第2课时 空间向量的数量积
一、单选题
1. 已知a, b是异面直线，且a⊥b, e1, e2分别为直线a, b的单位向量，向量m＝2e1＋3e2, n＝ke1－4e2.若m⊥n，则实数k的值为( )
A．－6 B.6
C.3 D.－3
2. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A. · B. ·
C. · D. ·
3. 已知四面体A BCD的所有棱长都是2, E是AD的中点，则·为( )
A. 1 B. －1
C. D. －
4. 如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCD A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱的长均是1，且它们彼此间的夹角都是，则对角线AC1的长是( )
A. B.2
C. D.
5. 棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A. B.2
C. D.1
二、多选题
6. (多选)设a, b, c是空间任意非零向量，且两两不共线，则下列结论一定正确的有( )
A. (a·b)c－(c·a)b＝0 B. |a|－|b|<|a－b|
C. (b·a)c－(c·a)b不与c垂直 D. (3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
7. (多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A. (＋＋)2＝3||2
B. ·(－)＝0
C. 向量与向量的夹角是60°
D. 正方体ABCD A1B1C1D1的体积为|··|
三、填空题
8. 已知空间向量a, b满足|a|＝1, |b|＝2, a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝________.
9. 已知空间向量a, b满足|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．
10. 已知空间向量a⊥b，向量c与a, b的夹角都是60°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则：
(1) (a＋b)2________； (2) (a＋2b－c)2________； (3) (3a－2b)·(b－3c)＝________．
四、解答题
11. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点N在BB1上，求证：D1N⊥AC.
12. 如图，四棱锥S ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2, SA⊥底面ABCD.
(1) 确定向量在平面SAD上的投影向量，并求·；
(2) 确定向量在向量上的投影向量，并求·.
13. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， O为AC与BD的交点， G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.第2课时 空间向量的数量积
一、单选题
1. 已知a, b是异面直线，且a⊥b, e1, e2分别为直线a, b的单位向量，向量m＝2e1＋3e2, n＝ke1－4e2.若m⊥n，则实数k的值为( )
A．－6 B.6
C.3 D.－3
1. B
2. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A. · B. ·
C. · D. ·
2. C
3. 已知四面体A BCD的所有棱长都是2, E是AD的中点，则·为( )
A. 1 B. －1
C. D. －
3. A
4. 如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCD A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱的长均是1，且它们彼此间的夹角都是，则对角线AC1的长是( )
A. B.2
C. D.
4. D
5. 棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A. B.2
C. D.1
5. D
二、多选题
6. (多选)设a, b, c是空间任意非零向量，且两两不共线，则下列结论一定正确的有( )
A. (a·b)c－(c·a)b＝0 B. |a|－|b|<|a－b|
C. (b·a)c－(c·a)b不与c垂直 D. (3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
6. BD
7. (多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A. (＋＋)2＝3||2
B. ·(－)＝0
C. 向量与向量的夹角是60°
D. 正方体ABCD A1B1C1D1的体积为|··|
7. AB
三、填空题
8. 已知空间向量a, b满足|a|＝1, |b|＝2, a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝________.
8.
9. 已知空间向量a, b满足|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．
9.
10. 已知空间向量a⊥b，向量c与a, b的夹角都是60°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则：
(1) (a＋b)2________； (2) (a＋2b－c)2________； (3) (3a－2b)·(b－3c)＝________．
10. (1) 5 (2) 11 (3) －
四、解答题
11. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点N在BB1上，求证：D1N⊥AC.
11. 连接DB.因为四边形ABCD为正方形，所以⊥.在正方体ABCD A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，故⊥.同理可得⊥.而·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0，故D1N⊥AC
12. 如图，四棱锥S ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2, SA⊥底面ABCD.
(1) 确定向量在平面SAD上的投影向量，并求·；
(2) 确定向量在向量上的投影向量，并求·.
12. (1) 向量在平面SAD上的投影向量是， ·＝·＝2×2×cos135°＝－2
(2) 向量在向量上的投影向量是， ·＝·＝||2＝4
13. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， O为AC与BD的交点， G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
13. 设＝a, A1D1＝b, ＝c，则a·b＝0, b·c＝0, a·c＝0, |a|＝|b|＝|c|.
因为＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b,
＝－＝b－a, ＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c，
所以·＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0，
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又因为BD∩OG＝O，所以A1O⊥平面GBD
