＝4, O为AC的中点．
(1) 求证： PO⊥平面ABC；
(2) 若点M在棱BC上，且二面角M PA C的大小为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
