第11课时 空间距离的计算(1)
一、单选题
1. 如图，二面角α AB β的大小为60°， AC β， BD α， AC⊥AB于点A, BD⊥AB于点B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为( )
A. 3 B.
C. 2 D.
2. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1, O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中， E, F分别为棱AA1, BB1的中点， G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A. 2 B.
C. D.
4. 若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1, AB1与底面ABCD所成角为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. 2 B.
C. D.
5. 在四棱锥P ABCD中，设向量＝(4, －2, 3), ＝(－4, 1, 0), ＝(－6, 2, －8)，则点P到底面ABCD的距离为( )
A. 2 B. 1
C. D. 3
二、多选题
6. (多选)已知a, b为异面直线，则下列结论正确的是( )
A. 必存在平面α，使得a∥α， b∥α B. 必存在平面α，使得a, b与α所成角相等
C. 必存在平面α，使得a α， b⊥α D. 必存在平面α，使得a, b到α的距离相等
7. (多选)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论正确的是( )
A. BD∥平面CB1D1
B. 二面角C B1D1 C1的正切值是
C. AC1⊥平面CB1D1
D. 点C1到平面B1CD1的距离为
三、填空题
8. 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， AB＝1, AD＝2, AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．
9. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, E, F分别是BB1, CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
10. 在三棱锥B ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为________．
四、解答题
11. 已知四边形ABCD是边长为4的正方形， E, F分别是边AB, AD的中点， CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
12. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝4, BC＝3, CC1＝2.
(1) 求证：平面A1BC1∥平面ACD1；
(2) 求(1)中两个平行平面之间的距离；
(3) 求点B1到平面A1BC1的距离．第11课时 空间距离的计算(1)
一、单选题
1. 如图，二面角α AB β的大小为60°， AC β， BD α， AC⊥AB于点A, BD⊥AB于点B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为( )
A. 3 B.
C. 2 D.
1. D
2. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1, O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
2. B
3. 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中， E, F分别为棱AA1, BB1的中点， G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A. 2 B.
C. D.
3. D
4. 若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1, AB1与底面ABCD所成角为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. 2 B.
C. D.
4. C
5. 在四棱锥P ABCD中，设向量＝(4, －2, 3), ＝(－4, 1, 0), ＝(－6, 2, －8)，则点P到底面ABCD的距离为( )
A. 2 B. 1
C. D. 3
5. A
二、多选题
6. (多选)已知a, b为异面直线，则下列结论正确的是( )
A. 必存在平面α，使得a∥α， b∥α B. 必存在平面α，使得a, b与α所成角相等
C. 必存在平面α，使得a α， b⊥α D. 必存在平面α，使得a, b到α的距离相等
6. ABD
7. (多选)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论正确的是( )
A. BD∥平面CB1D1
B. 二面角C B1D1 C1的正切值是
C. AC1⊥平面CB1D1
D. 点C1到平面B1CD1的距离为
7. ACD
三、填空题
8. 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， AB＝1, AD＝2, AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．
8.
9. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, E, F分别是BB1, CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
9. a 提示 如图，以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则知点A1(a, 0, a), D1(0, 0, a), A(a, 0, 0), B(a, a, 0), B1(a, a, a), E， F.设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x, y, z)，则n·＝0, n·＝0，得即令z＝2，得n＝(0, 1, 2)．又因为＝，所以所求距离d＝＝＝a
10. 在三棱锥B ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为________．
10. 提示 如图，以AD的中点O为原点，OD, OC所在直线分别为x轴、y轴，过点O作OM⊥平面ACD，交AB于点M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则知点A， B， C， D，所以＝， ＝， ＝，设n＝(x, y, z)为平面ABC的一个法向量，则所以y＝－x, z＝－x，可取n＝(－， 1, 3)，代入d＝， 得d＝＝，即点D到平面ABC的距离是
四、解答题
11. 已知四边形ABCD是边长为4的正方形， E, F分别是边AB, AD的中点， CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
11. 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，则知点G(0, 0, 2), E(4, －2, 0), F(2, －4, 0), B(4, 0, 0)，所以＝(4, －2, －2), ＝(2, －4, －2), ＝(0, －2, 0)．设平面EFG的一个法向量为n＝(x, y, z)．由得所以x＝－y, z＝－3y.取y＝1，则n＝(－1, 1, －3)．所以点B到平面EFG的距离d＝＝＝
12. 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝4, BC＝3, CC1＝2.
(1) 求证：平面A1BC1∥平面ACD1；
(2) 求(1)中两个平行平面之间的距离；
(3) 求点B1到平面A1BC1的距离．
12. (1) 因为BC1∥AD1，而AD1 平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1.同理可得A1B∥平面ACD1，故平面A1BC1∥平面ACD1 (2) 设两平行平面A1BC1与ACD1之间的距离为d，则d等于点D1到平面A1BC1的距离．易求得A1C1＝5, A1B＝2， BC1＝，则cos∠A1BC1＝， sin∠A1BC1＝，则S△A1BC1＝.由于VD1 A1BC1＝VB A1C1D1，则S△A1BC1·d＝··BB1，可求得d＝，即两平行平面之间的距离为 (3) 由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则点B1, D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于
