第12课时 空间距离的计算(2)
一、单选题
1. 在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝2, BC＝2, DD1＝3，则直线AC与BD1所成角的余弦值为( )
A. 0 B.
C. － D.
2. 已知△ABC的顶点分别为A(1, －1, 2), B(5, －6, 2), C(1, 3, －1)，则AC边上的高BD等于 ( )
A. 25 B. 5
C. D. 1
3. 如图，已知此多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，已知点D(0, 0, 0), B(2, 4, 0), A(2, 0, 0), C(0, 4, 0), E(2, 4, 1), C1(0, 4, 3)，若四边形AEC1F为平行四边形，则点C到平面AEC1F的距离为( )
A. B. 4
C. D.
4. 在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A, B, C, D∈R，且A, B, C不同时为0)，点P(x0, y0, z0)到平面α的距离d＝.那么，在底面边长与高都为2的正四棱锥P ABCD中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )
A. B.
C. 2 D. 5
二、多选题
5.(多选)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中到异面直线AB, CC1的距离相等的点是( )
A. A B. C
C. B1 D. D
6. (多选)如图，在 ABCD中， AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长可能为( )
A. 1 B.
C. 2 D. 2
三、填空题
7. 已知直线l的一个方向向量为m＝(1, ， －1)，若点P(－1, 1, －1)为直线l外一点， A(4, 1, －2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为________．
8. 如图，在边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中， M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点，则平面AMN与平面EFDB之间的距离为________．
9. 已知二面角α l β的大小为60°，动点P, Q分别在平面α， β内，点P到平面β的距离为，点Q到平面α的距离为2，则P, Q两点之间距离的最小值为( )
A. B. 2
C. 2 D. 4
10. 已知∠ACB＝90°， P为平面ABC外一点， PC＝2，点P到∠ACB两边AC, BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为________．
四、解答题
11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中， E为BB1的中点．
(1) 求证：BC1∥平面AD1E；
(2) 求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值；
(3) 求点C到平面AD1E的距离．
12. 如图，在四棱锥P ABCD中， AC∩BD＝O，底面ABCD是边长为2的菱形， PC⊥BD, PA＝PC，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°.
(1) 求证： PO⊥平面ABCD；
(2) 若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离；
(3) 求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．第12课时 空间距离的计算(2)
一、单选题
1. 在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB＝2, BC＝2, DD1＝3，则直线AC与BD1所成角的余弦值为( )
A. 0 B.
C. － D.
1. A 提示 建立如图所示的空间直角坐标系，则知点D1(0, 0, 3), B(2, 2, 0), A(2, 0, 0), C(0, 2, 0)，所以＝(－2, －2, 3), ＝(－2, 2, 0)，所以cos〈， 〉＝＝＝0
2. 已知△ABC的顶点分别为A(1, －1, 2), B(5, －6, 2), C(1, 3, －1)，则AC边上的高BD等于 ( )
A. 25 B. 5
C. D. 1
2. B 提示 设＝λ， D点坐标为(x, y, z)，则(x－1, y＋1, z－2)＝λ(0, 4, －3)，所以x＝1, y＝4λ－1, z＝2－3λ，所以D点坐标为(1, 4λ－1, 2－3λ)，所以＝(－4, 4λ＋5, －3λ)．因为·＝0，所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－.所以＝，所以||＝＝5
3. 如图，已知此多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，已知点D(0, 0, 0), B(2, 4, 0), A(2, 0, 0), C(0, 4, 0), E(2, 4, 1), C1(0, 4, 3)，若四边形AEC1F为平行四边形，则点C到平面AEC1F的距离为( )
A. B. 4
C. D.
3. D 提示 设F点坐标为(0, 0, z)，因为四边形AEC1F为平行四边形，所以由＝，得(－2, 0, z)＝(－2, 0, 2)，所以z＝2，所以F点坐标为(0, 0, 2), ＝(－2, 0, 2), ＝(0, 4, 1)．设n为平面AEC1F的一个法向量，显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x, y, 1)，由得得所以n＝.又因为＝(0, 0, 3)，所以点C到平面AEC1F的距离为d＝＝＝
4. 在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A, B, C, D∈R，且A, B, C不同时为0)，点P(x0, y0, z0)到平面α的距离d＝.那么，在底面边长与高都为2的正四棱锥P ABCD中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )
A. B.
C. 2 D. 5
4. B 提示 以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系O xyz，如图，则知点O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(－1, 1, 0), P(0, 0, 2)．设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将点A, B, P的坐标代入计算得A＝0, B＝－D, C＝－D，所以平面PAB的方程可化为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝＝
二、多选题
5.(多选)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中到异面直线AB, CC1的距离相等的点是( )
A. A B. C
C. B1 D. D
5. CD
6. (多选)如图，在 ABCD中， AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长可能为( )
A. 1 B.
C. 2 D. 2
6. BC 提示 因为AB与CD成60°角，所以〈， 〉＝60°或120°.又因为AB＝AC＝CD＝1, AC⊥CD, AC⊥AB，所以||＝＝＝＝＝，所以||＝2或.所以BD的长为2或
三、填空题
7. 已知直线l的一个方向向量为m＝(1, ， －1)，若点P(－1, 1, －1)为直线l外一点， A(4, 1, －2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为________．
7.
8. 如图，在边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中， M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点，则平面AMN与平面EFDB之间的距离为________．
8.
9. 已知二面角α l β的大小为60°，动点P, Q分别在平面α， β内，点P到平面β的距离为，点Q到平面α的距离为2，则P, Q两点之间距离的最小值为( )
A. B. 2
C. 2 D. 4
9. C 提示 过点P作PP1⊥β于点P1，过点Q作QQ1⊥α于点Q1，当点A, Q1重合时，P, Q两点之间的距离最小
10. 已知∠ACB＝90°， P为平面ABC外一点， PC＝2，点P到∠ACB两边AC, BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为________．
10. 提示 过点P作PO⊥平面ABC于点O，过点P作PM⊥AC于点M, PN⊥BC于点N，连接OM, ON，可证四边形OMCN为正方形，故OC＝， PO＝＝(本题也可用坐标法求解)
四、解答题
11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中， E为BB1的中点．
(1) 求证：BC1∥平面AD1E；
(2) 求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值；
(3) 求点C到平面AD1E的距离．
11. (1) 因为AB∥C1D1，且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1.因为BC1 平面AD1E, AD1 平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E (2) 以A为原点，AD, AB, AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则知点A(0, 0, 0), A1(0, 0, 2), D1(2, 0, 2), E(0, 2, 1)，所以＝(0, 0, 2), ＝(2, 0, 2), ＝(0, 2, 1)．设平面AD1E的一个法向量为n＝(x, y, z)，则令z＝2，则x＝－2, y＝－1，所以n＝(－2, －1, 2)．设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n, 〉|＝＝＝，故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为 (3) 因为C点坐标为(2, 2, 0)，所以＝(2, 2, 0)．由(2)知平面AD1E的一个法向量为n＝(－2, －1, 2)，所以点C到平面AD1E的距离为d＝＝＝2
12. 如图，在四棱锥P ABCD中， AC∩BD＝O，底面ABCD是边长为2的菱形， PC⊥BD, PA＝PC，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°.
(1) 求证： PO⊥平面ABCD；
(2) 若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离；
(3) 求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
12. (1) 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PC⊥BD, PC∩AC＝C，所以BD⊥平面APC.因为PO 平面APC，所以BD⊥PO.因为PA＝PC, O为AC的中点，所以PO⊥AC.又因为AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD (2) 以O为坐标原点，OB, OC, OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为AB∥CD，所以∠PBA为异面直线PB与CD所成角，所以∠PBA＝60°.在菱形ABCD中，AB＝2，因为∠ABC＝60°，所以OA＝1, OB＝.设PO＝a，则PA＝， PB＝.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝BA2＋BP2－2BA·BP·cos∠PBA，所以a2＋1＝4＋a2＋3－2×2××，解得a＝.由点B(， 0, 0), P(0, 0, ), E得＝， ＝(－， 0, )．所以点E到直线BP的距离为＝＝ (3) 由(2)得＝(， 1, 0), ＝(0, 1, )，设平面APB的一个法向量为n＝(x, y, z)，则取z＝1，则x＝， y＝－，所以n＝(， －， 1)．设m＝(a, b, c)是平面PBC的一个法向量，＝(， －1, 0), ＝(0, －1, )，则令c＝1，则a＝， b＝，所以m＝(， ， 1)．设二面角A PB C的大小为θ，所以|cosθ|＝＝＝，所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为
